第四章 数列（单元测试·基础卷）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C A C B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．10 13． 14．58 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由，可得， 2分 因，代入解得，则， 4分 因此. 7分 （2）由， 10分 得 . 13分 16．（本小题满分15分） 【详解】（1）因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 3分 所以，得． 5分 （2）， 7分 当且仅当，即时，等号成立， 9分 所以的最小值为． 10分 （3）因为， 13分 所以． 15分 17．（本小题满分15分） 【详解】（1）当时，得， 2分 当时，， 4分 又满足上式， 所以的通项公式为； 6分 （2）因①， 则当时， 8分 当时，②， 10分 ①②两式相减可得： ， 12分 由（1）可得， 13分 则，其中. 又当时，， 则 15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）当时，，得， 2分 ∵，∴， 当时，， 4分 两式作差可得：， 即， ∴， 6分 又∵，∴，且， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 8分 ∴. 9分 （2）∵，∴，∴， 12分 ∴. 13分 则 . 15分 ∵，∴，∴， 又∵为递增数列，所以， ∴. 17分 19．（本小题满分17分） 【详解】（1）因为，，设等差数列的公差为， 则，解得， 4分 所以，即， 7分 当时，，当时，成立，故． 10分 （2）由题意可得 12分 14分 . 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 4．已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 5．若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 6．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（    ） A．676 B．678 C．731 D．733 7．已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 8．已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列关于数列的说法正确的是（    ） A．等差数列的前项和一定是二次函数 B．等比数列的公比不能为0 C．若首项不等于零的数列满足，则是等比数列 D．等差数列中，若，则 10．已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（    ） A． B． C．有且仅有一个正整数，使得 D．存在无数个正整数，使得 11．已知数列中，，，则（   ） A．是递增数列 B．， C．， D．数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在正项等比数列中，，则 ． 13．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 14．已知正项等比数列，，则 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分）在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 17．（本小题满分15分）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 18．（本小题满分17分）已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和记为，证明：. 19．（本小题满分17分）记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)设若，求数列的前项和 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 4．已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 5．若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 6．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（    ） A．676 B．678 C．731 D．733 7．已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 8．已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列关于数列的说法正确的是（    ） A．等差数列的前项和一定是二次函数 B．等比数列的公比不能为0 C．若首项不等于零的数列满足，则是等比数列 D．等差数列中，若，则 10．已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（    ） A． B． C．有且仅有一个正整数，使得 D．存在无数个正整数，使得 11．已知数列中，，，则（   ） A．是递增数列 B．， C．， D．数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在正项等比数列中，，则 ． 13．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 14．已知正项等比数列，，则 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分）在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 17．（本小题满分15分）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 18．（本小题满分17分）已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和记为，证明：. 19．（本小题满分17分）记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)设若，求数列的前项和 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比中项，充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若数列为等比数列，则， 此时，则数列为等比数列， 若数列为等比数列，则，即， 所以数列为等比数列. 故“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 2．在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用等差数列下标和的性质即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，解得. 故选：A. 3．已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义和通项公式求解即可. 【详解】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C 4．已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 5．若为等差数列，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 6．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（    ） A．676 B．678 C．731 D．733 【答案】B 【分析】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值. 【详解】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记， 由题意可知，数列为等差数列，且， 所以等差数列的公差为，所以， 所以，则， 所以， 故选：B 7．已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 【答案】B 【分析】利用对勾函数的性质得，再去绝对值符号化简为，即可求值. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 对于且，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故 . 故选：B 8．已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】由题可得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可得 【详解】因为，所以， 又，所以是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以，又， 当n＝1时，；当时，， 所以． 故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列关于数列的说法正确的是（    ） A．等差数列的前项和一定是二次函数 B．等比数列的公比不能为0 C．若首项不等于零的数列满足，则是等比数列 D．等差数列中，若，则 【答案】BC 【分析】根据等差数列和等比数列的性质判断即可. 【详解】对于A，因为公差为0时是正比例函数，故A错误； 根据等比数列的第一年可知BC在正确； 对于D，当数列是常数列时，结论不正确，故D错误. 故选：BC. 10．已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（    ） A． B． C．有且仅有一个正整数，使得 D．存在无数个正整数，使得 【答案】ABD 【分析】根据数列的形成规律即可结合选项逐一求解ABC，根据，利用迭代累加法，即可求解D. 【详解】A选项：易知接下来的8项为，所以，故A正确： B选项：，故B正确； C选项：设分母为的为第组， 情形一：在不同组，设为第组最后一个数，则， 为第组第一个数，则，所以， 解得，即． 情形二：为第组第和第个，则， 取，即符合题意，故C错误； D选项：因为， 所以， 因此存在无数个正整数，使得，故D正确； 故选:ABD. 11．已知数列中，，，则（   ） A．是递增数列 B．， C．， D．数列的前项和为 【答案】ACD 【分析】根据数列的递推关系式可确定的符号，则可得数列的单调性，从而判断A；计算从而可判断B；由已知可得，根据对数运算可得，结合累加法求和可判断C；根据裂项相消法得数列前项和即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以， 则，所以是递增数列，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以， 所以，变形得， 用累乘法可得，所以，故C正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在正项等比数列中，，则 ． 【答案】10 【分析】由等比数列的性质可得，然后等式的用替换再结合完全平方公式可得结果. 【详解】因为为等比数列，则， 所以， 又为正项等比数列，即， 所以. 故答案为：10. 13．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 14．已知正项等比数列，，则 ． 【答案】58 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差后，根据题目所给条件列出方程即可求出，进而得解； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由，可得， 因，代入解得，则， 因此. （2）由， 得 . 16．（本小题满分15分）在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求解即可. （2）利用基本不等式求解最小值即可，注意验证等号能否成立. （3）结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和方法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，得． （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）因为， 所以． 17．（本小题满分15分）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由题可得可得；可得当时，，与已知相减，整理后可得答案. 【详解】（1）当时，得， 当时，， 又满足上式， 所以的通项公式为； （2）因①， 则当时， 当时，②， ①②两式相减可得： ， 由（1）可得， 则，其中. 又当时，， 则 18．（本小题满分17分）已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和记为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系，得出数列是等差数列，进而可求得通项公式； （2）利用裂项相消求和法可求得，进而可证得结论. 【详解】（1）当时，，得， ∵，∴， 当时，， 两式作差可得：， 即， ∴， 又∵，∴，且， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴. （2）∵，∴，∴， ∴. 则 . ∵，∴，∴， 又∵为递增数列，所以， ∴. 19．（本小题满分17分）记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)设若，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可； （2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）因为，，设等差数列的公差为，则，解得， 所以，即， 当时，，当时，成立，故． （2）由题意可得. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $