陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高三上学期第四次月考（12月）数学试题

2025-2026学年普集高中高三第一学期第四次月考数学试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x|2x2+3x-9>0),B={x|x2-2x>0},则AUB A.{x|0<x<3 {-<别 C{<0或x>引 D.{x<-3或x>2 2.命题“存在偶数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是偶数”的否定为 A.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 B.对任意的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 C.存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数是奇数 D.不存在奇数a,使数据3,4,1，a,5,7的中位数不是偶数 3.已知1gx=mlnx(x≠1)，则(/10)m= A B./e C.e D.e2 在块顶角为腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切制成扇形，现有如图 所示的两种方案，则 D 方案一 方案二 入方案一中的扇形狐长为号 且方案一中的扇形面积为号 C.方案二中的扇形弧长为日 D。方案二中的扇形面积为写 5.已知函数f(x)=x3十2ax2+a2x在x=1处取得极小值，则a的值为 A.-1或-3B.-1 C.1 D.-3 6.方程cos3x=cosx在[0,2π]内的根的个数是 A.3 B.5 C.6 D.7 7.已知函数f(x)=Acos(ox十p)(A>0,w>0,p<)的部分图象如图所示，则 7π Af2)=3co2-】 B.fx)=3sin(分-》 C.f)=8o(分-引 D.fx)=3sin(分：-别 8.若函数h(x)=lnx- 2ax2-1在[2,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 A.(+j) B(6+) c() n.(o, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设集合M={x|x=a2+a+1,a∈N),则下列元素属于M的是 A.78￥ B.8 C.73 D.240 10.已知函数fx)=in9+9-2in9(p<）,则 1 Af:)的值域为-2引 B当9=一时，)图象的对称中心为侣+”o)k∈2 se2 π， C当p=时，1x)图象的对称轴方程为x=是+号 D当z∈品引)的值城为-]时9的值为 11.设函数f(x)= sin(x+a),z>0:则 cos(z-a),x<0, A.当a=-2时，f(f(a)<0 B.当a=2时，f(f(a)>0 C.当a=-1时，f(a)>f(f(a) D.当a=1时，f(a)>f(f(a) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=2=ar'--1的最大值为2，则a= 13.已知函数f(x)=sin2x,若f()=号，则f(任-) 14.已知函数f(x)=(x+1)e,过点M(1,t)仅可作2条与曲线y=f(x)相切的直线，则实数 t的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=3-4sin(x-5)sinx (1)求f(x)的最小正周期： (2)设g(x)=3-2m+mcos(2x-石)(m>0),是否存在实数m,满足对任意的x1∈[0， ],都存在x∈[0，]，使得f(x)=g(x)成立？ 16.(15分) 中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（如图①）具有注重理性和逻辑的文化风气，是中 式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美.几何图案是由函数f(x)=2,x∈(0，十∞)与函数 g(x)=一x十m(m>0)的图象（如图②）分别关于x轴、y轴及原点(0,0)对称所得（如图③）. ① ② (1)若图③构成正八边形ABCDEFGH,求实数m的值； (2)若关于x的方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根a,b. (1)求实数m的取值范围； (ⅱ)求2·4的最小值。 17.(15分》 已知函数f(x)=一 3x3+2x2+2ax. (1)若a=3,求f(x)的极值； (2)当0<a<2时.fx)在[1,4]上的最小值为-9求fx)在区间1，幻上的最大值 评音的干装中机长 18.(17分) 设A为非空数集，实数a满足以下两个条件：①Hx∈A,x≤a;②对任意给定的m>0,总 存在xo∈A,使得x。十m>a.这时，称a为集合A的上确界. (1直接写出架合A,=y=3n2x,音<x≤}的上确界： (2)在函数f(x)=sin(wzx十p)与g(x)=√3cos(wx十p)(w>0,P>0)图象的交点中，距离 最短的两个交点的距离为2. (1)求w的值； （1)求架合A:=少-51)十8-》？要<x<8}的上确界，并正明你 2 的结论、 19.(17分) 已知函数f(x)=x-a-3nx. (1)若a=2,求f(x)的极值； (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2). (1)求a的取值范围； (i)证明：x2f(x2)>-9.2025-2026学年普集高中高三第 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 答案 B B D B 一、选择题 1.C【解析】因为A={xx<-3或x> 2}B=xx<0或x>2,所以AUB= 3 {k<0或x> 2.B【解析】命题“存在偶数a,使数据3,4， 1,a,5,7的中位数是偶数”的否定为“对任意 的偶数a,数据3,4,1，a,5,7的中位数不是 偶数”. 3.B【解析】由题意得lgx=mlnx=m· 货二由1，得1返0，则g。=1,即m一 'lg e lge,故(/10)"=10号=10l6=√】 4.D【解析】因为△A0B是顶角为腰长 为2的等腰三角形，所以A=B=石，AM= BN=1,AD=2,所以方案一中扇形的弧长 为2×晋=号：扇形的面积为号×2×号 否：方案二中扇形的弧长为1×号-行：扇形 的面积为分×1×经-行综上，选项D正确， 5.B【解析】由题意得f'(x)=3x2+ 4ax十a2,又函数f(x)=x3+2ax2+a2x在 x=1处取得极小值，则(1)=3+ 4a十a2=0,解得a=-1或a=-3.当 a=-1时，f'(x)=3.x2-4x+1=(3x 1D(x-1D,令了(x)=0,则x=或x=1, 学期第四次月考数学答案 6 7 8 9 10 11 B A B AC AC AC 当x∈（号1）时，fx)0fx)在（分1） 上单调递减，当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0, f(x)在(1，+∞)上单调递增，则在x=1处 取得极小值，故a=一1符合；当a=一3时， f'(.x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),令 f'(x)=0,则x=3或x=1,当x∈(-∞， 1)时，f'(x)>0,∫(x)在（一∞，1）上单调递 增，当x∈(1,3)时，f'(x)<0,f(x)在(1,3) 上单调递减，则在x=1处取得极大值， 故a=一3不符合，所以a=一1 6.B【解析】由cos3x=cosx,得3.x=2kx+ x或3x=2kπ-x(k∈Z),当x∈[0,2π]时， x=0,2,受，受，所以方程c0s3x=c0s女 在[0,2π]内的根的个数是5. 7.A【解析】由图可知A=3.设∫(x)的最 小正周期为T,测号-登-（一引部得 T=4由4领=石解得w=方则了x) 3cos(合x+g),将点(，-3)代人方程 y=3cos(合x+)中，得3cos(爱+) -3,所以行+9=x+2,∈Z,解得p= +2张x,k∈么因为1p<受，所以9= 6 -吾，所以fx)=3cos(合-君）】 8.B【解析】因为函数h(x)=lnx-2ax2- 1在[2,4]上存在单调递减区间，所以存在 x∈[2,4们，使'(x)= 一ax<0成立，即存 在x∈[241.使a>成立.令Gx)- 因为：∈[2，.所以上片引所以当 }=甲-4时：G-六所 以>洁 二、选择题 9.AC【解析】x=a2+a+1=a(a+1)+1, a∈N,则x的值必为奇数，又7=2×3+1， 73=8×9+1,故AC正确. 10.AC【解析】由题意可得∫(x)= 1 1 sin 2x cosp+cos 2xsin 2sin(2x十p).