广东省广州市白云区平沙培英学校2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025学年第一学期初三期中教育教学评价 数学问卷 满分：120分 用时：120分钟 第I卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A. B. C. D. 7. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 8. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 9. 已知二次函数y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，n），B（6，n）且当x＝1时，y＞0，若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 10. 如图，正方形的边长为，将正方形绕点逆时针旋转角（）得到正方形，连接，当点恰好落在线段上时，线段的长度是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标是________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 14. 如图，A、B、C 是上三点，，则＝_______． 15. 如图，抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集为__________． 16. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，求证：． 19. 已知二次函数． （1）用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； （2）用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 20. 已知关于的方程 （）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 21. 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件144元，进货价每件74元． （1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件，经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件，物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于120元，且不高于140元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 22. 如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 综合与实践 驱动任务：跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动，不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力，单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈，学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高米的小华同学从乙持绳手的左侧距离乙处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务1：（1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． 任务2：（2）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/ 24. 如图①，在正方形中，点分别在边上，连结，，将绕点顺时针旋转90°，点与点重合，得到，易证：，从而得， 【实践探究】 （1）在图①条件下，补全图形，若，求正方形的边长， （2）如图②，点分别在边上，且，点分别在上，，连接，猜想三条线段之间满足的数量关系，并说明理由， 25. 如图1，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，经过点的直线交该抛物线于另一点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图2，当点与点重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点，连接，交直线于点．是否存在点使？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由； （3）如图3，经过点不同于的另一直线交该抛物线于另一点．当均为轴上方抛物线上的两点（点在点的左边）时，直线与轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点在直线上，若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 2025学年第一学期初三期中教育教学评价 数学问卷 满分：120分 用时：120分钟 第I卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】##度 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 【17题答案】 【答案】（1） （2）， 【18题答案】 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【19题答案】 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）描点，连线如图： 【20题答案】 【答案】（1）证明：∵△=[-（m+1）]2-4×2（m-1）=m2-6m+9=（m-3）2≥0， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）4和2 【21题答案】 【答案】（1） （2）24元 【22题答案】 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【23题答案】 【答案】；顶点坐标为；（2）：能；距离两侧持绳手处分别为1、4号；距离两侧持绳手处分别为2、5号；距离两侧持绳手处分别为7、8号；距离两侧持绳手处分别为3、6号；最中间的是9号（方案不唯一） 【24题答案】 【答案】（1） 补全图形，如下： 12 （2） 解：三条线段之间满足的数量关系为； 理由如下： 如图②， 过点D作，且，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即． 【25题答案】 【答案】（1） （2）不存在点使，理由如下： 设直线的表达式为， 将代入中得， 解得， ∴直线的表达式为； 设点D的坐标为，过点D作轴交于点H， ∴点H的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不存在点使； （3）存在定点在直线上，点Q的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $