2025年广东省广州市越秀区执信中学自主招生数学试卷

2025年广东省广州市越秀区执信中学自主招生数学试卷 一、填空思 -2 1.27+(号)-11√31+（π-2022）0= 2.如图，有一圆形纸片圆心为O,直径AB的长为2，BC∥AD,将纸片沿BC、AD折叠，交于点O,图 中阴彩部分面积为 D 3.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每 个圆图上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C,且什B+C= 519.如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x少+y,则x+y=一：y=一， 4.设实数x满足x3-3x-2=0,若x7-a2+bx-c=0,则2a-b叶c的值是 5.若关于x的分式方程3=1一m_的解为非负数，则m的取值范围是 2-x1x-2 6.若3.1=2，则分式6m-5mmt2m的值为 n m 3m-n 7.把边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB'C'D',边B'C'与DC交于点 O,则四边形AB'OD的面积为 第1页（共19页） 髑田日王 8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,AB=5,D是AC上一点，E是BC上一点，DE=3,若以 DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为 D C E B 9.方程(x-2)1-x=0的根为 10.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-二x+2上的一个动点，将Q绕点P(1,0)顺时针旋转 2 90°，得到点Q',连接0g,则0g'的最小值为 II.如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P从B点沿BD向D点移动，若过点P作AB的垂线交AB 于E点，过点P作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 D 12.如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，点C关于抛物 线对称轴的对称点为点D,动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最 小值是 D E A /B 13.如图，已知Rt△ABC,∠C=90°，AC=3,BC=4,线段BC上有一点P(不与B、C重合)，连接 第2页（共19页） 髑国会 AP,将△ACP延AP翻折，得到△ADP,连接CD、BD,当△CDB为等腰三角形时，CP的长 为 B I4.对一切实数，若二次函数y=a2+bx+c(a<b)的值恒为非负数，则M=ab+c的最小值是 b-a 15.对一切实数k,有√8-xWx-3k成立，则k的最大值为 二、解容思。 16.求解下列问愿： （1)试确定a和b,使x4+2-bx+2能被x2+3r+2整除： (2)已知关于x、y的二次式x2+7ay2-5x-45y-24可分解为两个一次因式的乘积，求a: (3)已知xy=1,x2+y2=2,求x7+y的值 17.已知二次函数y=2+bx-5a（a,b是实数，a≠0). (1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点： (2)若b=-2a,a>0,该函数图象经过A(+1,y1),B(n-1,2)两点，若A,B分别位于抛物 线对称轴的两侧，且≤2，求n的取值范围. (3)若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点(2,1)，求b2-2a的最小值. I8.如图1，四边形ABCD内接于⊙O,对角线BD平分∠ADC,连接AC交BD于点E. D D D A A E E E 0 0 B B 图1 图2 各用图 (I)求证：AB=BC: (2)若4C为直径，如图2，求A+DC的值： DB 2 (3)若AD:BC=S△MDE:SADEC,且SABEC=S△MEB+SMED, 求 BC 的值。 DB 第3页（共19页） 餐巴全廷 叹。如图1，抛物线y上之号x+c与x轴交于小，B两点，与y轴交于点C,且点A坐标为（山，0》 2x (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，y轴上存在一点D,使⊙D经过B,C两点，求点D的坐标： (3)如图3，连结BC,点P(不与A,B,C三点重合)为抛物线上一动点，连结BP,在点P运动过 程中，是否能够使得∠PBC=45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由. A B D 图1 图2 图3 第4页（共19页） 霸巴全任 2025年广东省广州市越秀区执信中学自主招生数学试卷 参考答案与试测解析 一、填空思 1.【解答】解：27+()2-1-√3+（π-2022）0 =3+1，-W3-1)1 2 =3+4-V3+1+1 =9√3 故答案为：9√3. 2.【解答】解：如图，过点O作OG⊥BC于G,延长交⊙O于E,反向延长G0交AD于H,连接OC、 OD, F 由折叠得OG=GE, .OG⊥BC, ∴.CG=BG,∠0GC=90°， 0C=1,0G=10E=1, 2 2 ∠0cG=30°，cG=V0c2-0c2_ 2 .∠B0C=120°，BC=2CG=√3， 同理：AD=√3， .BC∥AD, .OH⊥AD,∠OBG=∠OAD, .∠AHO=∠BG0=90°， ,OA=OB,∠AOH=∠BOG, ∴.△BOG≌△AOH(AAS), ∴.OG=OH, 第5页（共19页） 髑国赶 .弓形BC与弓形AD的面积相等， ∴，阴影的面积=2(S扇形BOC-S△BOC） =2x20X12号xW5×分) 602 =2π√3 32 故答案为：2兀√3 32 3.【解答】解：由题意可得：三个圆上的数字之和应为3×23=69， 其中的x、y、x+y这三个数每个都加了两次， .1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, .45+x+y4(x+y）=69, 则有2(x+y)=69-45, 解得：x+y=12: 由愿意可得： 12+22432+42+52462+72+82+924x2+y2+(x+y)2=519, 12+22+32442452+62+72482+92=285, .x2+y2+(x+y)2=519-285, .x2+y2+(x+y)2=234, 整理得：X2+y242xy-2x4（x+y)2=234, ∴.(x+y)2-20叶(x+y)2=234, x+y=12: ∴.122-2y4122=234, .144-20+144=234, .2xy=54, 解得：y=27. 故答案为：12：27. 4.【解答】解：x3-3x-2=0, x3=3x+2, ∴x7=x(3x+2)2=x(9x2+12x+4)=9x3+12x2+4x=9(3x+2)+12x2+4x=12x2+31x+18, .x7-ax24br-c=0, ∴.12x2+31x+18-ax2+bx-c=0, 第6页（共19页） 髑国王 ∴.(12-a)x24(31+b)x+(18-c)=0, ∴.12-a=0,31+b=0,18-c=0, .a=12,b=-31,c=18, .2a-b+c=2X12+31+18=73. 故答案为：73. 5【解答】解：3=1m 2-x1x-2 方程两边同时乘以(x-2)得：·3=（x-2)·m, 解得：x=m·1, .m-1≥0， 解得m≥1， x≠2， m-1≠2，即m≠3， .m的取值范围是m≥1且m≠3， 故答案为：m≥1且m≠3. 6.【解答】解：31=2， n m .3m-n=2mn, -6m-5mn+2n 3m-n =（-6mt2n)-5mm 3m-n =-2(3m-n)-5mm 3m-n --2X2mn-5mn 2mn =-9mm 2mn =号 故首案为：昌 7.【解答】解：连接B'C,AC, 第7页（共19页） 髑国全王 B ,旋转角∠BAB'=45°，正方形ABCD,正方形A'B'C'D', ∴∠D=∠B=∠AB'O=90°，∠BAC=∠ACD=45°，AB=BC=AB'=1, ∴B'在对角线AC上，AC=√12+12=V2, ∴B'C=AC-AB′=V2-1, .∠ACD=45°，∠AB'O=90°， ∴.∠COB'=45°，△COB'为等腰直角三角形， B'C=B'0=V2-1, ∴四边形AB'OD的面积是： 8am-8a8re×12号×6W2-1D22-1 2 故答案为：√2-1. 8.【解答】解：如图，连接OM,OC,过点O作OH⊥AB于H,CK⊥AB于K, .OH⊥MN, ∴.MH=HN, 六HN=2=2V0M2-0H2,， :∠DCE=90°，OD=OE=1DE=3 2 2 20c-0-08-0Ir号 ∴点O的运动轨迹是以C为圆心， 为半径的圆， 2 在Rt△ACB中， AC=4,AB=5, ∴BC=3, 浸08分cB0 m唱 当C、O、H共线，且与CK重合时，OH的值最小， 第8页（共19页） 器田全赶 OH的最小值为2_3=9 5210 2 2 .MN的最大值为21 故答案为： 12 D N C E B 9.【解答】解：由题意可得：x-2=0或V1-x=0, 解得x=2或x=1, 1-x≥0， 解得x≤1， x=1, 即方程(x-2)√1-x=0的根为1. 故答案为：1. 10.【解答】解：作QMLx轴于点M,'N⊥x轴于N, ∠PMQ=∠PWg'=∠QPg'=90°， ∴.∠QPM4∠NPg'=∠Pg'N+∠NPg', ∴.∠QPM=∠Pg'N 在△PQM和△Q'PN中， 「∠PMQ=∠PNQ'=90° ∠QPI=∠PQ'N, PQ=PQ ∴△POM≌△Q'PN(AAS), ∴.PN=QM,g'N=PM, 设g(m,-三mr2, PM=a-Qwn+2外 ∴oN=B-l 第9页（共19页） 国全王 0'3-,1-m 00'2=(3-1m)2+(1-m)2=5m2-5m10=点(m-2)2+5, 4 当m=2时，0g'2有最小值为5， 0g'的最小值为V5, 故答案为√5！ 11.【解答】解：如图，连接AP、EF, PE⊥AB,PF⊥AD, ∴.∠AEP=∠AFP=90°. ,四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°. ∴四边形AEPF为矩形. .AP=EF. ∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值 ,点P从B点沿者BD往D点移动， 当AP⊥BD时，AP取最小值. 在Rt△BAD中， :∠BAD=90°，AB=6,AD=8, ∴BD=VAB2+hD2=√62+82=10. SABD=号ABAD=4P-BD, 2 2 4P=BD=6×8=2 BD 105 EF的长度最小为：24 5 放答案为：兽 第10页（共19页） 髑国会