第五章一元函数的导数及其应用（单元测试·基础卷）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 一元函数的导数及其应用·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B B D D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．. 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【详解】（1）由， 5分 因此在处的切线是. 8分 （2）由，列表如下 10分 1 3 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 从上表可知，在上的值域是. 13分 16．（本小题满分15分） 【详解】（1）因为， 所以， 2分 由，可得或， 4分 ，的变化情况如下： 6分 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以函数的单调递增区间为，； 8分 （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 9分 所以为极大值点，为极小值点， 11分 又，，，， 13分 所以在上的值域为. 15分 17．（本小题满分15分） 【详解】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 2分 所以 ，得， 4分 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 7分 所以，．又 ，所以． 即实数，； 9分 （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 11分 、随的变化情况如下表： 13分 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）当时，，. 所以，. 2分 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 5分 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. 7分 （2）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立. 9分 设，则， 当时，，， 11分 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 12分 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， 13分 ，， 则 ，所以， 因为，所以， 15分 又因为，所以， 所以的最小值为. 17分 19．（本小题满分17分） 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 2分 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 4分 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 6分 综上，或； 8分 （2）， 当时，令，可得， 9分 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 10分 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． 11分 ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． 13分 ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 15分 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 一元函数的导数及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 2．已知函数，则的值为（　　） A．2 B．4 C． D．0 3．若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 4．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 11．已知，则下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数在上单调递减，在上单调递增 C．函数在定义域内有且仅有一个零点 D．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数在处取得极小值，则 ． 13．已知满足，则在处的导数为 . 14．已知函数在上单调递减，则m的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 17．（本小题满分15分）已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 18．（本小题满分17分）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 19．（本小题满分17分）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 一元函数的导数及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 2．已知函数，则的值为（　　） A．2 B．4 C． D．0 3．若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 4．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 11．已知，则下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数在上单调递减，在上单调递增 C．函数在定义域内有且仅有一个零点 D．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数在处取得极小值，则 ． 13．已知满足，则在处的导数为 . 14．已知函数在上单调递减，则m的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 17．（本小题满分15分）已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 18．（本小题满分17分）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 19．（本小题满分17分）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第五章 一元函数的导数及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B 2．已知函数，则的值为（　　） A．2 B．4 C． D．0 【答案】B 【分析】求导，代入运算得解. 【详解】由，则. 故选：B. 3．若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【答案】B 【分析】利用导数求曲线上一点到直线的最小距离，先在曲线上求与直线平行的直线，得到切点，再求切点到直线的距离即可. 【详解】由，求导得，其中直线的斜率为2， 令，解得： 当时，则，故到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式得最小值为，解得或， 且时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去． 故选：B. 4．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B 5．已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，再根据极值点列式计算结合零点存在定理判断A，代入计算判断B，C，结合近似值判断D. 【详解】因为函数，所以单调递增，, 选项A：计算 而在时趋向，故A错. 选项B：因为 得B错. 选项C：计算 C错. 选项D：计算 ， 函数， 所以，得D正确. 故选：D. 6．若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离变量可得，令，利用导数研究的单调性，进而可得，求解可得结论. 【详解】令，因为，所以，令，所以， 因为存在唯一的满足：， 所以，当时，；当时，， 所以在、上分别单调递增、单调递减，为极大值点， 因为，所以当且仅当时， 直线与的图象有唯一的交点，即在上存在唯一的零点， 所以或，所以或. 结合选项，只有D符合题意， 故选：D. 7．已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得函数为增函数，且为奇函数，进而可由得，解得答案. 【详解】函数，定义域为， 恒成立，故函数为增函数， 又由，故函数为奇函数， ，则， 解得：. 故选：B. 8．若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定，借助同构思想转化为恒成立，再构造函数，由求出值. 【详解】不等式恒成立， 若，恒成立，而当时，此不等式不成立； 若，则，而当时，，不符合题意； 因此，，不等式， 令函数，求导得，函数在上递增， 不等式， 因此不等式在恒成立，令， 即恒成立，而，则， 又，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由基本初等函数的法则即可判断选项A，C；由复合函数的求导法则即可判断选项B，D. 【详解】由对数函数的求导法则可得，故选项A正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项B错误； 由基本初等函数的法则可知，故选项C正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项D正确. 故选：ACD. 10．已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 11．已知，则下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数在上单调递减，在上单调递增 C．函数在定义域内有且仅有一个零点 D．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】A根据已知有，求解集即可；B对函数求导，根据导数的区间符号确定区间单调性判断；C方程法求零点即可判断；D结合B分析求出函数值域，由方程有解确定参数范围. 【详解】A：由，得 ， 因为，所以，解得， 所以不等式的解集为，对； B：的定义域为，且， 令，得或，令，得或， 所以在和上单调递增，在和上单调递减，错； C：令，得，所以在定义域内有且仅有一个零点，对； D：由B知，在和上单调递增，在和上单调递减， 因为，且当从1的左侧趋近于1时，， 当从1的右侧趋近于1时，， 所以的值域为， 若关于的方程有解，则实数的取值范围是，错. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数在处取得极小值，则 ． 【答案】/ 【分析】通过导数判断的单调性，从而找到其极值点，进而求出. 【详解】的定义域为，, 令， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点， 所以， 故答案为：. 13．已知满足，则在处的导数为 . 【答案】 【分析】根据导数的运算法则，结合复合函数求导法则、赋值法进行求解即可. 【详解】，所以有， 故答案为： 14．已知函数在上单调递减，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用求导，将原函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式恒成立问题，通过参变分离，进一步化成求对应函数的最小值解决. 【详解】由求导得：， 因为函数在上单调递减， 所以 在上恒成立， 即在上恒成立． 设，因在上单调递增， 则在上单调递增，所以， 故得，即实数a的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，进而求，即可写出切线方程； （2）利用导数判断单调性，进而根据极值、端点值确定区间值域. 【详解】（1）由， 因此在处的切线是. （2）由，列表如下 1 3 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 从上表可知，在上的值域是. 16．（本小题满分15分） 已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1)的单调递增区间为，； (2). 【分析】（1）求导后，根据导数的正负可求出函数的单调区间； （2）根据导数与函数最值的关系结合条件即得. 【详解】（1）因为， 所以， 由，可得或， ，的变化情况如下： 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以函数的单调递增区间为，； （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以为极大值点，为极小值点，又，，，， 所以在上的值域为. 17．（本小题满分15分） 已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【详解】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以 ，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又 ，所以． 即实数，； （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 18．（本小题满分17分）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】(1)极大值为：；无极小值. (2)2 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得函数极值的情况. （2）先把不等式化为在上恒成立.在利用，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可求的取值范围，进而确定的最小值. 【详解】（1）当时，，. 所以，. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. （2）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立. 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则 ，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以的最小值为. 19．（本小题满分17分）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $