精品解析：广东省广州市白云区平沙培英学校2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025学年第一学期初三期中教育教学评价 数学问卷 满分：120分 用时：120分钟 第I卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A. B. C. D. 7. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 8. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 9. 已知二次函数y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，n），B（6，n）且当x＝1时，y＞0，若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 10. 如图，正方形的边长为，将正方形绕点逆时针旋转角（）得到正方形，连接，当点恰好落在线段上时，线段的长度是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标是________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 14. 如图，A、B、C 是上三点，，则＝_______． 15. 如图，抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集为__________． 16. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，求证：． 19. 已知二次函数． （1）用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； （2）用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 20. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 21. 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． （1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 22. 如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 综合与实践 驱动任务：跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动，不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力，单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈，学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高米的小华同学从乙持绳手的左侧距离乙处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务1：（1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． 任务2：（2）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/ 24. 如图①，在正方形中，点分别在边上，连结，，将绕点顺时针旋转90°，点与点重合，得到，易证：，从而得， 【实践探究】 （1）在图①条件下，补全图形，若，求正方形的边长， （2）如图②，点分别在边上，且，点分别在上，，连接，猜想三条线段之间满足的数量关系，并说明理由， 25. 如图1，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，经过点的直线交该抛物线于另一点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，当点与点重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点，连接，交直线于点．是否存在点使？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由； （3）如图3，经过点不同于的另一直线交该抛物线于另一点．当均为轴上方抛物线上的两点（点在点的左边）时，直线与轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点在直线上，若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初三期中教育教学评价 数学问卷 满分：120分 用时：120分钟 第I卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 3. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是， 故选：C． 4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据流感传染模型，起始1人患病，每轮传染中每人传染x人，两轮后总患病人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，根据题意得， ∵ 起始患病人数为1， 第一轮后患病人数为：， 第二轮后患病人数为：， 又∵ 两轮后总患病人数为49， ∴ ， 故选：B． 5. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，属于基础题，解题的关键是理解一元二次方程的解，并能将其代入方程得到代数式的值． 利用方程根的定义，将已知方程代入所求表达式直接计算． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∴ ． 故选：B． 6. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， ∴方程的一个近似根x的范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 7. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 8. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 9. 已知二次函数y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，n），B（6，n）且当x＝1时，y＞0，若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线x＝2，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点M、N、P到直线x＝2的距离大小得到对应函数值的大小． 【详解】解：∵经过点A（﹣2，n），B（6，n）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵当x＝1时，y＞0， ∴抛物线开口向下， ∵点N（﹣1，y2）到直线x＝2的距离最近，点P（7，y3）到直线x＝2的距离最远， ∴y3＜y1＜y2. 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标就是解方程ax2+bx+c=0．也考查了二次函数的性质． 10. 如图，正方形的边长为，将正方形绕点逆时针旋转角（）得到正方形，连接，当点恰好落在线段上时，线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于，则，将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，所以，，，根据勾股定理得到的长，从而得到 【详解】解：如图，连接，过点作于，则， 将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，点恰好落在线段上， ，，， ，， 在中，由勾股定理得： ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造特殊三角形． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据在y轴上的点的横坐标为0，即把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，令，则， 即抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特征，点P和点Q的横坐标、纵坐标分别互为相反数，进行求解即可． 【详解】因为点与点关于原点对称， 所以，． 因此． 故答案为：． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，以及绝对值，利用一元二次方程的定义判断即可，利用一元二次方程的定义判断即可 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， ∴， 故答案为： 14. 如图，A、B、C 是上三点，，则＝_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．在优弧上取点D，连结，设，则，利用四边形内角和为列方程计算即可． 【详解】解：在优弧上取点D，连结，设， 则， ∵，且四边形内角和为 解得：， ． 故答案为：． 15. 如图，抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意得出：当时，则，进而结合函数图象得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得出： 当时，则， 由图象可得：关于的不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键． 16. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题的关键． 从抛物线开口向下得，对称轴得，与轴正半轴交点得，故，①错误；由对称轴，得，代入后，结合，故②正确；当时，二次函数最大值为，即对任意实数，，两边减得，即，故③正确；联立抛物线与直线方程，得的横坐标为；结合对称轴得，再由 “横坐标小于” 和，推导得，故④正确． 【详解】解：①：∵抛物线开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ②：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②正确； ③：由抛物线图像可知：当时，二次函数最大值为， ∴当取全体实数时，， ∴，即，故③正确； ④：联立， 化简得， ∴或， 即点的横坐标为， ∵， ∴， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴， ∵， ∴，即， 解得，故④正确； 综上，正确的有：②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 解得：． 