河北省石家庄市第四十三中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025-2026学年河北省石家庄四十三中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.样本数据2、a、3、4的平均数是3，则a的值是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.如图，在平面直角坐标系内有一点，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值是(    ) A. B. C. D. 3.如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在一个花架简易图中，，，，则DF的长度为(    ) A. 50cm B. 30cm C. 20cm D. 无法确定 5.对于反比例函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象位于第一、第三象限 B. 经过点 C. 图象关于原点成中心对称 D. 当时，y随x的增大而减小 6.已知方程的两根分别是、，则的值为(    ) A. B. C. 7 D. 8 7.某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元.调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 8.如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：：3，则与的面积比为(    ) A. 2：3 B. ： C. 2：5 D. 4：9 9.对于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 10.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则直径CD的长度是(    ) A. 12寸 B. 24寸 C. 13寸 D. 26寸 11.如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点以下四个结中正确结论的个数是(    ) ①； ②； ③； ④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12.直线与抛物线在同一平面直角坐标系内，直线与抛物线有两个交点，设两个交点间的距离为d，则下列说法正确的是(    ) 甲：当时， 乙：当时， 丙：符合条件的m的取值范围是 A. 甲、乙、丙三人都对 B. 只有甲对 C. 只有乙对 D. 只有丙对 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为______. 14.如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为，测得底部点B的俯角为，点A与楼BC的水平距离，则这栋楼的高度为      结果保留根号 15.如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为        . 16.如图，在等腰三角形ABC中，，点M、N分别从点B、C出发，分别用、的速度在BA、CB边上运动到点A、B停止，以MN为斜边以如图所示方式在其右上方作等腰直角三角形MNO，设运动时间为 当______值时，点 O落在的边上； 面积的最大值为______. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解方程：； 计算： 18.本小题7分 某校开展了“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动月.请根据统计图表中的信息，解答下列问题： 被抽查的学生人数是______人，表中______； 被抽查的学生阅读文章篇数的中位数是______，众数是______； 若该校共有1600名学生，请估计该校学生在主题阅读活动月内文章阅读的篇数为4篇的有多少人？ 阅读篇数 3 4 5 6 7及以上 人数 20 25 m 15 10 19.本小题7分 如图，在中，，点D在AC上，于点 求证：∽； ，且，求AE的长. 20.本小题9分 我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示.已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米. 设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是______用含x的代数式表示； 求出车道的宽x是多少米？ 21.本小题9分 石外集团生物实践小组搜集了学校种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间时变化的图象.如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到 求线段AB及双曲线CD段的函数表达式. 求该大棚在时内，温度不低于的时间长度. 此地日出时间为7：00，日落时间为17：为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求. 22.本小题9分 如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为60cm，，档案盒长度参考数据：，， 求点C到书架底部距离CE的长度； 求ED长度； 求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 23.本小题11分 如图所示，已知BC是的直径，A、D是上的两点，连结AD、AC，CD，线段AD与直径BC相交于点 若，求的值. 当时. ①直接写出和的数量关系______； ②若，，求线段CE的长； ③若，，则______ 24.本小题12分 如图1至图2，是经过某款蒸锅中心D和锅盖中心C所作纵截面的示意图，它由两段抛物线构成.蒸锅截线与锅盖截线交于点A，B，测得锅口直径，锅深，锅盖高以直线AB为x轴，直线CD为y轴建立平面直角坐标系. 尝试：求蒸锅截线表达式和锅盖截线表达式； 若锅中心D到水面MN距离为2dm，求水面直径MN的长度； 探索：如图2，矩形EFGH为笼屉纵截面图相邻笼屉用不同颜色区分，F，G在蒸锅截线上，笼屉直径轴，且，每层笼屉高为在使用过程中，要求锅盖与锅能正常合上. 若，则锅与锅盖之间最多能放置几层笼屉？说明理由； 若E，H恰好在锅盖截线上，设所有放置的笼屉，下底面面积之和为S，直接写出：当______时 S最大，S的最大值是______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：数据2、a、3、4的平均数是3， 故选： 根据平均数的公式计算出a的值即可． 本题考查了算术平均数，对于n个数，，…，，则…就叫做这n个数的算术平均数． 2.【答案】A  【解析】解：作轴于A，如图． ， ，， ， 故选： 如图作轴于A，利用勾股定理求出OP，根据正弦定义计算即可． 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数定义． 3.【答案】D  【解析】解：根据圆的内接四边形对角互补可知：， 故选： 根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 本题考查了圆的内接四边形，掌握其相关知识点是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：， ，即， 解得：， 故选： 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：A选项中，，函数图象的两个分支位于二、四象限，故本选项错误； B选项中，当时，，点不在此函数图象上，故本选项错误； C选项中，反比例函数的图象是双曲线，图象关于原点成中心对称，故本选项正确； D选项中，，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误． 故选： 根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：方程的两根分别是、， ，， 故选： 利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了根与系数的关系以及代数式求值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：由题意，可列y关于x的函数关系式为： 故选： 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 本题考查一元二次方程的实际应用，正确列出式子是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：和是以点O为位似中心的位似图形， ∽， ：：：3，即与的相似比为2：3， 与的相似比为4：9， 故选： 根据位似图形的定义得到∽，再根据相似三角形的性质计算即可． 本题考查的是位似变换，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：由题知， 因为抛物线的解析式为， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 则AC选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小， 所以D选项不符合题意． 故选： 根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质对所给选项依次进行判断即可． 本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：如图，连接OA， ， ，且寸， 寸， 设圆O的半径OA的长为x，则， ， ， 在直角三角形AOE中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 寸， 故选： 连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由可求出，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径． 本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是关键． 11.【答案】A  【解析】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点， ，， ， ，故①正确； 从图中可以看出，当时，函数值大于1， 因此将代入得，， 即，故②正确； ， ， 从图中可以看出，当时，函数值小于0， ， ，故③正确； 二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，； 根据二次函数的对称性，得到，故④正确； 综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论， 故选： ①：根据二次函数的对称轴为直线，，即可判断出； ②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断； ③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断； ④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键． 12.【答案】D  【解析】解： ， 令， 解得：，， 当时，直线与抛物线两个交点坐标为，， 此时两个交点间距离为：， 抛物线的开口向下， 当m越小时，这两个交点间距离越大， 当时，，故甲的说法错误； 令， 解得：，， 当时，直线与抛物线两个交点坐标为，， 此时两个交点间距离为4，故乙说法错误； 当时，直线与抛物线有2个交点，即符合条件的m的取值范围是，故丙说法正确； 综上分析可知，只有丙说法正确， 故选： 先将二次函数解析式化为，再分别求出直线，与抛物线的交点坐标，即可判断甲、乙说法错误；根据抛物线的顶点为，开口向下，即可判断丙说法正确． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键． 13.【答案】4  【解析】【分析】 本题主要考查反比例函数k的几何意义，利用条件用D点坐标表示出B点坐标是解题的关键. 可设D点坐标为，则可表示出B点坐标，从而可表示出矩形OABC的面积，利用可求得答案. 【解答】 解：设， 反比例函数的图象经过点D， ， 为AB的中点， ， ，， ， 故答案为 14.【答案】  【解析】解：由题意得：， 在中，，， ， 在中，， ， ， 这栋楼的高度为， 故答案为： 根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而利用线段和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：，直径，， ，， ， 故答案为： 先根据得，根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答． 本题考查了圆周角定理，掌握扇形的面积计算是解题的关键． 16.【答案】或；   9  【解析】解：存在t的值，使点O落在的边上， 依题意得：， cm， ， 是等腰直角三角形，MN为斜边， ，， 过点A作于点D，如图1①所示： ， 在等腰三角形ABC中，，， ，， ， 在中，， ， 依题意有以下两种情况： ①当点O在AB边上时，如图1②所示： 在中，，， ， ， ， ， ， 解得：； ②当点O在BC边上时，如图1③所示： 在中，，， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述：t的值为或， 故答案为：或； 过点M作于点H，如图2①所示： ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 是等腰直角三角形，，， 由勾股定理得：， ， 的面积， 整理得：， 该二次函数的对称轴为，开口向上，顶点坐标为，如图2②所示： 又， 由二次函数性质可知有以下两种情况： ①当时，则，S的值为最大，此时最大值为：， ②当时， 则时，S的值为最大，此时最大值为：， 综上所述：当时，的面积为最大值，最大值为 故答案为： 依题意得，，，过点A作于点D，解得，再分两种情况讨论如下：①当点O在AB边上时，在中，根据得，进而得，根据得，由此解得；②当点O在BC边上时，在中，根据，，进而得，根据得，由此解得，综上所述即可得出答案； 过点M作于点H，解得，，进而得，在中，由勾股定理得，由此得的面积，由二次函数性质可知有以下两种情况：①当时，则当，S的值为最大，此时最大值为，②当时，则时，S的值为最大，此时最大值为，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了解直角三角形，二次函数的最值，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握二次函数的最值，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 17.【答案】，    【解析】解：， ， ， ， ， ， 移项，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可； 根据特殊角的三角函数值分别代入，再求出即可． 本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的应用，能正确配方是解小题的关键，能熟记特殊角的三角函数值是解小题的关键． 18.【答案】解：；30 ； 篇；5篇； 该校学生在主题阅读活动月内文章阅读的篇数为4篇的有： 人  【解析】【分析】 本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 先由6篇的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他篇数的人数求得m的值； 根据中位数和众数的定义求解； 用总人数乘以样本中4篇的人数所占比例即可得． 【解答】 解：被调查的总人数为人， ； 故答案为：100； 由于共有100个数据，其中位数为第50、51个数据的平均数， 而第50、51个数据均为5篇， 所以中位数为5篇， 出现次数最多的是5篇， 所以众数为5篇． 故答案为：5篇；5篇． 见答案． 19.【答案】证明：于点E，， ， ， ∽； 解：∽， ， ，，， ，   【解析】由得到，然后得到∽； 利用相似三角形的性质求得AE的长． 本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 20.【答案】  米  【解析】解：设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是 故答案为：； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：出车道的宽x是3米． 利用停车位的横向长度=停车场外围的长-车道的宽度，即可用含x的代数式表示出停车位的横向长度； 根据停车位的面积为204平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出停车位的横向长度；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21.【答案】升温阶段AB的函数表达式为；CD段的函数表达式为  大棚在时内，温度不低于的时间一个12小时  2  【解析】解：由题意，升温阶段大棚内的温度每小时升高， 升温阶段AB的函数表达式为 又设CD段的函数表达式为为常数，且， 将坐标代入， ，则， 又当时，得， ， 段的函数表达式为 由题意，根据图象可得，CD段温度为的时刻为16时， 又把代入函数， ，解得， 段温度为的时刻为4时， 大棚在时内，温度不低于的时间一个12小时； 由题意，日照时间为7：：共10小时，需保证此期间至少9小时温度原系统中，温度的区间是 设推迟启动t小时后，新的时间区间为，日照区间对应新时间为 又日照区间内至少9小时温度，即新的温度的区间， ，这与日照区间的交集长度 ，故至少推迟2小时． 故答案为： 依据题意，根据待定系数法计算可以得解； 结合进而求出在4时，大棚温度升至，在16时，大棚温度降至，即可求出本题答案； 求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的表达式是解题的关键． 22.【答案】解：由题意得： ， 在中，， ， 点C到书架底部距离CE的长度约为28cm； 在中，，， ， 长度约为21cm； 如图： 由题意得： ， ， ， ， 设每一个档案盒的厚度为x cm， 在中，， ， 由题意得： ， ， 个， 该书架中最多能放12个这样的档案盒．  【解析】根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； 在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； 根据题意可得：，先利用平角定义求出，从而求出，设每一个档案盒的厚度为x cm，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后根据书架内侧长为60cm，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 23.【答案】  ①；②；③45  【解析】解：是的直径， ， ， ， ， ， ； ①， 和的数量关系为 故答案为：； ②如图， ，BC是的直径， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ； ③，， ， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为： 利用圆周角定理和特殊角的三角函数值解答即可； ①利用圆心角定理解答即可； ②利用相似三角形的判定与性质解答即可； ③利用圆周角定理和特殊角的三角函数值解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 24.【答案】；       【解析】解：由题可知，，， 设蒸锅截线表达式为，设锅盖截线表达式为， 将点代入得，， 蒸锅截线表达式为，设锅盖截线表达式为 记MN与y轴交于点G， 由题意可知，则， ， 令， 解得， 如图，设直线HG交于点K， 令，则， ，， ， 锅与锅盖之间最多能放置6层笼屉． 令， ， 当时，即，笼屉的层数， 当时，，， 当时，，即， 当时，S的最大值为 故答案为：； 由题易得，，，，再分别设顶点式即可得解． 根据可得，然后由两根即可求得MN的长度． 令，然后由和表达式分别求出和，再根据求出笼屉的层数． 先根据，求出笼屉的层数，然后再由，根据二次函数求出时S取最大值，故分别取出或5计算出n和S，通过比较S的大小，进而确定出答案． 本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，熟练应用二次函数的性质是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $