湖北省武汉市汉阳区四校联考2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年湖北省武汉市汉阳区四校联考八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称的是(    ) A. B. C. D. 2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是(    ) A. 3cm，4cm，8cm B. 8cm，7cm，15cm C. 5cm，5cm，11cm D. 13cm，12cm，20cm 3.如图，中BC边上的高是(    ) A. BD B. AE C. BE D. CF 4.如图，≌，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，D，E分别是边AC和BC上的点，且，若≌，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知，，，，，则(    ) A. B. C. D. 7.直线AB，CD，EF表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(    ) A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 8.如图，D为的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，，，垂足分别为A、C，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，(    ) A. B. C. D. 10.已知等腰三角形两边a，b，满足，则此等腰三角形的周长为(    ) A. 7或8 B. 6或10 C. 6或7 D. 7或10 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.点关于x轴的对称点的坐标为______. 12.如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接若，则的度数是        . 13.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当最小时，______ 14.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k，称为这个等腰三角形的“特征值”．在等腰中，若，则它的特征值________. 15.如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当          s时，为直角三角形． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题6分 如图，已知点A，C，B，D在同一条直线上，，， 求证：≌ 17.本小题7分 如图，已知为等边三角形，M是线段BC上任意一点，N是CA上任意一点，且，直线BN与AM相交于G点. 求证：； 求的度数. 18.本小题7分 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点和顶点为网格线的交点，以及过格点的直线 将向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形． 画出关于直线l对称的三角形． 填空：____. 19.本小题6分 如图，一艘轮船以15海里/时的速度，由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西方向上.求轮船在B处到小岛P的距离. 20.本小题8分 如图，在中，，AE平分，，，求： 的度数； 探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由. 21.本小题7分 综合与实践活动： 课题 测量墙上一点到地面的距离 测量工具 测角仪、皮尺、直杆等 测量方案 测量方案及步骤 第一步：如图1，找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点 A的高度. 任务1 补全上述方案中的空格； 任务2 利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由； 任务3 如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗？说明理由. 22.本小题10分 观察理解：如图1，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以≌______；请填写全等判定的方法 理解应用：如图2，，且，，且，利用中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； 类比探究：如图3，中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积. 拓展应用：如图4，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，若的面积为15，则与的面积之和为______. 23.本小题12分 在中，，，点D为AC上一动点. 如图1，点E、点F均是射线BM上的点并且满足，，求证：≌； 在的条件下，求证：； 如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接 ①的度数是______； ②若AH为中BF边上的高，求证： 24.本小题12分 如图，点，，满足 直接写出的面积为______. 如图1，点C在线段AB上不与A、B重合移动，，且，求证： 如图2，，点E是x轴上一动点点E在点A的左边且不与点O重合，点K是y轴正半轴上一动点，连接EK，FK，FE，使，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】D  【解析】解：A、，不能摆成三角形，本选项不符合题意； B、，不能摆成三角形，本选项不符合题意； C、，不能摆成三角形，本选项不符合题意； D、，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选： 根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：由图可知，中BC边上的高是 故选： 根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可． 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：≌， ，，， 故选： 依据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等进行判断即可． 本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：≌， ，，， ， ， ， ， ， 解得，， 故选： 根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可． 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：，， ， ， 是的外角， ， 同理可得  ，， ， 故选 由根据三角形内角和公式可求得的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找与的关系，即可解答． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分利用外角找出与的关系是正确解答本题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：如图，根据“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点，，，到三条公里的距离相等， 满足条件的地址有4个， 故选： 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线的性质；得出两对三角形全等是正确解决本题的关键． 根据角平分线的性质得出距离相等，结合其它条件证三角形全等，得出结论与各选项进行比对，可得答案． 【解答】解：点D是的平分线上一点，点P在BD上，，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ≌， 、、， 是BD上任意一个与D不同的点， 不一定成立． 故选 9.【答案】B  【解析】解：如图，连接BE，CE， 根据三角形的内角和定理， 故选： 连接BE，CE，可得三个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案． 本题主要考查了多边形的内角和，熟记三角形的内角和为是解题的关键，需作辅助线，比较简单． 10.【答案】A  【解析】解：， ， 解得， 当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7； 故选 先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长． 本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握． 11.【答案】  【解析】解：点 关于x轴的对称点的坐标为： 故答案为： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于x轴的对称点的坐标是得出即可． 此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：，， ， 由题意知，DE是AC的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为： 根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可求解． 本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 13.【答案】45  【解析】解：当最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点， 连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出， 故答案为： 根据当最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出的度数． 此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键． 14.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的度数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解. 【解答】 解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：， 特征值， ②当为底角时，顶角的度数为：， 特征值， 综上所述，特征值k为或 故答案为或 15.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了等边三角形的性质的运用，角的直角三角形的性质的运用，利用分类讨论是解题的关键． 先分别表示出BP，BQ的值，当和分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论． 【解答】 解：是等边三角形， ，， 当时，， ，， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 即当或秒时，是直角三角形． 故答案为或 16.【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌  【解析】首先根据可得，再加上条件，可利用SSS定理证明≌ 此题主要考查了三角形全等的判定方法和性质，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 17.【答案】证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ≌， ； 解：≌， ， ，   【解析】根据等边三角形的性质求得，再由SAS证明全等即可； 根据全等三角形的性质：对应角相等，求得，利用三角形的外角和定理可得，所以 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便． 18.【答案】解：如图，即为所求； 如图，即为所求；   【解析】见答案； 见答案； ，，， ， 为等腰直角三角形， 将点A、B、C分别右移2个单位、下移2个单位得到其对应点，顺次连接即可得； 分别作出点D、E、F关于直线l的对称点，顺次连接即可得； 连接，利用勾股定理逆定理求出和的长度，证明为等腰直角三角形即可得. 本题考查作图——平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移变换、轴对称变换及勾股定理逆定理是解题的关键。 19.【答案】30海里．  【解析】解：如图， 由题意可知：，， ，即， 海里 由为三角形PAB的外角，利用外角的性质得到，由及的度数求出的度数，得到，利用等角对等边得到 此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20.【答案】的度数是  能，的度数是  【解析】在中，，， ， ，AE平分， ，， ， ， 的度数是 能， 平分，且， ， ， ， ， ， ， 的度数是 由，，根据三角形内角和定理求得，因为，AE平分，所以，，则，求得 由AE平分，且，得，而，且，则 此题重点考查三角形的内角和等于、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 21.【答案】DCO，OD；  理由：， ， 在与中， ， ≌，   同意小明的观点． 理由：≌， ，，， ， 即， 在与中， ， ≌，   【解析】解：第一步：如图1，找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量OD的长度，即为点A的高度． 故答案为：DCO，OD； 理由：， ， 在与中， ， ≌， 同意小明的观点． 理由：≌， ，，， ， 即， 在与中， ， ≌， 证明≌，得出 证明≌，得出 证明≌，由全等三角形的性质得出 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形对应边相等． 22.【答案】AAS  50    5  【解析】解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ≌， 故答案为： ，，，， 由得：≌，≌， ，，，， ， 故答案为： 如图3，过作于E， 由旋转得：， ， 由可知≌， ， ； 的面积为15，， 的面积是：， ，，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是5， 故答案为： 根据AAS证明三角形全等即可． 利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可． 如图3，过作于E，构造全等三角形解决问题即可． 证明≌，得出解决问题即可． 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，“三垂”模型等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23.【答案】， 在和中， ， ≌  ， 由得≌， ， ， 又， ， ，   ①；②过点A作，交CF的延长线于点G， ， 四边形AHFG是矩形， ， ， 四边形AHFG是正方形， ， ， ， ，   【解析】证明：， 在和中， ， ≌； 证明： ， 由得≌， ， ， 又， ， ， ； ①解：过点A作AF的垂线交BM于点E， ， ， 同理， ， ， 同理得， 在和中， ， ≌， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：； ②证明：过点A作，交CF的延长线于点G， ， 四边形AHFG是矩形， ， ， 四边形AHFG是正方形， ， ， ， ， 根据SAS证明≌即可； 根据全等三角形的性质和垂直的判定解答即可； ①过点A作AF的垂线交BM于点E，证明≌，得出，则是等腰直角三角形，得出； ②过点A作，交CF的延长线于点G，证明，得出，则可得出结论． 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导． 24.【答案】2  过点O作交BC的延长线于E， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 在和中， ， ≌，   或  【解析】解：， ，， ，， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 的面积， 故答案为：2； 证明：过点O作交BC的延长线于E， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 在和中， ， ≌， ； ①如图2，当E在A，O之间时，过点F作，交y轴于点M，连接FB，FA， ，，， ，轴，轴， ，， 四边形AOBF是矩形， ， 矩形AOBF是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 即； ②如图3，当E在O左侧时，同理可证≌， ， 同理可证≌， ， 综上所述，线段BK，KE，EA之间的数量关系是或 根据非负数的性质得出，，可得，即可得出答案； 先判断出，进而判断出≌，得出，，进而判断出≌，即可得出结论； 分两种情况，由全等三角形的性质可得出结论． 本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $