湖南省衡阳市衡阳县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.使二次根式有意义的x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程，方程应变形为(    ) A. B. C. D. 4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 5.已知方程的两个根分别为，，则的值为(    ) A. 2 B. 6 C. D. 6.如图，直线，若，，，则(    ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 7.下列图形一定相似的是(    ) A. 两个矩形 B. 两个正方形 C. 两个菱形 D. 对应边成比例的两个四边形 8.在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是(    ) A. B. C. D. 9.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.下列方程是邻根方程的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.计算：      . 12.已知是关于x的一元二次方程，则______. 13.已知，则的值是______. 14.方程的解是          . 15.如图，点D，E分别是边AB，AC上的点，且，若，则的值是      . 16.如果两个相似三角形面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长之比为      . 17.若关于x的方程有三个解，则实数m的值是      . 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题6分 计算： ； 19.本小题6分 用适当的方法解下列方程： ； 20.本小题6分 如图， 求证：∽； 若，，，求AC的长度. 21.本小题8分 已知关于x的方程 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； 若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 22.本小题8分 沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩. 求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率. 假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？ 23.本小题10分 汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.某型号小汽车的车头盲区见图可以近似看作矩形.如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在EF上，米. 求车头盲区EF的长度； 在M处有一个高度为米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由. 24.本小题10分 【阅读材料】各类方程的解法. 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式. 解二元一次方程组；把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解. 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解. 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验. 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为解方程和，可得方程的根. 【问题】方程的根是，______，______； 【拓展】用“转化”思想解方程； ①； ② 25.本小题12分 在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形ABCD，正方形将正方形CEFG绕点C旋转，连接BE，DG，则BE与DG的数量关系为______； 创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形ABCD和矩形DEFG中，，，，将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE，CG交于点P，AE与CG有怎样的数量关系？请你给出证明. 善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形ABCD是矩形，，，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：：2，连接BG，DG，BE，则的最小值是______. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选： 利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点． 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查二次根式加减与二次根式乘除的运算法则. 根据相关法则一一计算，即可解答. 【解答】 解： ，不能合并，故错误； B. ；故错误； C. ；故正确； D.；故错误； 故选 3.【答案】C  【解析】解：， ， ， 故 故选： 首先把常数项移到等号的右边，可得：，把方程的两边同时加上9，把等号左边凑成完全平方式，可得：，再把等号左边的用完全平方公式分解因式，可得： 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选： 先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 5.【答案】A  【解析】解：由条件可知，， ， 故选： 对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，据此求出和的值即可得到答案． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 6.【答案】D  【解析】解：， ， ，，， ， 解得：， ， 故选： 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 7.【答案】B  【解析】解：两个矩形对应边的比不一定相等，不一定相似； 两个正方形一定相似； 两个菱形对应角不一定相等，不一定相似； 对应边成比例的两个四边形对应角不一定相等，不一定相似， 故选： 根据相似多边形的概念进行判断即可． 本题考查的是相似多边形的概念，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 8.【答案】B  【解析】解：，， ∽， 故A不符合题意； ，不符合相似三角形的判定定理， 由，不能判定和相似， 故B符合题意； ，， ∽， 故C不符合题意； ，， ∽， 故D不符合题意， 故选： 由，，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽，可判断A不符合题意；由，不符合相似三角形的判定定理，可判断B符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，可判断C不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定，适当选择相似三角形的判定定理证明∽是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：， ， ， 方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B.， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C.， ， ， ，， 方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ， ，， ， 方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选： 先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：①四边形ABCD是平行四边形， ， ∽， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ∽， ， ， ，正确； ②， ， ， ∽， ， ，正确； ③， ，正确； ④， ， ， ∽， ， ，错误． ⑤∽，， ， ， ，错误； 故选： 根据▱ABCD得到∽，得到；根据▱ABCD得到∽，可以推出，由此得到继而得到可以判断①；根据，可以判断②；根据题意，得可以判断③；根据，得∽，得到，从而得，可判断④；根据∽，，得，结合，得，可判断⑤． 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 根据二次根式的乘法法则进行计算． 本题考查了二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：方程是关于x的一元二次方程， ，， 解得： 故答案为： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义得出，，进而得出答案． 此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了比例的性质，在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．已知，可设，则，代入所求的式子即可求解． 【解答】 解： 设，则 14.【答案】，  【解析】解：， ， ， 或， ，， 故答案为：， 利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键． 15.【答案】2  【解析】解：， ∽， ， 故答案为： 利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 16.【答案】3：2  【解析】解：两个相似三角形面积之比为9：4， 两个相似三角形相似之比为3：2， 这两个三角形的周长之比为3： 故答案为：3： 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 17.【答案】9  【解析】解法一：当时，没有实数根； 当时，，即或， 关于x的方程有三个解， 方程和之中必有一个方程有两个相等的实数根， ①当方程有两个相等的实数根时， 方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得：，不合题意，舍去； ②当方程有两个相等的实数根时， 方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得：， 当时，或， 由解得：，， 由解得 综上所述：若关于x的方程有三个解，则实数m的值是 故答案为： 解法二：设，， 画出函数的图象，点M的坐标为，如图， 关于x的方程有三个解， 函数的图象与的图象有三个交点， 当经过点M时，函数的图象与的图象有三个交点， 关于x的方程有三个解，则实数m的值是 故答案为： 解法一：当时，没有实数根；当时，，即或，然后根据关于x的方程有三个解得方程和之中必有一个方程有两个相等的实数根，①当方程有两个相等的实数根时，利用判别式等于0可求出m的值；②当方程有两个相等的实数根时，利用判别式等于0可求出m的值； 解法二：设，，画出的图象，然后根据关于x的方程有三个解得函数的图象与的图象有三个交点，结合函数的图象即可得出m的值． 此题主要考查了绝对值的意义，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程；解法一的关键是理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式，分类讨论是难点之一；解法二的关键是构造二次函数和一次函数，利用数形结合思想进行解答． 18.【答案】    【解析】解：原式 ； 原式 根据平方差公式计算，并化简二次根式，最后计算加减法即可； 先计算二次根式的乘除，再化简为最简二次根式，最后计算加减法即可． 本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握运算法则是关键． 19.【答案】，  ，  【解析】解：由题意得，， 或，  解得，； 由题意得，， ， 或， 解得： 根据因式分解法解一元二次方程即可． 根据因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 20.【答案】，， ∽；    【解析】证明：，， ∽； 解：∽， ， ， 解得： 直接根据，证明即可； 根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21.【答案】解：方程有两个不相等的实数根， ， 即， 解得； 设方程的另一个实数根为， ， 当方程有一个实数根是5，则另一个根为  【解析】计算根的判别式，得到关于m的不等式，求解即可； 根据根与系数的关系，利用两根之和求出另一根． 本题考查了根的判别式和根与系数的关系．判断一元二次方程解的情况利用根的判别式，已知一元二次过程的一个根求方程的另一个根可通过根与系数的关系． 22.【答案】；   没有突破175亩  【解析】由题意，设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为x， ， ，舍， 答：该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为； 由题意得，， ， 合作社种植生姜的亩数没有突破175亩． 设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为x，根据增长率计算公式建立方程求解； 由2024年种植生姜数量增长率求解2025年种植生姜数量，再与175比较即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 23.【答案】；   驾驶员不能观察到物体．  【解析】根据题意，，，，， ， ∽， ，且， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， ， ； 驾驶员不能观察到物体． 理由：如图所示，过点M作交AF于点N， ，，， ∽， ， ， ， 驾驶员不能观察到物体． 根据题意得到∽，根据相似三角形的性质即可得到结论； 过点M作交AF于点N，可证∽，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 24.【答案】  ①，②或  【解析】解：由条件可知， ， 或或， 解得，，， 故答案为：；1； ①由条件可知， 解得或， ， ； ②令，则， ， 解得或， 或， 解得或 把所给方程左边利用提公因式法和十字相乘法分解因式，然后仿照题意解方程即可； ①把方程两边同时平方，然后解方程即可；②令，则，解方程求出y的值，进而求出x的值即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 25.【答案】；   ，理由见解答；     【解析】正方形ABCD， ，， 四边形ECGF是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 故答案为：； ，理由如下： 在矩形ABCD和矩形DEFG中， ， ， 又，，， ， ∽， ； 四边形ECGF、四边形ABCD都是矩形， ，，， ， ：：：2，CG：：2， ：：CE， ， ∽， ，， ， 作于N，交BC的延长线于M，如图3， ， ， ， ∽， ， ， ， 点G的运动轨迹是直线MG， 作点D关于直线MG的对称点，连接交MG于G，此时的值最小，最小值为， ， ， 的最小值就是的最小值， ， 的最小值为 故答案为： 证明≌，即可得到； 证明∽，即可得到； 证明∽，得，作于N，交BC的延长线于M，然后证明∽，得，所以，得点G的运动轨迹是直线MG，作点D关于直线MG的对称点，连接交MG于G，此时的值最小，最小值为，然后根据勾股定理即可解决问题． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称-最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $