精品解析：广东省东莞市寮步镇外国语学校2025-2026学年上学期九年级学期数学期中测试

2025-2026学年第一学期初三数学第二次阶段检测题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 4. 中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出132条信息，求这个群有（ ）人． A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人 5. 已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 6. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 7. 如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，分别与相切于点A，B，与相切于点E，交于点F，交于点G，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 汽车刹车后行驶的距离（米）关于行驶时间（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为_____秒． 13. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 14. 如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是______． 15. 如图，在矩形中，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为_______． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E． 求证：（1）AC＝BD； （2）CE＝BE． 17. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 18. 玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品．已知该文化产品的成本价格为20元／件，每天的销量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）满足关系式，销售单价不低于成本且不高于40元/件，设销售该文创产品的日获利为元． （1）当销售单价定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？ （2）若线上平台将向该工作室收取元/件的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，日获利最大，求的值． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由； （3）实心球运动的抛物线经过，点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标； （3）若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_________________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标． 五、解答题（第22小题13分，第23题14分，共27分） 22. 课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 23. 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转． （1）当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论． （2）将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三数学第二次阶段检测题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2. 将一元二次方程配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式解答即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得 （两边加一次项系数一半的平方）， 即， 故配方后的方程为 ． 故选：D． 3. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 且， ∵， ∴，解得：， 综上，且， 只有C选项符合题意． 故选：C 4. 中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出132条信息，求这个群有（ ）人． A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设这个微信群的人数为x人，则每人需发出条信息，根据共发出132条短信列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个微信群的人数为x人，则每人需发出条信息， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴这个微信群的人数为人． 故选：B． 5. 已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；把代入函数解析式求出y值即可判断C；根据二次函数的图象和性质可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； 把代入， 解得：，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， 且， 离对称轴越近越小，则，所以选项D符合题意， 故选：D． 6. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 即的半径， ∴点P在内， 故选：A． 7. 如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形外角定理．解题关键是利用“半径相等”将转化为等腰三角形的腰，通过外角定理推导角的倍数关系；易错点是遗漏连接辅助线，或混淆外角与内角的关系． 首先连接，由，得是等腰三角形，故；其次由三角形外角定理，得；然后由，得是等腰三角形，故；最后再由外角定理，得． 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， 而， ， ，， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，，分别与相切于点A，B，与相切于点E，交于点F，交于点G，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，从圆外一点引圆的切线，则其切线长相等．根据切线长定理得到，，，结合三角形的周长公式可求得的周长． 【详解】解：是的切线，， ，，， 的周长 ． 故选：D． 9. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 10. 如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，，则可对①②进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断． 【详解】解：连接、，如图， 为等边三角形， ， 点是的中心， ，、分别平分和， ，即， 而，即， ，且，， ， ，，所以①正确； ，所以②正确； ， 四边形的面积，所以③正确； 作于，如图，则， ， ， ，， ， ， 的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值， ④正确． 综上，四个结论都是正确的， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12. 汽车刹车后行驶的距离（米）关于行驶时间（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为_____秒． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将函数关系式化为顶点式，求出其顶点的横坐标． 汽车刹车后到停止时行驶距离最大，所以需要将给定的二次函数关系式化为顶点式，通过顶点的横坐标求出汽车从刹车到停止所用的时间． 【详解】解：由，得 ， 故当时，取得最大值，即汽车停止． 故答案为：3． 13. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减．根据规律直接得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 故答案为：． 14. 如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 如图：连接交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得，然后求出的长即可． 【详解】解：如图：连接交于D， 由题意得：（米），， ∴（米），， 在中，（米）， 米，即点C到弦所在直线的距离是米． 故答案为米． 15. 如图，在矩形中，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，过点作，根据切线的性质及旋转的性质可以得到四边形、四边形均为矩形，结合、、的半径及勾股定理可以求出及的长度，再利用等腰三角形的性质即可确定及的长度； 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，过点作， ∵边与相切， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵四边形、四边形均为矩形， ∴，则， 在中， ， ∵且， ∴， 即： 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质定理，旋转的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握等腰三角形、矩形的性质，理解切线的性质定理是解决本题的关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E． 求证：（1）AC＝BD； （2）CE＝BE． 【答案】 （1）证明：AB=CD， 即 AC=BD； （2）证明： ， ∠ADC=∠DAB， EA=ED， AB=CD， 即AE+BE=CE+DE， CE=BE． 【解析】 【分析】（1）由AB=CD得到，则，然后利用圆心角、弧、弦的关系得到结论； （2）根据圆周角定理，由得到∠ADC=∠DAB，则EA=ED，然后利用AB=CD得到CE=BE． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，记住这是关键． 17. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 18. 玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品．已知该文化产品的成本价格为20元／件，每天的销量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）满足关系式，销售单价不低于成本且不高于40元/件，设销售该文创产品的日获利为元． （1）当销售单价定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？ （2）若线上平台将向该工作室收取元/件的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，日获利最大，求的值． 【答案】（1）当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元． （2）a的值为2． 【解析】 【分析】（1）根据利润利润单价数量直接列式即可得到答案； （2）首先表示出收取费用后的日获利，然后根据函数的性质直接求解即可得到答案； 本题考查二次函数解决销售利润问题，解题的关键是根据题意列出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质． 【小问1详解】 解：日获利 ∵ ∴二次函数开口向下， ∴当时，w最大值为500． 答：当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元． 【小问2详解】 解：收取费用后，日获利 ∴顶点横坐标 根据题意，时日获利最大， ∴ 解得． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由； （3）实心球运动的抛物线经过，点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】（1）关于的函数表达式为 （2） 解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 在中，当时，， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）或 【解析】 【分析】（1）设关于的函数表达式为：，将代入求解即可； （2）求出时，x的值即可得到结论； （3）根据函数解析式，可得函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，则可得到离对称轴越远，函数值越大，求出和时的函数值，再分当和两种情况，根据函数的最大值与最小值的差为建立方程，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点M和点N分别在对称轴的两侧， ∴在点M和点N之间的部分图象中，函数的最大值为； 在中，当时，， 当时，； ①如图，当，即时，函数的最小值为， ∴ 解得或（舍去）； 如图，当当时，函数的最小值为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，的值为或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，，． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标； （3）若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_________________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， （3）或 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）先作出，，关于的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出绕点顺时针旋转的对应点，然后顺次连接即可，并写出点的坐标； （3）根据题意作出图形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，点的坐标为或， 故答案为：或． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）待定系数法求解析式即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线，设对称轴与轴交于点，过点作于点，证明，设，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，当点与点重合时，可得或； 【小问1详解】 解：将点，，代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：点，， 抛物线的对称轴为直线， 设直线与轴交于点，过点作于点， 当在轴上方时，如图： 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ， ，， ∴， ，， 设，则，， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去）或， ； 当在轴下方时，如图： 同理可得，，， 设，则， 把代入得： ， 解得（舍去）或， ； 当点与点重合时，如图所示， ，是等腰直角三角形，且， ， 此时， 由对称性可得，点也满足条件， 综上所述，或或或； 五、解答题（第22小题13分，第23题14分，共27分） 22. 课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 【答案】（1）；； （2）① 连接，延长交与点，如图： 为的直径， ， 是的角平分线，且， ， ， ，（公共边）， ， ， ，， 直线垂直平分； ② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理： （1）根据圆周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，延长交与点，根据等角对等边可证得，再根据可证得，进而可证得，根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； ②由（1）得：，由①得：，点是的中点，进而可得，根据即可求解； 添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）为的直径， ， 在中，，， ， 是的角平分线， ， ， 在中，， ； （2）①略 ②由（1）得：， 由①得：，点是的中点， 是的中位线， ， ． 23. 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转． （1）当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论． （2）将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数． 【答案】（1） ，证明如下： 设， 在中，， ， 由旋转的性质得：， ，和都是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； （2） 成立，证明如下： 如图，在上截取，连接， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）设，先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，，都是等边三角形，从而可得，由此即可得出结论； （2）在上截取，连接，先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得出结论； （3）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据旋转角即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点三点在一条直线上时， 由旋转的性质得：， ， 在和中，， ， ， 则旋转角． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $