专题15 对数及其复合函数的图像与性质（压轴题6大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题15 对数及其复合函数的图像与性质 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、图像过定点问题 1 类型二、图像辨析问题 2 类型三、解对数不等式 4 类型四、对数（型）函数的值域 5 类型五、对数（型）函数的单调性及参数问题（含比较大小） 5 类型六、对数（型）函数的奇偶性与对称性 6 压轴专练 7 类型一、图像过定点问题 涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klogag(x)+b(a>0,且a≠1),且g(m)=1,则f(x)图象过定点P(m,b). 1．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·月考）函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是 类型二、图像辨析问题 1、对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域,注意利用对数型函数图象所过定点,同时结合单调性进行判断,也可以利用函数图象的变换进行判断. 2、根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的,也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式. 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 类型三、解对数不等式 解简单对数不等式的方法 （1）形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； （2）形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式：可利用图象求解． 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）若，则m的取值范围是 . 2．（23-24高一上·浙江温州·月考）若，则买数的取值范围是 ． 3．函数的定义域是 . 4．（25-26高一上·上海·期中）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·广东佛山·月考）不等式的解为 . 类型四、对数（型）函数的值域 (1)对数函数的值域为(-∞,+∞). (2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;③由定义域求u的取值范围;④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.同理可求y=f(logax)(a>0,且a≠1)型复合函数的值域. 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北·月考）函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 5．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 类型五、对数（型）函数的单调性及参数问题（含比较大小） 1、对数值比较大小的常用方法 （1）同底：可直接利用单调性求解； （2）不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量； （3）不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较； （4）底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较； （5）如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏． 2、解决对数型复合函数单调性问题的思路 （1）型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； （2）型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可． 注意：研究对数型复合函数的单调性，一般要注意先研究函数的定义域． 1．（25-26高一上·江西·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃平凉·月考）已知函数在上单调递增，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西·月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在[3,4]上最大值比最小值大1，则 ． 7．（24-25高一下·广东广州·期中）若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为 ． 8．（24-25高一上·广东佛山·月考）若在区间内单调递增，则实数的取值范围为 ． 类型六、对数（型）函数的奇偶性与对称性 1．已知函数，则（    ） A．在定义域上是增函数 B． C．关于对称 D．零点的个数为1 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江·月考）已知函数 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 . 6．（24-25高一上·海南·期末）已知函数的图像关于直线对称，则 . 7．（24-25高一上·广东·期末）函数的图象的对称中心坐标为 . 1．（24-25高一上·四川绵阳·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东菏泽·月考）若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南昭通·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁盘锦·月考）函数的图象简图可能是（   ） A． B． C． D． 6．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 7．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）在同一坐标系内作出的两个函数图像如图所示，则这两个函数为（    ）    A．和 B．和 C．和 D． 和 8．（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·四川成都·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·广东惠州·月考）函数的图象关于（     ） A．点对称 B．直线对称 C．轴对称 D．直线对称 12．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）（多选题）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 14．（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选题）已知函数的图象关于原点对称，则下列结论正确的是（ ） A． B．函数在上单调递减 C．函数的值域为R D．若，则 15．（24-25高一上·天津北辰·月考）已知函数，则函数的定义域为 ； 16．（24-25高一下·上海·月考）不等式的解集是 . 17．（25-26高一上·上海·期中）若，则的取值范围是 18．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 19．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 20．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是 ；函数的值域是 ． 21．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 22．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，若，则实数的取值范围是 ． 23．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 24．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 对数及其复合函数的图像与性质 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、图像过定点问题 1 类型二、图像辨析问题 3 类型三、解对数不等式 6 类型四、对数（型）函数的值域 8 类型五、对数（型）函数的单调性及参数问题（含比较大小） 11 类型六、对数（型）函数的奇偶性与对称性 15 压轴专练 19 类型一、图像过定点问题 涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klogag(x)+b(a>0,且a≠1),且g(m)=1,则f(x)图象过定点P(m,b). 1．（24-25高一上·贵州六盘水·月考）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点，令，求出点P的坐标. 【详解】令，则，此时， 所以图象经过定点P，则点P的坐标为， 故选：A. 2．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象. 【详解】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 3．（24-25高一上·天津·月考）函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是 【答案】2 【分析】依据对数的性质可得，然后利用基本不等式“1”的代换计算即可. 【详解】由题可知：函数的图象过定点，所以. 所以，即，则， 所以，当且仅当，即取等号. 故答案为：2. 类型二、图像辨析问题 1、对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域,注意利用对数型函数图象所过定点,同时结合单调性进行判断,也可以利用函数图象的变换进行判断. 2、根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的,也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式. 1．（24-25高一上·江苏南通·月考）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用，在图象上画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数. 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用的奇偶性与特殊区间处的函数值正负排除错误选项. 【详解】方法一：易知函数定义域是，又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D， 当时，，排除B； 方法二：当时，，则，排除B，D， 当时，，则，排除C， 故选：A 3．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解. 【详解】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 4．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域以及零点个数，可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，故函数的定义域为，排除AB选项， 令可得，解得，即函数只有两个零点，排除C选项. 故选：D. 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 类型三、解对数不等式 解简单对数不等式的方法 （1）形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； （2）形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式：可利用图象求解． 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对数函数单调性求解即可． 【详解】若， 则，得， 则m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在利用对数函数的单调性解题时，关键要注意在定义域内求解. 2．（23-24高一上·浙江温州·月考）若，则买数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把不等式两边化为同底数的形式，再利用函数的单调性列出条件，求解即可. 【详解】因为， 所以不等式化为， 又在上是增函数， 所以， 解得，即的取值范围是. 故答案为： 3．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数有意义结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得， 则函数的定义域是. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期中）若时，对数函数的值总大于0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为时，， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 5．（24-25高一上·广东佛山·月考）不等式的解为 . 【答案】 【分析】根据在上单调递增求解即可. 【详解】设，则该函数在上单调递增， 因为，所以解不等式即， 所以. 故答案为： 类型四、对数（型）函数的值域 (1)对数函数的值域为(-∞,+∞). (2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;③由定义域求u的取值范围;④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.同理可求y=f(logax)(a>0,且a≠1)型复合函数的值域. 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 2．（25-26高一上·湖北·月考）函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 5．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数的值域为，需要满足二次函数的值域包含所有正实数，由判别式求解即可. 【详解】，，解得. 故答案为：. 类型五、对数（型）函数的单调性及参数问题（含比较大小） 1、对数值比较大小的常用方法 （1）同底：可直接利用单调性求解； （2）不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量； （3）不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较； （4）底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较； （5）如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏． 2、解决对数型复合函数单调性问题的思路 （1）型：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； （2）型：一般用换元法，即令，则只需要研究及的单调性即可． 注意：研究对数型复合函数的单调性，一般要注意先研究函数的定义域． 1．（25-26高一上·江西·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】引入中间量，借助指数函数、对数函数性质判断即可得. 【详解】，，， 故. 故选：D. 2．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 3．（24-25高一下·甘肃平凉·月考）已知函数在上单调递增，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的单调性结合指数和对数函数的单调性求出a，再由单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 则，所以， 又，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 4．（24-25高一上·安徽·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别判断与0和1的大小关系，再利用特殊值综合比较三者的大小. 【详解】由于，指数函数单调递减， 因此，即； 对数函数单调递增，且， 因此，同时，故，即； 对数函数单调递增，且，因此，即. 综上，. 故选. 5．（25-26高一上·江西·月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列不等式组求解即可. 【详解】令，由且可得且， 所以单调递减， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：B 6．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在[3,4]上最大值比最小值大1，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分别讨论和两种情况，根据对数函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为函数在上最大值比最小值大1， 当时，函数单调递增， ， 解得，符合题意； 当时，函数单调递减， ， 解得，符合题意； 故答案为：或. 7．（24-25高一下·广东广州·期中）若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数单调递增得出函数是增函数，再根据对数复合函数的单调性及分段函数列不等式求解即可. 【详解】因为在R上单调，且当时，单调递增， 所以在R上单调递增，则需满足，解得， 即a的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·广东佛山·月考）若在区间内单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性判断方法求函数的单调递增区间，由条件列不等式求结论. 【详解】由，可得， 故函数的定义域为， 设，， 因为函数为减函数， 函数的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为， 由已知，且， 所以，且， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 类型六、对数（型）函数的奇偶性与对称性 1．已知函数，则（    ） A．在定义域上是增函数 B． C．关于对称 D．零点的个数为1 【答案】C 【分析】对于，可以利用复合函数的单调性的性质进行判断；对于，可直接计算进行比较大小即可；对于，可利用偶函数的图象关于轴对称，及函数图象之间的位置关系判定；对于，令解出方程即可. 【详解】对于，当时，易得单调递减，而，单调递增， 根据复合函数的单调性判定规则可知，在上单调递减，故错误； 对于 而，故错误； 对于，为偶函数，其对称轴为 又的图象是由的图象向右平移个单位得到， 故的对称轴为，故正确； 对于，令则所以或，所以有两个零点,故错误. 故选：. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得． 3．（24-25高一下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可. 【详解】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，且， 所以当时，的解集为， 因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得， 根据偶函数知：当时，可得， 故选：A. 4．（24-25高一下·浙江·月考）已知函数 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由令，判断奇偶性，然后由初等函数的单调性，判断单调性，进而解不等式. 【详解】由可知函数定义域为， 令， 则， 故为奇函数， 由则， 即, 由初等函数可以得到在定义域上单调递增， 故,即,解得或. 故的范围为. 故选：B. 5．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据是偶函数求出，再由函数的单调性及对称性可得. 【详解】由是偶函数可得，即， 所以，设，任取，则， 所以在上单调递增，也即在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以的最小值在对称轴处取得，即. 故答案为： 6．（24-25高一上·海南·期末）已知函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】2 【分析】求出函数定义域，由函数图像关于直线对称得到定义域也关于直线对称，求得的值，由对称轴得到，代入函数解析式，整理求得，即可得出结果. 【详解】∵函数的定义域为，即，解得或， 即函数的定义域. ∵函数图像关于直线对称，∴， ∵则，即，即，∴， ∴. 故答案为：2. 7．（24-25高一上·广东·期末）函数的图象的对称中心坐标为 . 【答案】 【分析】法一，根据函数对称性的定义列式运算得解；法二，求出函数的定义域，且，根据对称性可得对称中心横坐标为，代回求出对称中心的纵坐标，得解. 【详解】解法一：设图象的对称中心坐标为，则， 所以， 整理可得， 此式对定义域内的任意值都成立，则必有，所以， 回代可得，解得，故对称中心坐标为. 解法二：易知函数的定义域为，且， 故图象的对称中心横坐标为， 将其代入中，可得， 所以图象的对称中心坐标为. 故答案为：. 1．（24-25高一上·四川绵阳·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为， 所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A. 故选：A. 2．（25-26高一上·吉林·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，是由和复合而成，求出二次函数的单调性以及对数函数的单调性，由复合函数的单调性即可求解. 【详解】由可得或， 所以的定义域为， 设， 则是由和复合而成， 因为对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是. 故选:B. 3．（24-25高一上·山东菏泽·月考）若且，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】由于，， 所以函数与函数单调性相反，故排除A，C. 再由可排除B. 故选：D 4．（25-26高一上·云南昭通·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 5．（24-25高一上·辽宁盘锦·月考）函数的图象简图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域判断即可. 【详解】由，得，解得或， 则的定义域为或， 可知在处处无意义，故ABC错误；D正确. 故选：D. 6．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质求得，然后妙用“1”可得. 【详解】当时，， 所以，函数过定点，得， 所以，， 因为，， 所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，的最小值为8. 故选：B 7．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）在同一坐标系内作出的两个函数图像如图所示，则这两个函数为（    ）    A．和 B．和 C．和 D． 和 【答案】D 【分析】先由指数函数的图象确定函数底数的取值范围，再由此推断对数复合函数的图象性质，并与已知图象比较，若矛盾则排除. 【详解】对于选项A，由图可知为减函数，故，此时 为上的增函数，与图象矛盾，排除A 对于选项B，由图可知为减函数，故，此时为上 的增函数，与图象矛盾，排除B 对于选项C，由图可知为减函数，故，此时为上的减函数，与图象矛盾，排除C 故选：D． 8．（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 9．（25-26高一上·四川成都·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用幂指对函数的单调性比较自变量的大小，然后根据的单调性和奇偶性即可得出答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，且在上单调递增， 由幂函数和指数函数的单调性可知， 由对数函数单调性可知， 所以，故，即. 