因为x∈R,所以f(x)的值 城为[一名引A正确：当？=一号时， fx)=2m(2x-）令2红-=kx, A∈Z解得x=吾+经，k∈Z所以了x) 6 图象的对称中心为（后+受0）k∈Z B错误：当g=晋时，f)-号m(2x十 智）令2x+号-受+k∈Z,解得x 后+经∈乙所以对称轴方程为上一音 经k∈z,C正确：当x∈[信引时， 则2x+p∈[后+g:x+小，此时fx)的 值城为[-子，引，由f)=名可知 [后+9x+小，且-<g<受，可得 吾+（吾）+（臣，》则 ·2 君+p≤受解得(-乏引可得后十 9(-育引x+(管]由 f(r)=- ,可知 1 π x+9≤6 得-骨<9<管，且2×+g=-后或2X 至十g-石解得g=一晋或=后所以 的值为-音或后，D错误 1l.AC【解析】当a=-2时，f(a)=cos0= 1,f(f(a)=f(1)=-sin1<0,故A正 确：当a=2时，f(2)=sin4<0, f(f (a))=f(sin 4)=cos(sin 4-2), 为-x<sin4-2<-至，所以ffa)< 0,故B错误；当a=一1时，f(a)=cos0 1,f(f(a)=f(1)=sin0=0,所以f(a)> f(f(a),故C正确；当a=1时， f(1)=sin 2,f(f(a))=f (sin 2)= sin(sin2+1).因为fx)=sinx在[ 引]上单调递减，面m2+1<2,所以 f(a)<f(f(a),故D错误. 三、填空题 12.号【解析】设g(x)=ax2+x+1,则 1)-(付)“因为y=()为减函 数，又f(x)有最大值为2，所以g(x)有最 小值-1.因此a>0,且如二1=-1，解 4a 得a=8 13.与【解析】因为/（合）=号，即sin1=号 故f(行-）=sim(2-2r）=cos2=1 ·数学· 2sin't= 9 14.[o,2e)U(-9}【解标】了(x) (.x+2)e',设切点为(a,(a十1)e),则切线 方程为y-(a+1)e=(a+2)e(x-a), 将点M(1,t)代人切线方程得，t-(a+ 1)e=(a+2)(1-a)e,化简得t= (3-a2)e".设g(a)=(3-a2)e",则 g'(a)=-2ae"+(3-a2)e=-(a2+2a 3)e=-(a+3)(a-1)e,令g'(a)>0,解 得-3<a<1;令g'(a)<0,解得a<-3 或a>1,所以g(a)在(-∞，-3)，(1， +∞)上单调递减，在（一3,1）上单调递增， 且g(-3)=- 6 ,g(1)=2e,作出函 数g(a)的大致图象如图所示， 84 =g(a) -3 ∠01 -6 由图象可知，要使直线y=t与g(a)= (3一a2)e的图象仅有两个交点，则t∈ [o,2ou1- 四、解答题 15.解：1)fx)=5-4sin(z-若)sinx= -4(sinx6os--cosin）sinx 1 2sin x cos x-23 sin'r+3=sin 2x- 23. 1-cos 2x +3 =sin 2x+ 3 cos 2x=2(7 sin 2x+cos 2.r 2sim(2x+5） ·3 答案与解析 所以∫(x)的最小正周期T=2 =元.(5分) (2)因为x1∈[0，】所以2x1+号∈[行 1 所以sn(2x,+)∈[21小，所以 f(x)∈[1,2]. (7分) 因为x,∈[0，]，所以2x:-君∈[- ]所以cos2z:-)∈[2小9分) 又m>0,所以g(x2)=3-2m十 mos2-）e3-73-m小 (11分) 假设存在m满足对任意的x,∈[0，]，都 存在x:∈[0，]，使得f(x)=g(x,) 成立， 则f(x)的值域为g(x)值域的子集，所以 包-受≤1“比不等式超无品 3-m≥2， 故满足题意的实数m不存在. (13分) 16.解：（1)设E(x1,一x1+m),D（x2, -x2十m),且x1>0,x2>0,则F(-x1, 一x1十m), (1分) 由|DE|=|EF|得，2x1= √（x1-x2)2+(-x1十m+x2-m) 2(x2-x1),即x2=(W2十1)x1. (2分) 因为f(x)=名(x>0)和g(x)=-x+n 关于y=x对称， 所以x2=一x1十m, (4分)】 所以x1= m (), (5分) 2+√② 区因为点E在∫(x)三（红>0）的图象P 所以x1·(一x1十m)=2,将(*)式代人可 得” 2-2‘( ”十m）=2,解得m= 2+2 22+1. (7分) (2)(1)由。=-x+m可得x2-mx+2= 0,由题意知x2一.x十2=0有两个不相等 的实数根、 所以△='-8>0，解得m>2√2或 m<-22. (9分) 又因为m>0,所以m>2√2. (10分) ()由根与系数的关系得ab=2,(11分) 所以2”·4=2+w≥22=16、（13分) 当且仅当a=2b,即a=2,b=1时，等号成 立，所以2°·4的最小值为16.(15分) 17.解：(1)当a=3时f(x)=- 2r+6.则∫(x)=-x+.x+6= 一(x一3)(x+2),∫(x)随x的变化情况如 表所示 (2分) (-c∞，-2) -2 (-2,3) (3,+o∞) '(.x 0 0 22 f(I) 单调递诚 单调递增 3 单调递诚 (5分) 所以了r)的极大值为号 ∫(x)的极小值 为号 (7分) (2f(x)=-x2+x+2a,因为0<a<2, 所以△>0， 令'(x)=-x2+x+2a=0,得x1= 1-W1+8a 1+√/1+8a (9分) 2 2 所以∫(x)在(-∞，x),(x:,+)上单调 递减，在(x1,x2）上单调递增， (10分) 当0<a<2时，有x1<1<x2<4,所以 ∫(x)在[1,4]上的最大值为∫(x2) 而f(4)-f(1)=8a 6a-<0,故了4<f(, (11分) ·B· 所以(x)在[1,4]上的最小值为∫(4)= 8a-4016 3 3 (12分) 解得a=1.则x2=2, (14分) 故了x)在[1,4]止的最大值为了2-0 (15分) 18.解：1)因为日≤，所以-晋≤2≤ 4tan2x∈[-1.]， (1分) 进而A,=[-3、3]、故A,= =3an2,≤：≤的上确界为8 (4分) (2)(i)由∫(x)=g(x)可得sin(wx+ p)=3cos(w,x+p),故tan(wx十p)=√3， 则wx十9=+k,k∈Z (5分) 设距离最短的两个交点为A(.x∫(.x1), B(x2f(x2). 则a十g=司 +kπ(kEZ),w.x:+9 3 +kπ(k∈7)， 因此ux1一x:=元，即1x1一：= (6分) 由f,)=sin(w,十p=sin(行+x kZf (r:)sin (at:+)=sin(3 kxk∈2， 得/(，)-:)-sm(+- m8五 (7分) 则1AB1= √x1-x:)+f(x)-(x:)下= +3=2. (8分) (9分) ·数学· (i)由题意可得y=sin(x+）十 ico5(x-2)+小=5sin(5x )+3cos(+)=2Jsin( 9 (10分) 所以y=25sin(5x+9)∈[-25w5). 故A2=[-2√3，W3). (12分) 接下来证明√3是A2的上确界， Vy∈A:y≤5， 对任意给定的m>0,若0<m<3,可取 y=5-受∈A,使得y,+m=5+受> 3, (14分) 若m≥3，可取y。=1∈A2,使得y。十m= 1+m>3, 综上可得A2的上确界是】 (17分) 2 19.(1)解：若a=2,则f(x)=x- x -3ln, f'(x)=1+ 23x2-3.x+2 (x>0), (1分) 令f(x)=0,解得x=1或x=2,(2分) 当x变化时，f'(x)和∫(x)的变化情况如 表所示： (0,1) (1,2) (2,+0∞) f'(x) + f(x)单调递增一1 单调递减1一3引n2单调递增 所以f(x)的极大值为f(1)=一1，f(.x)的 极小值为f(2)=1-3ln2. (5分) (2)(i)解：f(x)=1+是 3 ·5 答案与解析 x2-3x+a(x>0), 因为∫(x)有两个极值点x1,x:(x1<x2), 所以x1+x2=3,x1x2=a>0,△=9- 4a>0, 解得0<a<4: 9 所以。的取值范围为(o,号)】 (8分) (1)证明：由(1)知0<<号，因为1+ ,=8,所以2<：<3a=3:- 设g(x2)=x2f(x2)=x号-a-3xlnx2 x-(3x1-x)-3x2ln x2=2x1-3x2- 3,n2<,<3. (11分) 3 令h()=22-3-3lnt,2<1<3, 则h'(t)=4t-3-3-3lnt=4t-6-3ln1, 令m(t)=4t-6-3lnt, 则m')=4-3=-3>0,所以')在 t (受3)上单调递增。 又N(）=-3<0,A'(8)=6- 3ln3>0, (13分) 所以31，∈（受3），使得'，)=4。-6 3In to=0, 3 则h()在(2)上单调递减，在u3)上 单调递增， (15分) 所以h(t)≥h(t。)=2t8-3t。- 3 toln t。=2u6-3。-to(41。-6)=-2t6+ 3,=-2(。-)+号>-2(8-)+ 8=-9. 综上可得x2f(x2)>一9. (17分)