河北省邢台市第一中学2025-2026学年高三上学期第三次月考（12月）数学试题

邢台一中2025一2026学年第一学期第三次月考 高三年级数学试题 考武范周：集合到双曲线 高考研究中心命题人：梁兰兰一申：霍丽知二审：高原 说明：1，本被卷共6页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在战卷上无效。 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1,以3i一√2的虚部为实部，以3十√2i的实部为虚部的复数是 () A.3-3i B.3+i C.-2+2i D.√2十2 2.计算：limsin2(x+h）-sin(2》=（） A.0 B.cos2x D.,2cos2x 6 3.已知樂合A-1,2,3,4,5,6,7,集合B={∈Nx∈A, 集合B中所有元素之和记为a,集合B的子集个数记为b,则 a+b=() A.28 B.20 C.16 D.32 4.“g=一答十k,k∈Z”是“函数y=an(十p)的因象关于 (任，0)对称”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层 顺时针转动了45”之后，其表面积增加了() A.8 B.72-482 C.96-60w2 D.108-722 高三数学试题第1页（共6页） ®，若双曲线C)头一三1的焦距为4，直线与C交于A,B两》 点，且线段AB的中点为N(2,1),则直线1的斜率为() A.2 R是 C.1 D.3 7.已知P是圆O:x2十y2=1上一动点，则点P到直线(2十A)x (1十a)y一6-4以=0的距离的取值范围为() A.[22-1,22+1 B.[0,2W2+1] C.[22-1,22+1) D.[0,22+1) 8.方程sinx2=iny2表示的曲线可能是(） C D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列(a。}的前m项和为S,则() A若(aa}为等差数列，且a1<0,a1十a>0,则(S.}单调递增 B.若{a.)为等比数列，且a1<0,a:十a>0,则{S.)单调递增 C.若{aa}为等差数列，且a+>a.,则{a.】单调递增 D.若{a.}为等比数列，且a.+>a.,则{a.}单调递增 10.已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x十y)十f(x一y)= f(x)f),且f(0)≠0.则下列结论正确的是() A.f(x)为偶函数 B.若∫(r)=0,则f(2x)=0 C.f(2x)=f(x)-2 D.若f(1)=0,则f(x+4)=f(x) 高三数学试题第2页（共6页） x2,y2 x:y 1椭圆C:+行-1(a1>61>0)与双曲线C:苏-1 (a:>0,b:>0)有共同的左焦点F,(-c,0)和右焦点 F,(c,0),C与C,离心率分别为e1,e,它们在第一象限的交 点为P(O为坐标原点)，圆I:是△F,PF意的内切圆，过点P且 与直线PI1垂直的直线与F,I1交于【z,则() A当1F,-2oPI时，+号2 B.当|F:F:|=2|OP|时，|Pi:|+|PI:|=2(a1-aa) C.F:I:|-FI:|=a1-a: D.过右焦点F2分别作直线PI1,PI:的垂线，垂足分别为M,N, 则1ON-|OM|=a1-az 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.将√+(y+2)了+√云干0y一2)丁一6化简为不含根式的形式为 13.若函数y-1og4(ax3-8x+15)在区间(1,2)上严格递增，则实 数a取值范固是 14在四面体OABC中，O币=DA,OE=2E,CP=2FO,平面 FAB,平面DBC,平面EAC交于点P,则向量OP用OA,OB, OC表示为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 已知数列1a.}满足上+上+上+…+1=216m∈N). a1 az a a。 (1)求数列(a.)的通项公式： (2)若b.=a.+ilog1am+1,求数列bn}的前n项和S。. 高三数学试题第3页（共6页） 16.(本题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b, c为边长的正三角形的面积依次为S,S2,S,且S1一S:一S (1)求角A, (2)若6=万，D为线段BC延长线上一点，且∠CAD=若 BD=4CD,求△ABC的BC边上的高， 17.(本题满分15分) 如图，在棱长均相等的平行六面体ABCD一A:B,C:D1中， BC1平面ABB1A1,二面角A1一AD一B的大小为60°，M是棱 AB的中点. (1)证明：D,M⊥CD (2)求二面角C一A1B一C1的正弦值. 高三数学试题第4页（共6页） 18.(本题清分17分) 在平面直角坐标系中，如果将函数y=了(x)的图象绕坐标原点 逆时针旋转。(0<：≤)后，所得曲线仍然是某个函数的图象， 则称f(x)为“a旋转函数”. ()判断函数y=5x是香为“旋转函数”，并说明理由： (份者面数gc)=m么-De-hr一-号是“受装转面数”， 求m的取值范围。 高三数学试题第5页（共6页） 19.(本题满分17分) 22 已知椭圈C:需+言=1a>6>0)的左、右焦点分别是B,B, M,)为C上-点，且在△R,M,中，n∠MR,R=是 (1)求椭圆C的方程； (2y过点P(1,3)的直线l与椭圆C交于A,B两点（点A在点 B的上方，线段AB上存在点Q,使得附-8胎求 |QF,|+|QF:|的最小值 高三数学试题第6页〔共6页) 邢台一中2025-2026学年第一学期第三次月考 高三数学参考答案 一，单选题 1—4ADAA 5-8 D ADD 二.多选题 9.ACD 10.ACD 11.ABD 三，填空题 =1 13 0=20+40+0 四。解答趣 15.解：()由题意，数列{a}满足上+上+上++上=2(aeN) 当n≥2时，可得 =2, 4aaa。- 两武相减。可得-2-2-2，所以a=宁≥2小. 0 当n=1时，可得上=2，所以4= 所以数列{a}的通项公式为a 1 2m,m22. (2)由(1)可得an= , 则6=月+ 2,3 可得，京++…+ +1 2*7 2,3. 则=气2++ 程+1） 两式相减得 2* =任女)-但)，可得89 2*2 即数列{他}的前n项和3，=+3_3 22 16.解：(1)由题意得3=5。，=5,8=5， 4 A 4 4 由余按定理可得4：“-，又0<4，所以4 2be 3 (2)设∠4CB=a(a为锐角)，在△ABD和aACD中， BD AD CD AD 由正弦定理可得 2元，π 065n。一an石3 sin BD-sin 于是 CD.sina ,又BD=4CD,sin弧=sim亚 π 6 6 6 6 sina sina 一=4 3 -sin a. -cos a--sin a 化简得cosa= 2 2 根据同角三角函数基本关系，可得：cos2a+sin2a=1, 解得sima=25】 7一·负值舍去 设AE⊥BC,垂足为E, 放△BC的BC边上的高为AB=ACsina=7x27 17.解：(1)因为BC⊥平面ABBA,BC∥AD,所以AD⊥平面ABBA: 所以AD⊥AA,AD上AB,∠AAB是二面角A-AD-B的平面角，即∠AAB=60° 又AA=AB,所以△4AB是等边三角形 连接AM,因为M是棱AB的中点，所以AM⊥AB, 又AD上AB,所以AD⊥AB 又AM,ADc平面A,D,M,AMOAD=A, 所以AB⊥平面A,DM,所以CD⊥平面AD,M, 2 又DMc平面A,DM,所以CD⊥DM, (2)设AB=2,取CD的中点O,连接D,O,D,C,OM, 则OM∥AD,可得OM⊥CD,DO⊥CD,D,O⊥AD, 又AD∩CD=D,所以D,O⊥平面ABCD, 故以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O-z,则 4(2,0,5,B(21,0),C(0,1,0),C(0,25) 4B=(01,-5,4C=(-2,2,0),4C=(-2,1-5) 设平面4BC,平面ABC的法向量分别为m=(年，片，)，五=（名2：，）， 则 m4C=2x+男52=0'令名=1，得m=05,, m-4B=月-5石=0 医4G=-24+2%=0令名=1，得元=小55.小， 元-4B=2-V52=0 所以cosm,= m 4 2W7 同3+1×3+3+17 故二面角C-4B-G的正弦值为 7 18解：(1)函数y=√5x不是“工旋转函数”，理由如下： 6 y=5:逆时针旋转君后与)轴重合， 当x=0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾， 因此函数y=√3x不是“江旋转函数” (2)由题意可得函数g()=m(-1e-xn-号与函数y=x+b最多有1个交点， 2 即m(x-1)e-xlnx- x+b→m长-1上-xhx-2x=b， 即函数三mk-)心-xnx-之x与函数y=b最多有1个交 即函数y=m(x-1)c2-xnx- ：在Q回)上单词 y=me-nx-x-2,当x→0时，y→+o, 所以y20→m2(x心 nx+x+2 令(x)=血x+x+2 xe* 则o)=+血x-x-) xe" 因为1=-hx-x-1在0，+m)上单调减，且日>00<0， 所以存在无得别，使%)=0， 即h%+x=-1→h6e-1→565=， 所以p(x)在(0，)单调递增，(，∞)单调递减， 所以m(=()-血+名+2.1 re 即m≥e. 19.解：(1)设(c,0).F(c0), 心 依题意， tm∠M你5=2=3，解得c=1,从而EL,0), c+14 因此MR,⊥F5,由勾股定理可得M=2 所以2a=M+MF=4,可得a=2,b=V5. 所以求椭圆C的方程为二+上=1. 43 (2)设A(,片)，B(2为2)()， PA_1-五 当直线AB的斜率存在时， 24-玉-， PB1-x2'但8。- 由周器可用产受之解得学… PA_104 设直线AB:y-3=k(x-), {y-3=kx-1 联立{ 整理可得(4+3)x2-(8款2-24k)x+42-24+24=0, 由A=「-(8x2-24]-442+3)42-24k+24>0, 整理可得：k2+2-2>0,解得k>-1+5或k<-1-√5 且x+x1= 泄4影2 3+4k2 代入(*)整理可得，= 4k-8 4收+1' 代入直线AB的方程，得片=（化，-1）+3= 74k-81+3= 3k+3 4款+1 4k+11 可得+4男-4=0. 当直线AB的斜率不存在时，AB:x=1, 则-到网 P4_4 由 PBOB' 也满足方程x+4男-4=0， 所以点Q在直线x+4y-4=0(在椭圆C内部)上. 设点F(1,0)关于直线x+4y-4=0的对称点为F(:,乃)， 则 {- +1+4×-4=0， 所以o+ers-可-g 在椭圆C内，符合题意， 所以OF+Q的最小值为83☑ 17 5 {y-3=(x-1), 联立 整理可得(42+3x2-(8k2-24k)x+42-24+24=0, 由△=[-(82-24k]-442+3)42-24k+24>0, 整理可得：2+2-2>0，解得k>-1+√5或k<-1-5, 3+4x5=-24+24 且5+与=82-24班. 3+4 代入（整理可得五4纸+' 4k-8 代入直线AB的方程，得%=k(:,-1)+3= 「4-81+3= 3+3 4k+1 4k+1 可得3+4。-4=0. 当直线AB的斜率不存在时，AB:x■1， 则》-引嚼 器 也满足方程x+4男，-4=0， 所以点Q在直线x+4y-4=0(在椭圆C内部)上。 设点F(1,0)关于直线x+4y-4=0的对称点为F(x,为)： 则 1+4×-4=0， 得（侣） 2 所以e+oar1-号+-& 17 此时点侣 在椭圆C内，符合愿意， 所以2+l5的最小值为3W34 17 5