故选：D 10．（25-26高一上·山东青岛·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题构造函数，判断的单调性，从而得到，依次判断各个选项. 【详解】令，由在R上单调递增，在R上单调递增， 所以函数在R上单调递增. 若，则，即， . 对于AB，由，得，即，所以，故A错误，B正确； 对于CD，由，得，所以，故选CD错误. 故选：B. 11．（24-25高一上·广东惠州·月考）函数的图象关于（     ） A．点对称 B．直线对称 C．轴对称 D．直线对称 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据对数的运算性质计算出，即可判断. 【详解】函数的定义域为， 又， 则， 所以为偶函数，其函数图象关于轴对称. 故选：C 12．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数解析式为，分析可知函数的图象关于直线对称，利用复合函数法分析函数在上的单调性，结合可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 且， 因为， 所以，函数的图象关于直线对称， 令，其中， 任取、且，即，故， 所以，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数， 因为，则，即， 即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 13．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）（多选题）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】BD 【分析】根据对数型函数的定义域、复合函数的单调性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错. 对于B，因为， 设， 因函数在定义域内为增函数， 函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据B选项的分析可知，在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错误； 对于D，当时，， 所以的值域为，即，故D正确． 故选：BD． 14．（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选题）已知函数的图象关于原点对称，则下列结论正确的是（ ） A． B．函数在上单调递减 C．函数的值域为R D．若，则 【答案】AC 【分析】由题意知函数的奇函数，定义域关于原点对称，求出a的值判断A；利用复合函数的单调性判断B；由对数函数的性质及的值域判断C；解不等式判断D. 【详解】对于A，因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，定义域关于原点对称， 由，可得， 令，得或，所以，解得，正确； 对于B，因为，， 因为在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，又为奇函数， 所以函数在上单调递增，错误； 对于C，因为， 当x趋于时，趋于0，趋于； 当x趋于1时，趋于，趋于； 所以函数的值域为R，正确； 对于D，由，可得，所以，解得， 又，所以，错误． 故选：AC 15．（24-25高一上·天津北辰·月考）已知函数，则函数的定义域为 ； 【答案】 【分析】根据根式、分式列不等式组，结合对数函数单调性解不等式即可. 【详解】令，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海·月考）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，由对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】不等式可转化为， 由对数函数单调性可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 17．（25-26高一上·上海·期中）若，则的取值范围是 【答案】 【分析】将不等式转化为，然后根据对数函数的单调性分类讨论求解. 【详解】因为，所以， 当时，在上递减， 所以，可得； 当时，在上递增， 所以，可得. 综上所述， . 故答案为： 18．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】单调递增， , 则原不等式为,所以, 所以解集为. 故答案为：. 19．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 20．（25-26高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是 ；函数的值域是 ． 【答案】 【分析】设，先求得的定义域，再由二次函数的性质，得到在上递减，且，结合对数函数的单调性，以及复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，设， 令，可得，即，解得， 所以函数的定义域为， 又由函数的图象开口向下，对称轴为， 可得在上单调递增，在上单调递减，且， 所以函数在上的值域为，即， 又由函数为单调递增函数， 根据复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递减区间为； 且函数的值域为，即. 故答案为：；. 21．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解. 【详解】由于函数在上单调递减， 又因为在上是减函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得： 函数在上单调递增，且． 当时，在上单调递减，不符合题意， 当时，由题意得：，解得． 则实数a的取值范围是． 故答案为：． 22．（25-26高一上·山东济南·期中）已知，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先计算的定义域，然后利用定义法判断出为偶函数，再根据复合函数同增异减的原则，判断出的单调性，最后再根据奇偶性和单调性解不等式，得出最终结果. 【详解】由得，的定义域为：； ， 根据函数奇偶性的定义：，所以为偶函数； 令，，根据二次函数的性质，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减； 又因为为增函数，根据复合函数同增异减的原则，在上单调递增，在上单调递减； 因为为偶函数，所以不等式等价于， 则，解得：； 故答案为：. 23．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用给定条件结合对数函数的性质求解值域即可. （2）利用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以，故， 故，故函数的值域为. （2）因为的最小值为， 所以的最小值为， 令，所以的最小值为， 由二次函数性质，得的对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以，解得 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得(负根舍去)； 当时，在上单调递减， 所以，解得(不在范围内，舍去)， 综上，实数的值为或. 24．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由给定条件可得不等式的解集为R，再由求解即得. （2）由函数的值域为R，结合对数函数性质可得函数的值域包含，再利用二次函数性质列式求解. （3）由函数的值域为，结合对数函数性质可得函数的值域为，再求出二次函数值域列式求解. 【详解】（1）由函数的定义域为R，得不等式的解集为R， 则，解得， 所以a的取值范围为. （2）由函数的值域为R，得函数的值域包含集合， 因此，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由函数的值域为，得函数的值域为， 而，因此，解得， 所以实数的值是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $