精品解析：黑龙江省绥化市北林区绥化市第四中学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

绥化市第四中学初四数学测试题 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在，，0， ， ，，13，…（每两个6之间依次增加一个2）中， 有理数的个数有（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 2025年9月3日，为了纪念抗战胜利80周年，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．据媒体报道，全国通过各种渠道观看这次阅兵的总人数达到人，网络平台的累计播放量更是高达19.2亿人次，将19.2亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 要使多项式不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 4. 如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看得到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是 （ ） A. 4个或5个 B. 5个或6个 C. 6个或7个或8个 D. 7个或8个或9个 5. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 6. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，那么的值是（ ） A. 5 B. -1 C. 5或-1 D. -5或1 8. 已知关于的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，那么的值为（ ） A. －1 B. 3或－1 C. －2 D. 3 9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（　　） A. 3：4 B. 9：16 C. 12：19 D. 9：28 10. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（ ）米 A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 13. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于2：1，则点的坐标__________． 14. 为自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是__． 15. 某种商品进价150元，标价200元，但销量较小.为了促销，商场决定在标价的基础上打折销售，若为了保证利润率不低于20%，那么至多打_______折销售． 16. 学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有_______种． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 18. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是__________． 19. 在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽______． 20. 如图，在四边形中，，，，，，是线段上的一点，若图中阴影部分的两个三角形相似，则的值为______． 21. 如图，在中，，，延长至点，使，则________. 22. 如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为_________． 三、解答题（共6小题，共54分） 23. 计算： （1）． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 24. 如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm． （1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？ 25. 如图，在某次斯诺克比赛中，白球位于点 A 处，在点 A 正北方向的点 B 处有一颗红球，在点 A 正东方向 C 处有一颗黑球，在 BC 正中间的点 D 处有一颗篮球，其中点 C 在点 B 的南偏东 37°方向上，选手将白球沿正北方想推进 10cm 到达点 E 处时，测得点D 在点E 的北偏东45°方向上，求此时白球与红球的距离有多远？（参考数据：sin37°≈，cos37°≈ ，tan37°≈） 26. 为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨． （1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案． （3）如果你是厂长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由？ 27. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求的面积． （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ （3）若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 28. 如图，与相交于A、B两点，过点B的直线交、于C、D，的中点为M，交于E，交于F，连接、、． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，， ______，______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第四中学初四数学测试题 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在，，0， ， ，，13，…（每两个6之间依次增加一个2）中， 有理数的个数有（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数．据此判断即可． 【详解】解：，，0， ，，13，是有理数，有6个． 故选：B． 2. 2025年9月3日，为了纪念抗战胜利80周年，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．据媒体报道，全国通过各种渠道观看这次阅兵的总人数达到人，网络平台的累计播放量更是高达19.2亿人次，将19.2亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：B． 3. 要使多项式不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握好多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母． 根据多项式乘以多项式的法则，可表示为计算，再根据乘积中不含的一次项，得出它的系数为0，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ； 故选：B． 4. 如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看得到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是 （ ） A. 4个或5个 B. 5个或6个 C. 6个或7个或8个 D. 7个或8个或9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；根据从左面看到的形状图，可得该几何体由3层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，2列，从而得到上层至少1块，底层2行共有4块，即可求解． 【详解】解：根据从左面看到的形状图，可得该几何体由3层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，2列，所以上层至少1块，底层2行共有4块， 所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是块， 至多是块， 则搭成这个几何体的小立方块的个数是6个或7个或8个． 故选：C． 5. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，先将原代数式变形为，再整体代入得，再变形得，再一次整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，那么的值是（ ） A. 5 B. -1 C. 5或-1 D. -5或1 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7，根据方程根与系数的关系可知x1、x2的和与积，列出方程即可求出m的值. 【详解】设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7， ∵x1、x2，是方程x2-mx+2m-1=0的两个根， ∴x1+x2=m，x1x2=2m-1， ∴（x1+x2）2= x12+x22+2 x1x2=m2， ∴m2-2(2m-1)-7=0， 解得：m=5或m=-1， ∵方程有两个实数根， ∴（- m）2-4（2 m -1）= m 2-8 m+4≥0， 解得m≥4+2 或m≤4-2． ∴m=5舍去，m=-1， 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程判别式的性质及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和判别式的性质是解题关键. 8. 已知关于的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，那么的值为（ ） A. －1 B. 3或－1 C. －2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】关于x的方程有两个相等的实数根，则判别式等于0，据此即可求得m的值，然后根据反比例函数的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数，则m的值可以确定． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴△=， 解得：m=3或-1． ∵反比例函数的图象，在每个象限内y随x的增大而增大， ∴ ∴， ∴m=-1． 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，以及一元二次方程的根的判别式，正确利用判别式求得b的值是解本题的关键． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（　　） A. 3：4 B. 9：16 C. 12：19 D. 9：28 【答案】C 【解析】 【分析】根据等高的三角形面积之比等于底之比和相似三角形得出、和、的比例关系，再结合图形可得四边形BCEF的面积=，结合平行四边形的性质可得，从而得出结论． 【详解】解：连接BE， ∵DE：EC=3：1， ∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k，， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=4k，， ∴△DEF∽△BFA， ∴， ∴， ∴，, ∴,， ∴四边形BCEF的面积=， ∴△DAF与四边形BCEF的面积之比为:， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质．掌握等高的三角形面积之比等于底之比是解题关键． 10. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据矩形的性质得到，得到（米），求得米，得到米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵扶梯的坡比为， ∴， ∴（米）， ∴米， ∵滑梯的坡比为， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：滑梯的长为米． 故选：B． 11. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C． 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】由是等边三角形和相似三角形的性质，得出，进而得到，再根据直角三角形的性质，得到，而，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出，可判定②正确；由，得，由与同高，可知，则判定③正确，由，得，则，可判定④正确． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在中， ， ， 又， ， 故①正确； ，， ， ， 故②正确； ， ， ， 又与同高， ， 又，， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， 又，， ， 故④正确， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 13. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于2：1，则点的坐标__________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可求得答案． 【详解】解：①在同一象限内， 与是以原点为位似中心的位似图形，其中相似比是，坐标为， 则点的坐标为：， ②不在同一象限内， 与是以原点为位似中心的位似图形，其中相似比是，坐标为， 则点的坐标为：， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 14. 为自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是__． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解法． ，分两种情况：分解因式是彻底和不彻底两种情况进行解答即可． 【详解】解：， 根据分解的因式是彻底的， 则与是两连续自然数，设两个连续自然数分别为，， 或， 解得：， ， 解得：此情况不符合题意，舍去． 当分解不彻底时，第一个可能有公因式2，则；第二个可能有公因式13,则， 当时，， 的值为2或． 故答案为：2或． 15. 某种商品进价150元，标价200元，但销量较小.为了促销，商场决定在标价的基础上打折销售，若为了保证利润率不低于20%，那么至多打_______折销售． 【答案】九 【解析】 【分析】利润率不低于20%，意思是利润率大于或等于20%，相应的关系式为：（售价-进价）÷进价≥20%，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设打折，根据题意得 解得， 答：至多打九销售． 故答案为：九 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，进价本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值． 16. 学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有_______种． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价二单价数量，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， 又∵均为正整数， 或或， ∴共有3种购买方案． 故答案为：3． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，根据一元一次不等式组和分式方程解的情况求参数，解题的关键在于找出所有符合条件的数．先解一元一次不等式组得到的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解找出符合条件的值，最后求和，即可解题． 【详解】解： ， ， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 解得； ， 关于y的分式方程的解为非负整数，且，即， 符合条件的所有整数a为，， 符合条件的所有整数a的和为； 故答案为：． 18. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定a的范围． 【详解】解， 解①得x＜−， 解②得x＞m， 则不等式组的解集是m＜x＜−． 不等式组有2个整数解，则整数解是−3，−4． 则−5≤m＜−4． 故答案是：−5≤m＜−4． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 19. 在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽______． 【答案】m 【解析】 【分析】本题中，试验地的面积＝矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可． 【详解】解：设道路为x米宽， 由题意得：， 整理得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，，，，，是线段上的一点，若图中阴影部分的两个三角形相似，则的值为______． 【答案】3或4或 【解析】 【分析】分△ABP∽△PCD、△ABP∽△DCP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：设BP＝x，则PC＝7−x， 当△ABP∽△PCD时，，即， 解得，x1＝3，x2＝4， 当△ABP∽△DCP时，，即， 解得，x＝， 综上所述，图中两个阴影部分的两个三角形相似，则PB的值为3或4或， 故答案为：3或4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 21. 如图，在中，，，延长至点，使，则________. 【答案】 【解析】 【分析】过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，目的得到直角三角形利用三角函数得△AFC三边的关系，再证明 △ACF∽△DCE，利用相似三角形性质得出△DCE各边比值，从而得解. 【详解】解:过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E， ∵， ∴∠B=∠ACF，sin∠ACF==， 设AF=4k，则AC=5k，CD=，由勾股定理得：FC=3k， ∵∠ACF=∠DCE，∠AFC=∠DEC=90°， ∴△ACF∽△DCE， ∴AC：CD=CF：CE=AF：DE，即5k： =3k：CE=4k：DE， 解得：CE=，DE=2k，即AE=AC+CE=5k+=， ∴在Rt△AED中， DE：AE=2k：=. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数定义、相似三角形的判定与性质，解题关键是构造直角三角形. 22. 如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，可证△PBE∽△CBP，可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+ PC有最小值． 【详解】解：如图，在BC上截取BE＝3，连接BP，PE， ∵正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6， ∴BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9， ∵ ，且∠PBE＝∠PBC， ∴△PBE∽△CBP， ∴ ， ∴PE＝PC， ∴PD+PC＝PD+PE， ∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值， ∴PD+PC最小值为DE＝＝15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键． 三、解答题（共6小题，共54分） 23. 计算： （1）． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值，熟练计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，三角函数，绝对值，化简二次根式，最后加减即可； （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 由题意得，， 当时，原式． 24. 如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm． （1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？ 【答案】（1）不能；（2）5﹣秒、5秒或5+秒. 【解析】 【分析】(1)设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，列出方程求解即可； (2)分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上（4＜t≤6）；③点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上（t>6）；进行讨论即可求解. 【详解】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分 由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x， ∴ (6﹣x)•2x=××6×8， ∴x2﹣6x+12=0． ∵b2﹣4ac＜0， 此方程无解， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分； （2）设t秒后，△PBQ的面积为1．分三种情况讨论： ①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4． 由题意知：(6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+（不合题意，应舍去），t2=5﹣； ②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知：(6﹣t)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5． ③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知： (t﹣6)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+，t2=5-（不合题意，应舍去）． 综上所述：经过5-秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1cm2. 故答案为：（1）不能；（2）5﹣秒、5秒或5+秒. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用. 25. 如图，在某次斯诺克比赛中，白球位于点 A 处，在点 A 正北方向的点 B 处有一颗红球，在点 A 正东方向 C 处有一颗黑球，在 BC 正中间的点 D 处有一颗篮球，其中点 C 在点 B 的南偏东 37°方向上，选手将白球沿正北方想推进 10cm 到达点 E 处时，测得点D 在点E 的北偏东45°方向上，求此时白球与红球的距离有多远？（参考数据：sin37°≈，cos37°≈ ，tan37°≈） 【答案】此时白球与红球的距离有 70cm 远． 【解析】 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案． 【详解】由题意可知，∠B=37°，∠DEB=45°， 如图，过点D作DF⊥AC于点F，则DF∥AC， 设DF=xcm， 在Rt△BDF中，tan37°= ，即，则BF=cm， 在Rt△DEF中，tan45°=，即1=， ∴EF=xcm， ∵点D是BC中点，且DF∥AC， ∴BF=AF， 即=x+10， 解得x=30， ∴BE=70cm． 故此时白球与红球的距离有70cm远． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键在于借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 26. 为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨． （1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案． （3）如果你是厂长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由？ 【答案】（1）A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）第一种方案：当a=13时，20-a=7，即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台；第二种方案：当a=14时，20-a=6，即购买A型污水处理设备14台，购买B型污水处理设备6台；第三种方案；当a=15时，20-a=5，即购买A型污水处理设备15台，购买B型污水处理设备5台；（3）选择第一种方案所需资金最少，最少是226万元． 【解析】 【分析】（1）根据2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题； （2）；根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题 （3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨， 由题意，得， 解得， 即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨； （2）设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备（20-a）台， 则， 解得，12.5≤x≤15， 第一种方案：当a=13时，20-a=7，即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台； 第二种方案：当a=14时，20-a=6，即购买A型污水处理设备14台，购买B型污水处理设备6台； 第三种方案；当a=15时，20-a=5，即购买A型污水处理设备15台，购买B型污水处理设备5台； （3）如果我是厂长，从节约资金的角度考虑，我会选择第一种方案，即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台； 因为第一种方案所需资金：13×12+7×10=226万元； 第二种方案所需资金：14×12+6×10=228万元； 第三种方案所需资金：15×12+5×10=230万元； ∵226＜228＜230， ∴选择第一种方案所需资金最少，最少是226万元． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 27. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求的面积． （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ （3）若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 【答案】（1） （2）1或9个单位长度 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键． （1）求出，把代入求出的值，得出一次函数的解析式，把代入求出，得出，根据的面积代入求出即可； （2）设直线向下平移个单位长度，则直线，根据题意列出方程，则根的判别式； （3）双曲线上存在点，使得，这个点就是的平分线与双曲线的交点，易证，则． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 把代入，得； ， 把，代入得， ， 解得，． 一次函数的解析式为， 把代入，得， ． ； 【小问2详解】 解：设直线向下平移个单位长度，则直线， 根据题意列出方程：， 整理，得． 由于直线与反比例函数图象只有一个交点， 所以． 解得，． 所以将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点； 【小问3详解】 解：，， ， 当点在的平分线上时，，如图， ， ， ． ，平分， ， 把代入，可得， ， ， 如图，过点作， ， 点横纵坐标相等， 设， 即， ， ， 故点坐标为，使得和的面积相等． 根据反比例函数图象的对称性可得或． 28. 如图，与相交于A、B两点，过点B的直线交、于C、D，的中点为M，交于E，交于F，连接、、． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，， ______，______． 【答案】（1） 证明：连接， 的中点为， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （3）2；8 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的性质以及平行线的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用． （1）首先连接，由的中点为，易得：与，则可求得；由同弧所对的圆周角相等，可得，则得，即可证得，由相似三角形的对应边成比例，即可证得； （2）易证得，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，可得，即可得证； （3）由题意，，推出，由，推出，，，设，则，，由，求出的值，由，得，推出，，得，由此即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ，， 设，则，， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2；8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $