精品解析：陕西省咸阳市高新一中2025-2026学年高二上学期阶段性质量检测（三）数学试题

咸阳市高新一中2024级高二年级阶段性质量检测（三）数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若数列满足，月，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式，可得是周期为的数列，因此，再将代入递推公式逐步求出即可得解. 【详解】，， 因此有， 所以数列的周期为3，所以. 由，可得，， 即， 故选：A. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 30 B. 15 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质计算. 【详解】∵数列为等差数列，，所以 ∴. 故选：B 3. 已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程. 【详解】抛物线的焦点为， 则，且，解得， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程列出不等式即可求解. 【详解】，即， 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：. 5. 首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析，，从而求解. 【详解】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数， 所以，即，解得，故D正确. 故选：D. 6. 一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨迹方程为：． 故选：C． 7. 已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 8. 双曲线：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与双曲线的一个交点满足，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的方程，可得，进而得到， ，再利用双曲线的定义，以及双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意直线过点且倾斜角为，则， 又，，可得， 因为，所以，， 由双曲线定义，，即， 解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】联立直线与双曲线的方程，即可根据方程根的情况求解. 【详解】把直线代入双曲线中，消，得 当，即时，直线与双曲线相交有一个交点 当，，即，时，直线与双曲线相切，有一个交点 的值为， 故选:AD 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则椭圆的离心率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和点与椭圆的位置关系确定离心率的范围. 【详解】由题意知，，所以，则， 由于在椭圆内部，所以， 则，，即， 解得或（舍去）， 又，所以或（舍去）， 所以，即，又， 所以选项AB正确. 故选：AB 11. 设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别为，则下列结论正确的为（ ） A. 是直角 B. 以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若A、B 的纵坐标分别为，，则 D. 弦AB 长度的最小值为p 【答案】ABC 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程可得韦达定理，即可判断C，根据向量垂直的坐标运算即可求解A，根据圆的半径和圆心即可判断B，根据焦半径公式即可判断D. 【详解】 设过抛物线焦点的直线方程为：， 代入得，， 则，，故C正确， ，， 当直线与轴垂直时，，最小为，故D错误； 以为直径的圆：圆心，，半径为， 圆心与准线的距离， 圆与准线相切，故B正确， ， 所以，故， 故，故为直角，A正确， 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：由可求得的通项公式，再由通项公式可求得，即得结果；法二：根据片段和的性质由计算易得结果. 【详解】法一：因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，因此，， 所以. 法二：因，则. 故答案为：. 13. 抛物线C：的焦点为，为抛物线上一动点，，则的最小值为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据抛物线定义并结合图形从而求解. 【详解】由题意知抛物线的准线为：， 点到直线的距离为，则， 所以． 结合图形可知，当时，最小， 故的最小值为， 故答案为：. 14. 设数列满足，则an＝________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得时，，再作差得， 验证时也满足． 【详解】① 当时，； 当时，② ①②得，当也成立. 即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在轴上，焦距为10，离心率是； （2）一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线焦距、离心率，结合双曲线的性质即可求的双曲线方程； （2）根据双曲线的顶点或焦点位置、结合双曲线的性质即可求双曲线方程. 【小问1详解】 依题意，可设双曲线的标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的方程为； 【小问2详解】 依题意，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的标准方程为． 16. 设为数列的前n项和，. （1）求； （2）证明是等差数列. 【答案】（1），； （2）证明：由（1）知，当时，， 因此（常数）， 所以数列是等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据和的关系即可解答. （2）根据等差数列的定义即可判断. 【小问1详解】 数列的前n项和, 则当时，； 当时，，满足上式， 【小问2详解】 略. 17. 已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. （1）求双曲线的方程; （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【小问1详解】 由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线： （2）若直线和曲线相交于两点，求. 【答案】（1），曲线是双曲线，除去左右顶点 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据计算即可求出其轨迹方程，进而可得出其是何曲线； （2）利用圆锥曲线的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 设， 则， 化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； 【小问2详解】 设， 联立，消得， ， 则， 所以. 19. 已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明：当直线PQ斜率为零时，或两点重合，不满足题意， 设直线PQ方程为， 由，得，易知， 设点，所以， 于是 . 故为定值（与直线的斜率无关）. 【解析】 【分析】（1）结合椭圆定义，用定义法求轨迹E的方程即可； （2）易判断直线PQ斜率非零，令直线方程，利用斜率公式将与韦达定理关联，代入化简求值即可得解. 【小问1详解】 由点在定圆M：内， 知圆N与圆M内切，于是有， 由椭圆的定义可知， 动圆的圆心N的轨迹为一个以，为焦点，以4为长轴长的椭圆， 即，所以， 故点N的轨迹P的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市高新一中2024级高二年级阶段性质量检测（三）数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若数列满足，月，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 30 B. 15 C. 5 D. 10 3. 已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 5. 首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A. B. C. D. 7. 已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与双曲线的一个交点满足，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则椭圆的离心率可以是（ ） A. B. C. D. 11. 设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别为，则下列结论正确的为（ ） A. 是直角 B. 以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若A、B 的纵坐标分别为，，则 D. 弦AB 长度的最小值为p 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和，则____________． 13. 抛物线C：的焦点为，为抛物线上一动点，，则的最小值为_______． 14. 设数列满足，则an＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在轴上，焦距为10，离心率是； （2）一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 16. 设为数列的前n项和，. （1）求； （2）证明是等差数列. 17. 已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. （1）求双曲线的方程; （2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线： （2）若直线和曲线相交于两点，求. 19. 已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $