第一章 直角三角形的边角关系 （复习课件） 数学北师大版九年级下册

本初中数学单元复习课件聚焦直角三角形边角关系，系统整合锐角三角函数定义、特殊角值、解直角三角形及实际应用等核心内容，通过知识图谱和考点串讲构建“概念-关系-应用”的逻辑网络，清晰呈现知识点内在联系。 其亮点在于以“题型剖析-针对训练”分层设计，如从基础的三角函数值计算到复杂的测高应用题，融入数形结合与建模思想，培养学生几何直观与数学应用能力，助力教师精准复习，提升学生知识巩固效果。

单元复习课件 第一章 直角三角形的边角关系 北师大版2012·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通了解锐角三角函数的概念，进一步理解锐角三角函数的相关定义，理解各知识点之间的联系及本章与已学相关章节的深层联系。 3.经历对知识梳理、知识结构重构的过程，加深对三角形的边、角及图形的理解，体会数学中的创新之美、模型之美。 2. 熟练掌握特殊角的三角函数值，会运用锐角三角函数解直角三角形，解决与直角三角形有关的实际问题，增强应用能力。 单元学习目标 锐角三角函数 三角函数基本概念 特殊角 三角函数 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C=90° 解直角三角形的应用 单元知识图谱 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=90°. 直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. b A B C a ┌ c 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 知识点一、理解锐角三角函数的概念 1.直角三角形的边角关系： 考点串讲 2.梯子的倾斜程度与tanA、sinA和cosA的关系： tanA的值越大,梯子越陡; sinA的值越大,梯子越陡; cosA的值越小,梯子越陡. 3.锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随 着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ . 增大（或减小） 减小（或增大） 知识点一、理解锐角三角函数的概念 考点串讲 三角函数 角度 sinα cosα tanα 30° 45° 60° 当α越大时，sinα越大，tanα越大，cosα反而越小。 若∠A+∠B=90°时， sinA与cosB的关系是_______________， tanA与tanB的关系是_______________。 sinA=cosB tanA·tanB=1 1 知识点二.特殊角的三角函数值 考点串讲 合作探究 1.解直角三角形的依据 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B,∠C的对边 三边关系： 　 ； 三角关系：　 ； 边角关系：sinA＝cosB＝　，cosA＝sinB＝ ， tanA＝　　　　，tanB＝　　　　　　. a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 知识点三、解直角三角形 考点串讲 (2)直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素． 解法： ①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦) 求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边； ②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角； ③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 知识点三、解直角三角形 考点串讲 1.仰角和俯角 　　在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 知识点四、三角函数的应用 考点串讲 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角。如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 2.方向角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 知识点四、三角函数的应用 考点串讲 （1）坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . （2）坡度（或坡比） 坡度通常写成h∶l的形式，如1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,即 — h l （3）坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 α l h h : l 坡面 水平面 3.坡角 知识点四、三角函数的应用 考点串讲 知识点四、三角函数的应用 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 方法技巧 考点串讲 A C M N (1)在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； E (2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； (3)量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度. MN=ME+EN=l·tanα+a α 1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 知识点五、利用三角函数测高 考点串讲 2.测量东方明珠的高度的步骤 (1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α； A C B D M N E α (2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β； β (3)量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度. 知识点五、利用三角函数测高 考点串讲 知识点五、利用三角函数测高 方法技巧 图 形 关 系 式 BC=DC-BD =AD·(tan α-tan β) BC=BD+DC =AD· 【与测量有关的常见图形与关系式】 考点串讲 知识点五、利用三角函数测高 方法技巧 图 形 关 系 式 BD=CE AC=BC·tan α AE=AC+CE AC= AG=AC+CG =AC+BE = 测量底部不可到达的物体的高度 测量底部可以到达的物体的高度 a b 【与测量有关的常见图形与关系式】 考点串讲 题型一、求三角函数的值 1.在正方形网格中，△ABC的三个顶点均在网格的格点上。 （1）若△ABC的位置如图1所示，则AC=________; （2）若△ABC的位置如图2所示，则tanC=________; 5 题型剖析 题型一、求三角函数的值 2.已知∠α为锐角，且 ，则∠α的度数为( _ ) A.30° B.45° C.60° D.75° A 4.下列各式不正确的是( __ ) A.cos30°=sin60° B.tan45°=2sin30° C.sin30°+cos30°=1 D.tan60°•cos60°=sin60° C 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,则( __ ) A.a=bsinB B.b=csinB C.a=btanB D.b=ctanB B 题型剖析 题型二、特殊角的三角函数值 (1) tan30°＋cos45°＋tan60° (2) tan30°· tan60°＋ cos230° 1. 计算： 题型剖析 题型二、特殊角的三角函数值 2. 计算：tan230°＋cos230°－sin2 45°tan45° 解：原式 题型剖析 题型二、特殊角的三角函数值 求含有特殊角的三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，最后结果要化简，这类题常与零指数幂、负整数指数幂、乘方、开方等运算综合在一起进行考查。 方法技巧 题型剖析 题型三、解直角三角形 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边. （1）已知a=3，b=3，求∠A； （2）已知b=4，c=8，求a及∠A； （3）已知∠A=45°，c=8，求a及b. 题型剖析 题型三、解直角三角形 解：（1）∵ ∴∠A=45° （2）∵ ∴∠B=30° ∴∠A=90°－30°=60° （3）∵∠B=∠A=45° 题型剖析 题型三、解直角三角形 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号). 解：在Rt△ADC中， ∴BD＝2AD＝4. ∴BC＝BD＋DC＝5. 在Rt△ABC中， ∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC 题型剖析 题型二、特殊角的三角函数值 运用“参数法”求三角函数值： 若已知直角三角形中某种三角函数值，应先设出与这种三角函数相关的边的长度参数，再根据勾股定理求出第三边的长，从而求出其他两种三角函数值。 方法技巧 题型剖析 题型四、三角函数的应用 1. 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度．小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼AB的高度． 解：设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中， tan∠AFG＝ ，∴FG＝ 在Rt△ACG中，tan∠ACG＝ ， 又CG－FG＝40，∴AG＝ ，∴AB＝ 答：这幢教学楼AB的高度为 题型剖析 题型四、三角函数的应用 2.如图，小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？ 题型剖析 题型四、三角函数的应用 2.如图，小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？ 题型剖析 题型四、三角函数的应用 3.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12 cm. 题型剖析 题型四、三角函数的应用 (1)求∠CAO′的度数； (2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？ (3)如图④，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？ 题型剖析 题型四、三角函数的应用 题型剖析 题型四、三角函数的应用 4.如图，某翼装飞行运动员从离水平地面高AC＝500 m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1 600 m到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离(结果精确到1 m)． 题型剖析 题型四、三角函数的应用 解：如答图，过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F， ∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形， ∴EC＝DF，在Rt△ADE中，∠ADE＝15°，AD＝1 600， ∴AE＝AD·sin∠ADE＝1 600×sin15°， DE＝AD·cos∠ADE＝1 600×cos15°， ∵EC＝AC－AE，∴DF＝500－1 600×sin15°， 在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝EC·tan15°， ∴BC＝CF＋BF＝1 600×cos15°＋(500－1 600×sin15°)· tan15°≈1 575. 答：运动员水平飞行的距离为1 575 m. 题型剖析 题型六、与三视图有关的计算问题 　 解决与俯角、仰角有关的实际问题，必须根据视角(俯角、仰角)的定义画出水平线，找准视角，建立数学模型，然后构造直角三角形，利用直角三角形的知识解决要求的问题。 方法技巧 题型剖析 1. 如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE丄AB，垂足为E，sinA = ，则下列结论正确的个数有（ ）. ①DE=3cm； ②BE=1cm； ③菱形的面积为15cm2； ④BD= cm. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 针对训练 2. 如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度.（参考数据： ） A B C D 30° 45° 30° E F 解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x. 在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100， 针对训练 A B C D 30° 45° 30° E F 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x， 则AF=AB－BF=AB－DE=x－50， 答：山的高度约为236.5米. 针对训练 4.九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量． (1)如图①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数； (2)如图②，第二小组用皮尺量得EF为16 m(E为护墙上的端点)，EF的中点距地面FB的高度为1.9 m，请你求出E点离地面FB的高度； (3)如图③，第三小组利用第一、二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度．在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4 m到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1 m)． 针对训练 备用数据：tan60°＝1.732，tan30°＝0.577，＝1.732，＝1.414. 解：(1)α＝76°； (2)如答图①，过点E作EG⊥FB，垂足为G，过EF的中点O作 OH⊥FB，垂足为H， ∵OH＝1.9 m，∴EG＝2OH＝3.8 m， ∴E点的高度为3.8 m； 针对训练 ✅ 知识构建： 直角三角形的边角关系 → 以直角三角形为载体，从实际问题抽象出正弦、余弦、正切定义，关联边长比值，建立边角对应关系，结合勾股定理解决直角三角形计算与实际应用。 ✅ 思想方法： 数形结合：将边角关系转化为数量关系 转化思想：把非直角三角形问题转化为直角三角形求解 建模思想：抽象实际问题为三角函数模型，培养数学应用能力。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! eq \f(a,c) eq \f(b,c) eq \f(sinA,cosA) eq \f(sinB,cosB) 解：在Rt△ADB中， tanα＝， ∵α＝30°，AD＝42 m， ∴tan30°＝， ∴＝，∴BD＝14 m， 在Rt△ADC中，tanβ＝， ∵β＝60°，AD＝42 m， ∴tan60°＝，∴＝， ∴CD＝42 m， ∴BC＝BD＋CD＝14＋42＝56 m， ∴这栋楼高为56 m. 解：(1)∵O′C⊥AC，O′C＝12 cm，O′A＝OA＝24 cm， ∴sin∠CAO′＝＝＝， ∴∠CAO′＝30°，∴∠CAO′的度数是30°； (2)如答图，过B点作BD⊥AC，交AC的延长线与点D， ∵∠BOD＝180°－∠AOB＝60°， ∴BD＝24·sin60°＝12， 又∵B′C＝BO＋O′C＝24＋12＝36(cm)， ∴B′C－BD＝(36－12)cm. 即显示屏的顶部B′比原来升高了(36－12)cm； (3)如答图②，延长AE交直线PB于G，如答图②，设AG＝x， 在Rt△QAG中，tan∠AQG＝，得QG＝x， 在Rt△PAG中，tan∠APG＝，得PG＝x. ∵PQ＋QG＝PG，∴4＋x＝x，解得x≈9.46. ∴AE≈5.7.∴旗杆AE的高度约为5.7 m. $