18. 如图，在中，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了同圆或等圆中等弧所对的弦相等．熟练掌握弧与弦的关系是解题的关键． 根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等进行证明即可． 【详解】略 19. 已知二次函数． （1）用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； （2）用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）描点，连线如图： 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图像问题，关键是掌握画图的方法． （1）把函数解析式用配方法化为顶点式即可解答； （2）用列表，描点，连线作出图像即可． 【小问1详解】 解：， 所以，顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：列表： x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 1 4 5 4 1 -4 …… 20. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 【答案】（1）证明：∵△=[-（m+1）]2-4×2（m-1）=m2-6m+9=（m-3）2≥0， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）4和2 【解析】 【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(m-3)2⩾0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根； (2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1） 略 （2）若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16-4（m+1）+2（m-1）=0， 解得：m=5， ∴原方程为x2-6x+8=0， 解得：x1=2，x2=4． 组成三角形的三边长度为2、4、4； 若底边长为4，则此方程有两个相等实数根， ∴△=0，即m=3， 此时方程为x2-4x+4=0， 解得：x1=x2=2， 由于2+2=4，不能构成三角形，舍去； 所以三角形另外两边长度为4和2． 【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ⩾0时，方程有实数根”；(2) 分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解． 21. 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． （1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）24元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后商品的价格从144元变为81元建立方程求解即可； （2）设每件降价m元，每天的利润为W元，根据每天的利润等于每件商品的利润乘以销售量列出W关于m的二次函数关系式，再求出m的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件降价m元，每天的利润为W元， 由题意得， ， ∵该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随m增大而增大， ∴当时，W有最大值， 答：每件应降价24元才能使每天获得的利润最大． 22. 如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到，再根据圆周角定理得出，进而得到，即可求证； （2）由题意可得，，证明，得到，进而得到，再证明，推出，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合问题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，找到边长之间的关系以及角之间的关系是解题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 综合与实践 驱动任务：跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动，不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力，单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈，学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高米的小华同学从乙持绳手的左侧距离乙处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务1：（1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． 任务2：（2）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/ 【答案】；顶点坐标为；（2）：能；距离两侧持绳手处分别为1、4号；距离两侧持绳手处分别为2、5号；距离两侧持绳手处分别为7、8号；距离两侧持绳手处分别为3、6号；最中间的是9号（方案不唯一） 【解析】 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由自变量的值求出函数值，再比较便可． 【详解】（1）解：绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 根据题意，抛物线经过点，且过点即，把三个点代入表达式得： ， 解得， 绳子所对应的抛物线解析式为：， ∵， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少，则首尾两位同学的距离是， 最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是， 当时，， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 此时绳子能顺利地甩过所有队员的头顶； 队列安排方案可以为：距离两侧持绳手处分别为1、4号；距离两侧持绳手处分别为2、5号；距离两侧持绳手处分别为7、8号；距离两侧持绳手处分别为3、6号；最中间的是9号（方案不唯一）． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题． 24. 如图①，在正方形中，点分别在边上，连结，，将绕点顺时针旋转90°，点与点重合，得到，易证：，从而得， 【实践探究】 （1）在图①条件下，补全图形，若，求正方形的边长， （2）如图②，点分别在边上，且，点分别在上，，连接，猜想三条线段之间满足的数量关系，并说明理由， 【答案】（1） 补全图形，如下： 12 （2） 解：三条线段之间满足的数量关系为； 理由如下： 如图②， 过点D作，且，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，证明，从而得，则可得，从而可求得正方形的边长； （2）过点D作，且，连接，可证明，则可得；再证明，可得，在中，由勾股定理即可得三条线段之间满足的数量关系； 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴E、B、N在同一直线上， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即正方形的边长为12，； 故答案为：12； 【小问2详解】 略 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，综合性较强，证明三角形全等是关键． 25. 如图1，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，经过点的直线交该抛物线于另一点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，当点与点重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点，连接，交直线于点．是否存在点使？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由； （3）如图3，经过点不同于的另一直线交该抛物线于另一点．当均为轴上方抛物线上的两点（点在点的左边）时，直线与轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点在直线上，若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在点使，理由如下： 设直线的表达式为， 将代入中得， 解得， ∴直线的表达式为； 设点D的坐标为，过点D作轴交于点H， ∴点H的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不存在点使； （3）存在定点在直线上，点Q的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为，设点D的坐标为，过点D作轴交于点H，可得点H的坐标为，求解，则可求出的最大值，证明，可得，据此可得结论； （3）如图，设点E的坐标为，点F的坐标为，设直线的表达式为，直线的表达式为，求解直线的表达式为，直线的表达式为，可得，设直线的表达式为，求解直线的表达式为，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设点E的坐标为，点F的坐标为， 设直线的表达式为，直线的表达式为， 将代入中得， 解得， ∴直线的表达式为， 将代入中，得， 解得，， ∴直线的表达式为， 在中，当时，， ∴, ∴， 同理可得， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入中，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴， ∴ ， ∵当时，为， ∴直线过定点， ∴存在定点在直线上，点Q的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合，本题的难度大，细心的计算，选择合适的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $