精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（2）

2024级高二第一学期数学周测（2） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆：外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，B是x轴上一点，C是直线l：上一点，则周长的最小值为( ) A. B. 5 C. D. 6. 已知的边，的长分别为20,18，，则的角平分线的长为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若两条平行直线与间的距离为，则 C. 直线过定点 D. 点到直线距离的最大值为 8. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 非零向量，，满足且与同向，则 D. 非零向量，，满足，则与的夹角为30° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知点在圆上，则该圆的标准方程为______. 10. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量坐标为________． 11. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点且与直线平行； （2）过点且到原点的距离等于2； （3）直线关于直线对称的直线. 13. 在锐角中，角，，的对边为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； （3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期数学周测（2） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】解析： 设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选:D. 【点睛】本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决,属于基础题. 2. 直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，进而求出圆的方程. 【详解】依题意，点，线段中点为，且， 所以以线段为直径的圆的方程为，即. 故选：A 3. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到圆心在直线上，即，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】圆关于直线对称， 则圆心在直线上，即， 又因为， 所以， 当且仅当时等号成立． 故选：C 4. 若点在圆：外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合点在圆外的代数关系式与圆的一般方程的定义即可. 【详解】由于点在圆：外， 有，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 5. 已知点，B是x轴上一点，C是直线l：上一点，则周长的最小值为( ) A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称将三角形周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可. 【详解】如图： 过作直线的对称点，作轴的对称点，则，，所以周长等于，当且仅当、、、四点共线时，周长有最小值. 由，求得：，，所以. 故选：C. 6. 已知的边，的长分别为20,18，，则的角平分线的长为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果. 【详解】 如图，因为是的角平分线， 所以， 所以 ， 即. 两边平方得， 所以，故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若两条平行直线与间的距离为，则 C. 直线过定点 D. 点到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【详解】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 8. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 非零向量，，满足且与同向，则 D. 非零向量，，满足，则与的夹角为30° 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而可求出的取值范围；对于B，判断两个向量是否共线；对于C，根据向量不能比较大小即可判断；对于D，由，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【详解】解：对于A选项， ，，与的夹角为锐角， ，且，所以，故A错误； 对于B选项，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确； 对于C选项，且与同向，向量依然不能比较大小，故C错误； 对于D选项，因为，两边平方得，则， ， 故，而向量的夹角范围为， 得与的夹角为，即为30°，故D项正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知点在圆上，则该圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由得到，可知的外接圆是以为直径的圆，然后求出圆的半径与圆心坐标，可得所求圆的标准方程. 【详解】解：根据题意，经过三点的圆是的外接圆， 由，，，可知， 因为，所以的外接圆是以为直径的圆， 由，可知圆半径， 结合圆心为的中点，可得圆的方程为. 故答案为：. 10. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算即可. 【详解】由题意， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 11. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点且与直线平行； （2）过点且到原点的距离等于2； （3）直线关于直线对称的直线. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得； （2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可； （3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得. 【小问1详解】 联立方程，解得，． 设与直线平行的直线为， 由题意得：，， 故满足要求的直线方程为：． 【小问2详解】 ①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； ②当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 原点到该直线的距离为， 解得， 直线方程为， 综上所述，符合题意的直线方程为或． 【小问3详解】 在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则 ，解得，， 又，则直线的方程即所求直线方程，为， 化简得，. 故所求的直线方程为：． 13. 在锐角中，角，，的对边为，，，若，. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； （3）如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理将原式中的角化为边，再结合余弦定理即可得出； （2）由已知可得，两边平方，结合余弦定理可得，则面积可求； （3）令，利用正弦定理将表示为含的表达式，再利用两角和差的正弦公式结合正弦型函数的性质即可求得最值. 【小问1详解】 因为，， 所以，即， 由余弦定理得， 又，∴． 【小问2详解】 因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为. 【小问3详解】 设，当DC与外接圆（设圆心为O）相切时， 此时， 故， 所以. 又， 所以， 所以， 所以，则， 则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为， 所以 所以 ， 又，所以， 所以当，即时，有最大值，最大值为. 【点睛】难点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及面积公式的运用，以及利用正弦函数的有界性求最值，考查化简整理的运算能力，属于较难题．解三角形中的范围问题大部分都是利用基本不等式或利用三角函数的有界性求范围或最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $