精品解析：重庆市万州第三中学2025-2026学年高一上学期第三次质量检测数学试卷

2025年秋万州三中高一（上）第三次质量检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 64 D. 4. 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数是定义在R上的减函数，则a的取值可以是 （ ） A. B. C. D. 10. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ） A. B. 任意给定， C. D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为___________． 13. 函数的最小值为___________． 14. 对于函数，若存在使得，则称点是函数的“优美点”.已知函数存在“优美点”，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）； （2）. 16. 已知集合，，实数集为全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数，且定义域为. （1）证明：为奇函数； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）求不等式的解集. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求实数的值，并求函数的解析式； （2）设，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋万州三中高一（上）第三次质量检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合集合的补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，，则， 且，所以. 故选：D. 2. 一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数解析式，进而求出函数值. 【详解】设幂函数，则，解得， 因此，所以. 故选：D 4. 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】假设命题为真命题，可得实数m的取值范围是，再取补集即可得结果. 【详解】假设命题“存在，使得等式成立”为真命题， 可得，且，则实数m的取值范围是， 若命题“存在，使得等式成立”是假命题， 则实数m的取值范围即为集合在上的补集， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性排除两个选项，再利用时，函数值的正负判断即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AC； 当时，，则，排除D，选项B符合题意. 故选：B 6. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7. 设，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，，，再利用对数的性质比较即可得结论. 【详解】，，， 又，，，， 所以， . 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合奇函数的性质，函数为增函数，对分类讨论，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在单调递增， 所以，在上为增函数， 由题意得，，否则不成立， 当时，， ，且， ， 即时，恒成立， 当时，， ，且， ， 故当时，不成立. 综上所述， 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，属于中档题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数是定义在R上的减函数，则a的取值可以是 （ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据减函数的性质，结合分段函数单调性的性质、指数函数的单调性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的减函数， 所以， 因为，所以选项A不符合题意；显然选项B符合题意； 因为，所以选项，因此C符合题意； 因为，所以，因此选项D符合题意， 故选：BCD 10. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】巧妙运用“1”及基本不等式求出的最小值，即可判断A；利用基本不等式求出的最大值，即可判断B；利用基本不等式先求出的最大值，进而得到的最大值，即可判断C；利用基本不等式先求出的最大值，再求出的最小值，即可判断D. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以有最小值4，故A正确； 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以有最大值，故B错误； 因为，所以， 则，当且仅当时等号成立， 所以有最大值，故C正确； 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以有最小值，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ） A. B. 任意给定， C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由单调性的定义和对称性得到函数在上单调递减，在上单调递增，进而可得BC，再由抽象函数的单调性可判断AD. 【详解】任意给定，函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式大于等于零，分母不为零，即可得到结果. 【详解】使函数有意义需满足：，解得，且， 故定义域为. 故答案为： 13. 函数的最小值为___________． 【答案】-2 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后求出二次函数的值域，最后根据对数函数的单调性求出最小值即可. 【详解】要使函数有意义，则，化简得， 解得. 令，根据二次函数的性质可知. 因为在上单调递减， 所以当时，取最小值，即为. 故答案为：-2. 14. 对于函数，若存在使得，则称点是函数的“优美点”.已知函数存在“优美点”，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作函数图象关于原点的对称的函数图象，问题转换成和在有交点，即可求解. 【详解】若函数存在“优美点”， 即作函数图象关于原点的对称的函数图象， 令，则， 则， 由题意和在有交点， 即当时，方程有解. 显然不是方程的解，方程可化为， 又由（当且仅当时取等号）， 有，可得. 即实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）； （2）. 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算； （2）根据指数幂和对数的运算法则计算． 【详解】（1） ． （2） ． 16. 已知集合，，实数集为全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；或. （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集、并集、补集运算即可求解； （2）由求解即可. 【小问1详解】 当时，，或， 所以或； 又或， 所以或 【小问2详解】 ，或， 因为，所以，解得：， 所以实数的取值范围为 17. 已知函数，且定义域为. （1）证明：为奇函数； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）证明：函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数. （2）证明：任取，且， 由， 因，则， 故，即，故在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义证明即可； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）利用已证明的奇函数与在上单调递减的性质，将题设抽象不等式化成不等式组，求解即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（1）知为奇函数， 则不等式等价于， 由（2）知在上单调递减，则有，解得. 故不等式的解集为. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1） （2）当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【解析】 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为4. 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求实数的值，并求函数的解析式； （2）设，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据函数是定义在上的奇函数，则，可求得，再根据奇函数的性质，即可求得其解析式； （2）根据题意，得，通过换元结合二次函数的图像性质，可求得得最大值和最小值，进而可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，则， 又因为，所以. 当时，. 当时，则，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 综上，函数的解析式为. 【小问2详解】 当时，， 设，令，因为，所以， 则， 所以时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以当时，；当时，， 则的最大值为3，最小值为. 因对任意，都有恒成立， 这等价于对任意恒成立， 故应大于的最大值，即， 即， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $