第六章 反比例函数 存在性问题专项训练 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

反比例函数存在性问题专练 一．解答题（共8小题） 1．如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OB，在x轴上取点C，使BC＝BO，求△OBC的面积； （3）P是y轴上一点，且△OBP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有P点坐标． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为（﹣2，﹣2）． （1）求点A坐标及反比例函数的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△AOD相似，求P点的坐标． 4．如图，四边形OABC是平行四边形，O为坐标原点，点C在x轴的负半轴上，，tan∠AOC＝2，点A在反比例函数的图象上，点D是线段BC与反比例函数图象的交点，点D的横坐标是﹣2． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△AOD的面积； （3）在x轴上存在一点P，使得△ADP是以AD为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点B（﹣2，3）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点D（﹣6，n）是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，直接写出△BCD的面积； （3）点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在反比例函数的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，6），与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求b的值和点B的坐标； （2）如果点P是该反比例函数图象上一点，且点P的横坐标小于﹣2，联结BP、PC，当△PBC的面积等于10时，求点P的坐标； （3）如果点D在该反比例函数的图象上，点Q在x轴上，当以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 8．如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y（k≠0）的图象相交于A（a，4），B两点，连接OA，OB． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数y＝x+2图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 参考答案与试题解析 一．解答题（共8小题） 1．如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， 在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图： ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB＝CD， ∵CE⊥BD， ∴BE＝DE， 在y中，令y＝4得x， ∴D（，4）， ∴BE＝DE， 在y中，令x得y＝8， ∴C（，8）， ∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上， ∴8＝24， 解得k＝16， ∴k的值为16． 2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OB，在x轴上取点C，使BC＝BO，求△OBC的面积； （3）P是y轴上一点，且△OBP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有P点坐标． 【解答】解：（1）将（﹣2，1）代入y得1， 解得m＝﹣2， ∴y． 将（1，n）代入y得n＝﹣2， ∴点B坐标为（1，﹣2）， 将（﹣2，1），（1，﹣2）代入y＝kx+b得， 解得， ∴y＝﹣x﹣1， ∴反比例函数解析式为y，一次函数解析式为y＝﹣x﹣1； （2）作BD⊥x轴于D， ∵BO＝BC， ∴OD＝DC． ∴D（1，0），C（2，0）， ∴S△OBC2×2＝2； （3）设点P（0，m），而点B、O的坐标分别为：（1，﹣2）、（0，0）， BP2＝1+（m+2）2，BO2＝5，PO2＝m2， 当BP＝BO时，1+（m+2）2＝5，解得：m＝﹣4或0（舍去0）； 当BO＝PO时，同理可得：m＝±； 当BP＝PO时，同理可得：m； 综上，P点坐标为：（0，﹣4）或（0，）或（0，）或（0，）． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为（﹣2，﹣2）． （1）求点A坐标及反比例函数的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△AOD相似，求P点的坐标． 