精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（3）

2024级高二第一学期数学周测（3） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 2. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 3. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 5. “”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 8. 如图，在正四棱柱中，底面正方形ABCD边长为1，，M为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 已知直线l为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与l平行 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 若直线：与直线：互相垂直，则的值为____________. 10. 已知样本数据的方差为1，则数据的方差为______. 11. 过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为____________. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； 13. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上. （1）求圆C的周长； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期数学周测（3） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式计算即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故选：B. 2. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 3. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 4. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 5. “”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出与直线平行且到直线的距离为1的直线方程，再求出圆心到这两条直线距离，进而利用直线与圆的位置关系确定范围，最后利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】如图所示： 设与直线平行且到直线的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离，则， 所以“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内， 所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 8. 如图，在正四棱柱中，底面正方形ABCD边长为1，，M为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 已知直线l为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与l平行 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角最大时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，由线面平行的判定定理和性质判断；选项B，确定三棱锥的底面积和高来计算体积；选项C，通过平面与平面的展开图求距离之和的最小值；选项D，由线面角的定义，得线面角最大时M点的位置，验证结论即可. 【详解】A选项，因为平面，且平面， 所以平面和平面的交线l与平行， 而与平面相交，则平面内不存在直线与平行， 即不存在直线与直线l平行，故A错误； B选项，正四棱柱中，， 平面，平面， 则有平面，所以点M到平面的距离为定值， 而三角形的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 选项C，作平面与平面的展开图如图所示， 则的最小值即为展开图中线段的长， 中，，所以，从而， 中，由余弦定理可知，， 从而的最小值为，故C正确； D选项，记M到平面到距离为d，由选项B可知，d为定值， 记直线与平面所成角为， 则，又正弦函数在上单调递增， 则最大时，最大，从而即为最小时，此时， ，则，由，, 有，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 若直线：与直线：互相垂直，则的值为____________. 【答案】0或1 【解析】 【分析】根据两直线垂直系数的关系，列式计算，即可得答案. 【详解】依题意，所以，解得或. 故答案为：0或1 10. 已知样本数据的方差为1，则数据的方差为______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据方差的性质，即可得答案. 【详解】∵样本数据的方差为1， ∴数据的方差为, 故答案为：9 11. 过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆C的方程，可得其圆心和半径，分析可得点P在圆内，且直线l的斜率存在，设，可得，坐标，根据题意可得，整理可得Q点轨迹，根据点到直线距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】 易知圆的圆心为，半径， 又，所以在圆内， 因为，垂足为Q，由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得， 设点，则，， 所以，即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 又圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为． 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明: 平面，且平面，， 底面是直角三角形且，， 又平面，平面，， 平面. （2）证明: 如图，连结并延长交于点，连结，， 是的重心，为边上的中线，即为的中点， 又有为的中点，， 平面，平面，平面， 同理，是的中点，可得， 平面，平面，平面， 又平面，平面，， 平面平面， 又有平面，平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合直角三角形的性质可得，，再根据线面垂直的判定定理可证得平面； （2）如图作辅助线，利用中位线的性质证得，根据线面平行的判定定理可得平面，同理可证得平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，最后根据面面平行的性质定理证得平面. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 13. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上. （1）求圆C的周长； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； 【小问2详解】 因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，    ①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； 【小问3详解】 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为，    由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $