精品解析：广东省深圳市第七高级中学2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

深圳市第七高级中学2025-2026学年第一学期 期中质量检测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集运算即可求解 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质即可判断. 【详解】对于A，是非奇非偶函数，在上单调递增，故A错误； 对于B，是奇函数，在上单调递减，故B错误； 对于C，是偶函数，在上单调递减，故C错误； 对于D，是偶函数，在上单调递增，故D正确. 故选：D 3. 已知、、、，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】代入特殊值，可判断ABD；根据不等式的性质可判断C. 【详解】选项A：当时，满足， 此时，，故A错误； 选项B：当时，满足，， 此时，，故B错误； 选项C：因为，，根据不等式的基本性质，得，故C正确； 选项D：若，但，故D错误. 故选：C 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 5. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质比较指数式的大小即可. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 6. 若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的解，再利用充分不必要条件的要求列不等式求解. 【详解】，解得或， 即是或的充分不必要条件，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 7. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围. 【详解】因为，且， 令，解得或，作出图象如下图所示， 由图象可知，当时，若的值域为，则， 故选：C. 8. 给定函数，，对于，用表示中较大者，记为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数值的大小关系得到，画出函数图像得到答案. 【详解】，画出函数图像，如图所示： 则 故选： 【点睛】本题考查了函数的最值，根据题意得到分段函数画出函数图像是解题的关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合的包含关系可判断AB；根据韦恩图可判断CD. 【详解】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最小值为2 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式的“一正二定三相等”，检验A，C即可排除，确定B正确；利用“1”的妙用结合基本不等式即可确定D正确. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为2，故B正确； 对于C，因，则，由可得， 方程无实数解，故，故C错误； 对于D，因，，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，的最小值为8，故D正确. 故选：BD. 11. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（ ） A. 方程有且仅有1个解 B. 方程有且仅有2个解 C. 方程有且仅有3个解 D. 方程有且仅有9个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数图象得到方程和的解，由函数的极大值和极小值得到方程及的解个数，从而判断各个选项. 【详解】由函数图象可知，∴方程有且仅有1个解，A选项正确； 由图象可知函数存在极大值和极小值，又∵，所以方程有且仅有3个解，B选项错误； ∵，∴，∴方程有且仅有3个解，C选项正确； 由图象可知存在三个解即或， ∴时，或， ∴方程有且仅有9个解，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数（，且）的图象过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由指数函数图象所过定点求解． 【详解】令，得，，即函数图象过定点． 故答案为：． 【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，掌握性质指数函数图象过定点是解这类题的关键． 13. 函数是定义在上的奇函数．当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件得，再利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】因为当时，，则， 又函数是定义在上的奇函数，则， 故答案为：. 14. 若是R上的减函数，则实数a的取值范围为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】分段函数单调递减，则每一段均为递减函数，且在分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得：，解得：， 故实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算得，即可求解； （2）分和两种情况，结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【小问1详解】 因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增 （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）且； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的区间单调性有求参数范围，结合及对称性确定参数值，并写出解析式； （2）由偶函数的区间单调性有，两边平方并解一元二次不等式求参数范围. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递增知，又， 当或，为奇函数，关于原点对称，不合题设； 当，为偶函数，关于轴对称，符合； 综上，且. 【小问2详解】 由偶函数在上单调递增，则在上单调递减， 由，则， 所以，可得或. 17. 已知. （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）证明. 【答案】（1） （2）函数的定义域关于原点对称，， ， 所以，函数为偶函数； （3）当时，，，则； 由于函数为偶函数，当时，，则. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）根据分母不为可求得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可证得函数为偶函数； （3）验证当时，，再结合偶函数的性质可得出结论. 【小问1详解】 由，得，即. 函数的定义域是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若，函数在区间上是单调函数，求实数b的取值范围； （3）若实数a，b满足，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，无解；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】(1)利用不等式解集与方程根的关系，结合韦达定理求参数； (2)根据二次函数单调性与对称轴的位置关系确定参数范围； (3)因式分解后，分的符号及根的大小讨论不等式的解集. 【小问1详解】 不等式的解集为， 则的根为，且. 由韦达定理：. 【小问2详解】 当时，，其对称轴为. 因在上单调，所以或，得或， 得的取值范围为. 【小问3详解】 由，，解： 当时，不等式化为： 若，，解集为； 若，，无解； 若，，解集为； 当时，不等式化为，，解集为. 综上所述，当时，解集为；当时，无解； 当时，解集为；当时，解集为. 19. 小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． （1）证明：是上的单调递增函数； （2）若对任意，恒成立，求实数m的最大值； （3）是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：函数，， ， 当时，，则，， 因此，所以是上的单调递增函数. （2）4； （3）不存在，理由：由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 若存在正实数a，b，使得函数，的值域为， 则，正实数是方程，即的两个不等的正根， ，由，得，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值， 因此方程无实数解，即方程无实数解， 所以不存在存在正实数a，b，使得函数，的值域为. 【解析】 【分析】（1）利用增函数的定义推理证明. （2）根据给定条件，分离参数，利用函数的单调性求出最小值即可. （3）假定存在，构造方程，借助函数在上的最小值推理判断即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对任意，恒成立， 即，，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，， 所以实数m的最大值为4. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市第七高级中学2025-2026学年第一学期 期中质量检测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、、，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 给定函数，，对于，用表示中较大者，记为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最小值为2 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 11. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（ ） A. 方程有且仅有1个解 B. 方程有且仅有2个解 C. 方程有且仅有3个解 D. 方程有且仅有9个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数（，且）的图象过定点__________. 13. 函数是定义在上的奇函数．当时，，则________． 14. 若是R上的减函数，则实数a的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增 （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知. （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）证明. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若，函数在区间上是单调函数，求实数b的取值范围； （3）若实数a，b满足，求关于x的不等式的解集． 19. 小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． （1）证明：是上的单调递增函数； （2）若对任意，恒成立，求实数m的最大值； （3）是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $