吉林省吉林市某重点学校2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试卷

永吉实验高中高三12月份（数学）学科质量检测答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C A B C D A D BD ABD ABD 12、 -5 13、 或 14、 4 15．（1）在中，， 代入整理得， 又因为，，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得. （2）因为是中点，所以， 两边平方得， 所以，即， 又由均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 16．【详解】（1）因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得.所以的通项公式为. （2 17．【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， ，，， ∵∴， ∵，∴， ∵,且平面，∴平面. （法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， 设是平面的一个法向量. ，. 取，有∴，， 则，.∴平面. （法三）证明：连接 ∵平面，平面,∴.在中，，. ∵，∴，且， ∴平面，又∵平面，∴. ∵，又∵， ∴，∴. 且，且平面，∴平面. （2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）. 平面的一个法向量为. .∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为. （法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN. ∵，∴平面，∵，∴平面. ∴平面平面. 过D做于，连接. ∵平面，∴. 又，， ∴平面，又平面，∴. 又∵，，平面, ∴平面，∴，∴为二面角的平面角. 在中，，∴.∴平面与平面的夹角的余弦值为. 18．【详解】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图： 因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得 则有，∴又∵ 同理，联立直线与抛物线C的方程，得则有，∴ 又∵，∴又∵ ∴ ，当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 19．(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 所以，，所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，又，所以当时，，不符合题意；② 当时，由，得时，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减，所以，因为，则其等价于，即．令，则，所以当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以，因恒成立，故． （3）．令，得， 令，则与有相同的零点，且． 令，则，因为当时，，所以在区间上单调递增，又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值为． 由，得，即，令，，则，则在单调递增．因为，所以，则，所以，从而，，所以的最小值．因为，所以当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于，且， 所以有2个零点，故有2个零点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $高三12月份（数学)学科质量检测 .（考试时间：120分钟，分值：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，)上单调递增的是（ A.y=2 B.y=In C.y=x D.y=sinx 2、已知集合A={L,3,a2},B={1,a+2},若AnB=B,则a=（) A.1 B、-1 C.2 D.-2 3.为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/ 人年)，得到数据如下：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.则该组数据的30%分位数是() A.6 B.7 C.8 D.9 4.以5(1,0,0)为焦点，且经过点12 的椭圆的标准方程为( A.￡+=1B.+ c. 321 -=1 D.2 34 +y2=1 43 4 5.若m为直线，α，B为两个平面，则下列结论中正确的是( A.若mlla,nca,则mlln B.若m⊥c,m⊥B,则a⊥B C.若ml∥a,m⊥B,则a⊥B D.若mca,a⊥B,则m⊥B 6已知，乃是双曲线C:三=Iα>0,6>0)的两个焦点，过点G与x轴垂直的直线与 双曲线C交于A、B两点，若△ABF是等边三角形，则双曲线C的离心率为( A.2+1 B.√2+1 C.2 D.5 2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 7.正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为( A、112元 B.114π C.116π D.118元 8.己知函数f(x)的定义域为R,且满足f(-x)+∫(x)=0,∫(x+2)+f(x)=0,当x∈[-2,0]时， f(x)=-x2-2x,则当x∈[4,6]时，函数f(x)的最大值为() A.2 B.I C..-1 D.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知a>0,b>0,若a+2b=1,则( A的的最小值为号 B. 21 ，的最小值为8 a b C.a2+b2的最小值为1 D.2°+4的最小值为2√2 i0若动直线mx-y+4-4m=0与圆C(x-4)2+(y-5)}2=9相交于A,B两点，则() A.直线1过定点(4,4) B.AB吲的最小值为4√2 C.CA.CB的最小值为-7 D.存在点P,使PAPB为定值 11.如图所示，圆锥的轴截面△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，PA=4,C为PA中点 若点M为底面圆O所在平面上以OA为直径的圆上一点，过点O作OH垂直PM于H.当点M运 动时，（ A.AM⊥平面POM B.H点形成的轨迹长度为2π C.BH与平面PAB所成角的正弦值的最大值为 6 Q B D.AH+HO的最大值为4 2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a=(1,0),b=(（1,2),c=a+b(1∈R)若d6=0,则1= 13.已知幂函数f(x)=(6m2+m-4)x2m-是奇函数.则不等式f(a+2)<f(4-2a)的解集 为 14.若两条直线+2y-1=0与3x-6y-1=0互相垂直，则a的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 l5.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且√3 sin Csin A+cosCsinA=sinB+sinC. (1)求角A: (2)若VABC边BC上的中线AD的长度为√G,求VABC面积的最大值. 16.已知等比数列{an}满足4+42=3,44+a=24. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=an+2n,求数列{bn}的前n项和Sn 3 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,DC=1, M是BC的中点，点Q在PM上，且PQ=2QM. (1)证明：DQ⊥平面PAM: (2)求平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值， D以 18.已知抛物线C:y2=2px（p>0)过点MC,m,其焦点为R,若MF=2, (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,C与B,D四点，求四边形ABCD面积的 最小值. 19.已知函数f(x)=m(1-x)-nx-1. ()当m=2时，求曲线y=f(x)在点（山，f()处的切线方程； (2)若f(x)≥-1，求m的值； (3)当m>1时，证明：g(x)=f(x)+xe-m有2个零点. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App