【解答】解：（1）∵点B（﹣2，﹣2）在反比例函数的图象上， ∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4， ∴反比例函数的表达式为：， 解方程组：， 得：，， ∴点A的坐标为（4，1），反比例函数的表达式为； （2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，AE，BF的延长线交于点H，如图1所示： 则∠HEO＝∠EOF＝∠OFH＝90°， ∴四边形EOFH是矩形， ∵点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）， ∴AE＝4，OE＝FH＝1，BF＝2，OF＝EH＝2， ∴BH＝BF+HF＝3，AH＝AE+EH＝6， ∴S△ABHBH•AH9， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△AOE＝S△BOF2， 又∵S矩形EOFH＝OE×OF＝1×2＝2， ∴S△OAB＝S△ABH﹣S矩形EOFH﹣S△AOE﹣S△BOF＝9﹣2﹣2﹣2＝3； （3）过点A作AM∥y轴交x轴于点M，如图2所示： ∵点A（4，1）， ∴AM＝1，OM＝4， 对于一次函数y＝（1/2）x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，y＝0时，x＝2， ∴点C（2，0），点D（0，﹣1）， ∴OD＝1，OC＝2， ∴OD＝AM＝1，MC＝OM﹣OC＝4﹣2＝2， ∴OC＝MC＝2， 在Rt△ACM中，AM＝1，MC＝2， 由勾股定理得：AC， 在Rt△OCD中，OC＝2，OD＝1， 由勾股定理得：CD， ∴CD＝CA， ∴AD＝CD+CA， ∵x轴上存在一点P，使△PDC与△AOD相似， ∴有以下两种情况， ①当∠DPC＝∠DOA时，如图3所示： 又∵PDC＝∠ODA， ∴△PDC∽△ODA， ∴， ∴， ∴PD， ∴OP＝OD﹣PD， ∴点P的坐标是； ②当∠DCP＝∠DOA时，如图4所示： 又∵∠PDC＝∠ADO， ∴△PDC∽ADO， ∴， ∴， ∴PD＝10， ∴OP＝PD﹣OD＝10﹣1＝9， ∴点P的坐标是（0，9）， 综上所述：点P的坐标是或（0，9）． 4．如图，四边形OABC是平行四边形，O为坐标原点，点C在x轴的负半轴上，，tan∠AOC＝2，点A在反比例函数的图象上，点D是线段BC与反比例函数图象的交点，点D的横坐标是﹣2． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△AOD的面积； （3）在x轴上存在一点P，使得△ADP是以AD为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，垂足为G，如图， ∵tan∠AOC＝2， ∴2， ∴AG＝2OG， ∵OA， ∴OG2+AG2＝OA2，即OG2+（2OG）2＝（）2， 解得OG＝1，AG＝2， ∴A（﹣1，2）， ∵点A在反比例函数y图象上， ∴k＝1×2＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为y； （2）∵点D在反比例函数y的图象上，点D的横坐标是﹣2， ∴y1， ∴D（﹣2，1）， ∴DE＝1，OE＝2， 过点D、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，如图， ∴DE∥BF， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA＝CB，∠AOG＝∠BCF， ∵∠AGO＝∠BFC＝90°， ∴△AOG≌△BCF（AAS）， ∴BF＝AG＝2，CF＝OG＝1， ∵DE∥BF， ∴△CDE∽△CBF， ， ∴ ∴CE， ∴OC＝OE﹣CE＝2， ∴C（7.5，0），B（9.5，4）， ∴△OAD的面积平行四边形OABC的面积OC•BF2； （3）设P（m，0）， ∵A（﹣1，2），D（﹣2，1）， 根据两点间的距离得AD，AP，DP． ①当AP为斜边时，AD2+DP2＝AP2，即（m+2）2+22+2＝（m+1）2+22， 解得m， ∴P（，0）； 当DP为斜边时，AD2+AP2＝DP2，即（m+1）2+22+2＝（m+2）2+12， 解得m＝3， ∴P（3，0）． 综上所述：点P的坐标为（，0）或（3，0）． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点B（﹣2，3）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点D（﹣6，n）是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，直接写出△BCD的面积； （3）点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数（x＜0）的图象交于点B（﹣2，3），将点B的坐标代入得： ∴3＝﹣2k+2，， 解得：，m＝﹣6， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）△BCD的面积为4；理由如下： ∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、点C， 当y＝0时，得： x+2＝0， 解得：x＝4； 当x＝0时，y＝2， ∴A（4，0），C（0，2）， ∵点D（﹣6，n）是反比例函数图象上一点，代入得： ∴， ∴D（﹣6，1）， 如图，过点B作BF⊥x轴，交直线DC于点E， 设直线CD的解析式为y＝mx+n，将点C，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线CD的解析式为， ∵点B（﹣2，3），BF⊥x轴， ∴点E的横坐标为﹣2， 当x＝﹣2时，得：， ∴， ∴， ∴△BCD的面积； （3）点P的坐标为或．理由如下： 设P（0，t）， ∵A（4，0），B（﹣2，3）， ∴PA2＝t2+16，PB2＝（t﹣3）2+4，AB2＝（﹣2﹣4）2+（3﹣0）2＝45， 当∠APB＝90°时，由勾股定理得：PA2+PB2＝AB2， ∴t2+16+（t﹣3）2+4＝45， 整理得：t2﹣3t﹣8＝0， 解得：或， 故点P的坐标为或． 6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在反比例函数的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）作BF⊥x轴于点F， ∵△OBA为等边三角形，OA＝2， ∴OB＝2，OF＝AF＝1， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵OA＝2， ∴点A的坐标为（2，0）， 设直线AC的解析式为y＝k'x+b， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为， 联立得， 解得x＝3或x＝﹣1（舍去）， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）是，理由如下： ∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴OA＝OB＝OC，∠BOA＝∠BAO＝60°， ∴， ∴∠BAC＝90°， 当DQ⊥x轴时， ∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠DQA＝∠BAC＝90°， ∴△DQA∽△BAC， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为（3，0）； 当DQ⊥AD时， ∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠QDA＝∠BAC＝90°， ∴△QDA∽△BAC， ∵点D的坐标为，点A的坐标为（2，0）， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上，点Q的坐标为（3，0）或． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，6），与y轴交于点B，与x轴交于点C． （1）求b的值和点B的坐标； （2）如果点P是该反比例函数图象上一点，且点P的横坐标小于﹣2，联结BP、PC，当△PBC的面积等于10时，求点P的坐标； （3）如果点D在该反比例函数的图象上，点Q在x轴上，当以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：6＝2+b， 解得：b＝4， 则一次函数的表达式为：y＝﹣x+4， 则点B（0，4）； （2）由函数y＝﹣x+4知，点C（4，0）， 设PC交y轴于点H， 设点P（m，）， 设直线PC的表达式为：y＝k（x﹣4）， 将点P的坐标代入上式得：k（m﹣4）， 则k， 则直线PC的表达式为：y（x﹣4）， 则点H（0，）， 则△PBC的面积BH×（xC﹣xP）[4]×（4﹣m）＝10， 解得：m＝3（舍去）或﹣4， 即点P（﹣4，3）； （3）设点D（t，）、Q（x，0）， 当AB为对角线时，由中点坐标公式得： ，解得：x＝﹣0.8， 即点Q（﹣0.8，0）； 当AD或AQ为对角线时， 同理可得：或， 解得：x＝4（舍去）或﹣4， 即点Q（﹣4，0）； 综上，点Q的坐标为：（﹣0.8，0）或（﹣4，0）． 8．如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y（k≠0）的图象相交于A（a，4），B两点，连接OA，OB． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数y＝x+2图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：4＝a+2，则a＝2，即点A（2，4）， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×4＝8， 即反比例函数表达式为：y； （2）联立y＝x+2和y并解得：x＝﹣4或x＝2，即点B（﹣4，﹣2）， 对于y＝x+2，当x＝0时，y＝2，即点C（0，2），即OC＝2， 则△AOB的面积＝S△COA+S△COBOC×（xA﹣xB）（2+4）＝6； （3）设点M的坐标为（m，）（m＞0），点N（t，t+2）， 当OB是对角线时，由中点坐标公式得： ，解得：m＝2（不合题意的值已舍去）， 即点M（2，2）此时，点N在x轴的下方，故舍去； 当OM或ON是对角线时，由中点坐标公式得： 或，解得：m＝22或2（不合题意的值已舍去）， 即点M的坐标为：（22，2）或（2，2）； 综上，点M的坐标为：（22，2）或（2，2）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/7 17:00:13；用户：徐萍；邮箱：18669688085；学号：41110157 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $