精品解析：北京第十一中学校 2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（1层）

北京第十一中学校2024－2025学年度八年级上学期期中考试 数学Ⅰ 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分），每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组图形中是全等形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，和，和是对应顶点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（ ）  A. 3   B. 4   C. 2 D. 1 6. 如图，在中，，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 30 B. 15 C. 12 D. 10 8. 如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，…，按此规律进行下去，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 请写出两个具有轴对称性的汉字　. 12. 如图，是的角平分线，，则的面积是_________． 13. 如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是_________． 14. 如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为__，的值为__． 15. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 三、解答题（共6个小题，满分85分） 16. [教材例题变式]如图，在中，，垂足为E． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以为角的三角形； （3）写出以为边的三角形； （4）找出图中的直角三角形和等腰三角形． 17. 作图题： 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点，，的坐标． （2）在轴上画出点，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求的面积． 18. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 19. 已知点，． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求的值． 20. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数． （3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？ 21. 按照一定次序排列的一列数称为数列，例如就是一个含有5个数的数列，其中数字1是该数列第一项，通常记作，所以就是它的第五项，表示它的第n项，有的数列是有限项，有的数列是无限项，现有一个无限项的数列：每一项都是正整数，且满足： ，． 例如：时，；时， （1）若，请直接写出； （2）若，写出这个无穷数列中所有可能出现的数，并说明理由； （3）若数列中第一项是3的倍数，证明：数列中所有项都是3的倍数； （4）若数列中第项是3的倍数，证明：数列前项也都是3的倍数； （5）设数列中所有出现的数（重复的数只计算一次）的总个数为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京第十一中学校2024－2025学年度八年级上学期期中考试 数学Ⅰ 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分），每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 【详解】解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是； 故选：D. 2. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标． 【详解】点关于y轴的对称点的坐标是， 故选C． 【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 3. 下列四组图形中是全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等形，根据能够完全重合的两个图形是全等形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，A、B、D选项中两个图形大小不一样，不可能完全重合，不是全等形， C选项的两个图形可以完全重合，是全等形． 故选：C． 4. 如图，，和，和是对应顶点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等即可解答． 【详解】解：∵，和，和是对应顶点， ∴． 故选：C． 5. 如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（ ）  A. 3   B. 4   C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形两底角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 30 B. 15 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质．直接根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 故选：C 8. 如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间． 【详解】解：由图中可以看出，此时的时间为． 故选：B． 【点睛】本题考查了镜面对称的知识，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形． 9. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，…，按此规律进行下去，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点A旋转180°，得到， ∴ ， 则 同理可得， ……， 即 故选C 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 请写出两个具有轴对称性的汉字　. 【答案】甲、由、中、田、日等(答案不唯一). 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，即可写出：甲，日，田等字． 【详解】解：具有轴对称性的汉字：甲，日等字． 故答案是：甲、由、中、田、日等(答案不唯一). 【点睛】此题为开放性试题，能够根据轴对称图形的概念，写出左右对称或上下对称的汉字均可． 12. 如图，是的角平分线，，则的面积是_________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键． 先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：24． 13. 如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 14. 如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为__，的值为__． 【答案】 ①. 6 ②. 0 【解析】 【分析】根据的三边为边作三个正方形得，，，，，，即可得，，利证明，即可得，利用证明，得，即可得，，设，，根据四边形，四边形，四边形都是正方形，得，，,，则，可得，即可得． 【详解】解：∵的三边为边作三个正方形， ∴，，，， ，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， 故答案为：6，0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 15. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断①的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断②的正误；由，则，，可得，即，进而可判断③的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断④的正误； 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵，无法判断与的关系，②错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 三、解答题（共6个小题，满分85分） 16. [教材例题变式]如图，在中，，垂足为E． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以为角的三角形； （3）写出以为边的三角形； （4）找出图中的直角三角形和等腰三角形． 【答案】（1）以点C为顶点的三角形是， （2）以为角的三角形是，， （3）以为边的三角形是，， （4）图中的直角三角形是，；等腰三角形是， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和直角三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和直角三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行求解即可； （3）根据三角形的相关定义进行求解即可； （4）根据等腰三角形和直角三角形的定义求解即可． 【小问1详解】 解：以点C为顶点的三角形是，； 【小问2详解】 解：以为角的三角形是，，； 【小问3详解】 解：以为边的三角形是，，； 【小问4详解】 解：图中的直角三角形是，；等腰三角形是，． 17. 作图题： 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点，，的坐标． （2）在轴上画出点，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ，， （2） 如图所示，点即为所求； （3）6 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，点P即为所求； （3）利用割补法即可得到三角形的面积． 【小问1详解】 解：的坐标，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 18. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【解析】 【分析】本题考查了等角的补角相等、三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质，小力先用等角的补角相等证明出，再证明，最后根据全等的性质得到；小旺根据三角形外角性质得到且，，证明，最后根据全等的性质得到． 【详解】证：小力的证法： （已知）， 且， （等角的补角相等）， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 小旺的证法： ，（已知）， 且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 19. 已知点，． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵A，B关于x轴对称， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵点A，B关于y轴对称， ∴，解得：， ∴． 20. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数． （3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？ 【答案】（1）， 证明：点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，经过1s后， ∴， ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴， ∵AB＝BC＝AC＝12cm，BD＝AB， ∴是等边三角形，，， ∴， 在和中， ∴（SAS）． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据时间和速度求得BP、CQ的长，根据SAS判定两个三角形全等． （2）利用第（1）小题的方法可证得，，根据三角形外角性质可得，根据等边三角形性质和三角形内角和定理可得，根据对顶角性质可得的度数． （3）设点Q运动时间是x秒，根据列一元一次方程，根据任意一角为的等腰三角形是等边三角形，即可求出答案． 【详解】（1） 略 （2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴， ∵AB＝BC＝AC， ∴是等边三角形，， ∵在和中， ∴， ∴； 在中，， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴（对顶角相等）． （3）解：设点Q运动时间是x秒，若，可列方程： ， 解得：． ∵在中，，， ∴当秒时，是等边三角形（任意角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴当点Q运动秒后，可得到等边． 【点睛】本题考查了三角形外角定理、用SAS证明三角形全等及等边三角形的性质和判定，熟练运用全等三角形的判定和性质定理是解题关键． 21. 按照一定次序排列的一列数称为数列，例如就是一个含有5个数的数列，其中数字1是该数列第一项，通常记作，所以就是它的第五项，表示它的第n项，有的数列是有限项，有的数列是无限项，现有一个无限项的数列：每一项都是正整数，且满足： ，． 例如：时，；时， （1）若，请直接写出； （2）若，写出这个无穷数列中所有可能出现的数，并说明理由； （3）若数列中第一项是3的倍数，证明：数列中所有项都是3的倍数； （4）若数列中第项是3的倍数，证明：数列前项也都是3的倍数； （5）设数列中所有出现的数（重复的数只计算一次）的总个数为，求的最大值． 【答案】（1）36，36，36，36 （2） 这个无穷数列中所有可能出现的数6，12，24， 理由：∵， ∴， ， ， 所以，这个无穷数列中所有可能出现的数6，12，24； （3） 证明：设（为正整数） 当时，是3的倍数， 当时，（为正整数）， 当时，，是3的倍数； 当时，，是3的倍数； ∴当时，是3的倍数， ∴数列中所有项都是3的倍数； （4） 证明：假设数列前项中存在某一项不是3的倍数， 当时，则，不是3的倍数， 当 时，则，不是3的倍数，36是3的倍数， 故不是3的倍数， 依次类推，也不是3的倍数，与第项是3的倍数矛盾，因此，前n项都是3的倍数； （5）8 【解析】 【分析】本题侧重考查探究规律、定义新运算，归纳所给式子的特点，得出其规律是解题的关键． （1）根据关系式进行计算即可； （2）仿（1）进行计算即可； （3）设，分和两种情况讨论求解即可； （4）运用反证法假设不是3的倍数，推出也不是3的倍数，与第项是3的倍数矛盾，可得结论； （5）先求出当时出现的数的个数，然后寻找规律，推理得出当时和时出现的数的个数情况，故可得的最大值为8． 【小问1详解】 解：当时，； ； ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：当时，数列：，出现的数有（共8个）； 当时，数列：，出现的数有（共7个）； 当时，数列：，出现的数有（共4个）； 当时，数列：，出现的数有（共6个）； 当时，数列：，出现的数有（共8个）； 当时，数列：，出现的数有（共3个）； 当时，数列：，出现的数有（共8个）； 当时，数列：，出现的数有（共6个）； 当时，数列：，出现的数有（共3个）； 当时，数列：，出现的数有（共7个）； 当时，数列：，出现的数有（共8个）； 当时，数列：，出现的数有（共2个）； 当时，数列：，出现的数有（共8个）； 当时，数列：，出现的数有（共7个）； 当时，数列：，出现的数有（共4个）； 当时，数列：，出现的数有（共6个）； 当时，数列：，出现的数有（共8个）； 当时，数列：，出现的数有（共2个）； 由以上分析可知：当时，为奇数时，可能出现数的个数为8个，当为偶数时，出现数的个数最多为7个， 当时，，且为偶数，因此当时，出现数的个数最多不会超过8个， 当时，对应的的值与当时，对应的的值相等且都是偶数，因此当时，出现数的个数最多为8个． 综上分析可知，出现的数最多为8个． 故的最大值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $