精品解析：江苏省泰州市海陵区泰州市民兴中英文学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

泰州市民兴中英文学校2025年秋学期九年级期中考试数学试题 （考试时间：150分钟 满分：150分） 注意：所有答案必须填写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每题有且只有一个正确答案．） 1. 若是方程的一个根，则m的值为（　　） A. B. 2 C. D. 6 2. 为了解决人民群众买药贵问题，某市政府为民办实事将某药品经过两次降价，每盒零售价由100元降为81元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A B. C. D. 3. 下列说法中正确的说法有（　　）个． ①平面上三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，为延长线上一点，，点为的中点，连接交于点，则等于（　　） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：6 D. 1：12 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 如图，，，，，则的长为 _____________ ． 8. 点是线段的黄金分割点，且，，则的长为________． 9. 如图，已知，请添加一个条件______，使得． 10. 如图，中，，I为重心，则__________． 11. 一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为__________． 12. 如图，中，，，．在边上，以为圆心、为半径的与边相切，则半径__________ ． 13. 如图，四边形内接于，，延长至，，则度数为___． 14. 已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 15. 如图，正五边形的边，与分别相切于点M，N，点P在上，连接，则的度数为 ________ ． 16. 如图，在中，，，点E是上的一动点，连接，，垂足为，连接，则的长的最小值是______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： （1）小昊的解法从第_______步开始出现错误； （2）此题的正确结果是_______． （3）用因式分解法解方程：． 18. 小明在校级篮球联赛中表现优异，下面是他分别与A队和B队各四场比赛中的技术统计． 场次 对阵A队 对阵B队 得分/分 篮板/个 助攻/次 得分/分 篮板/个 助攻/次 第一场 21 10 5 25 16 2 第二场 29 10 5 28 15 5 第三场 24 14 4 17 12 4 第四场 26 10 6 22 9 5 平均数 25 11 5 23 13 4 （1）分别求小明在与A队、B队的比赛中得分的方差，并判断他在对阵哪一个队时得分比较稳定？ （2）如果规定：将平均每场得分、平均每场篮板、平均每场助攻按的比例计算“综合指标”，且综合指标越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较小明在对阵哪一个队时表现更好？ 19. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 20. 如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 苏超比赛泰州足球队在不被看好的情况下，一路过关斩将入决赛并问鼎冠军，充分彰显了泰州人民的“三个不相信”精神，也带来了泰州旅游知名度的攀升．某纪念品店每天可以销售某纪念品40个，每个盈利45元，若每个降价1元，则每天可多售出4个，如果每天要盈利3000元，又要使游客感到实惠，则每个应降价多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是． （1）外接圆的圆心坐标为______，外接圆的面积是_______． （2）只用直尺在边上找一点P使得．(保留作图痕迹） 23. 如图，直径，为上一点，且，． （1）求的弧长及阴影部分面积； （2）请用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使得．(两种工具各只用一次） 24. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． （1）下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． （2）若是“好根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 25. 如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． （1）若，求证：是⊙的切线； （2）若是的中点，且，，求的长． 26. 概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为 ______． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为10，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长= ______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰州市民兴中英文学校2025年秋学期九年级期中考试数学试题 （考试时间：150分钟 满分：150分） 注意：所有答案必须填写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每题有且只有一个正确答案．） 1. 若是方程的一个根，则m的值为（　　） A. B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是满足方程未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ 将代入方程得，解得：． 故选C． 2. 为了解决人民群众买药贵问题，某市政府为民办实事将某药品经过两次降价，每盒零售价由100元降为81元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系． 根据题意经过一次降价后的价格为元，经过两次降价后的价格为元，据此列出方程即可． 【详解】解：初始价格为100元，平均每次降价的百分率为， 则经过一次降价后的价格为元，经过两次降价后的价格为元． 根据题意，两次降价后价格为81元，因此方程为． 故选：B． 3. 下列说法中正确的说法有（　　）个． ①平面上三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弧的关系以及垂径定理．根据圆的基本性质判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①平面上三点不一定确定一个圆（只有当三点不共线时才能确定一个圆），故①错误； ②长度相等的两条弧不一定是等弧（等弧要求能够完全重合，即长度相等且所在圆半径相等），故②错误； ③相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中才成立，故③错误； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧（垂径定理），故④正确； ∴正确说法有1个． 故选：A． 4. 如图，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 由相似三角形的性质可得，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 5. 如图，是的直径，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，如图，利用圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数即可． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 故选：D． 6. 如图，在平行四边形中，为延长线上一点，，点为的中点，连接交于点，则等于（　　） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：6 D. 1：12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关性质，确定出面积之间的关系． 根据题意可得，，，从而得到，且，得到，设，则，连接，可得，即，则，即可求解． 【详解】解：平行四边形中，，， 又∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则，连接，如下图： 则， 由题意可得，， ∴， 故选：B 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 如图，，，，，则的长为 _____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理． 根据得到，代入数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 点是线段的黄金分割点，且，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金分割比是关键．根据黄金分割点的定义解答，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点，， 设， ， ， ， ， ，（舍去）， ， 故答案为：． 9. 如图，已知，请添加一个条件______，使得． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 10. 如图，中，，I为重心，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，掌握三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键． 如图：延长交于D，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可． 【详解】解：如图：延长交于D， ∵I为重心， ∴是的中线，，即 ∵， ， ∴． 故答案为：． 11. 一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式（L为底面圆的周长，R为圆锥的母线长度）成为解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴底面圆的周长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 12. 如图，中，，，．在边上，以为圆心、为半径的与边相切，则半径__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相切的性质，勾股定理，三角形全等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作垂线，交于点，根据相切的性质可得点即为切点，进而证明，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作垂线，交于点，连接， ∵为半径的与边相切，， ∴点即为切点，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于，，延长至，，则的度数为___． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，解题的关键是能熟记圆内接四边形的对角互补． 根据邻补角互补求出，根据圆内接四边形的性质得出，求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 15. 如图，正五边形的边，与分别相切于点M，N，点P在上，连接，则的度数为 ________ ． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，熟练掌握切线性质、圆的内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 如图：连接、，在优弧上取一点Q，连接、，先根据正五边形内角和公式求得，再利用切线的性质和四边形内角和定理求得，然后利用圆周角定理得到，最后利用圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接、，在优弧上取一点Q，连接、， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的边，与分别相切于点M，N， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点E是上的一动点，连接，，垂足为，连接，则的长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，取的中点，过点作于点，连接，先分别求出的长，再根据（当且仅当，点共线时，等号成立）求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，过点作于点，连接， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，点为的中点，且， ∴， 由三角形的三边关系、两点之间线段最短可知，（当且仅当，点共线时，等号成立）， ∴， ∴的长的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形的性质、二次根式的应用等知识，正确找出的值最小时，点的位置是解题关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： （1）小昊的解法从第_______步开始出现错误； （2）此题的正确结果是_______． （3）用因式分解法解方程：． 【答案】（1）一 （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：小昊的解法从第一步开始出现错误； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，； 【小问3详解】 解： ∴或 ∴，． 18. 小明在校级篮球联赛中表现优异，下面是他分别与A队和B队各四场比赛中的技术统计． 场次 对阵A队 对阵B队 得分/分 篮板/个 助攻/次 得分/分 篮板/个 助攻/次 第一场 21 10 5 25 16 2 第二场 29 10 5 28 15 5 第三场 24 14 4 17 12 4 第四场 26 10 6 22 9 5 平均数 25 11 5 23 13 4 （1）分别求小明在与A队、B队的比赛中得分的方差，并判断他在对阵哪一个队时得分比较稳定？ （2）如果规定：将平均每场得分、平均每场篮板、平均每场助攻按的比例计算“综合指标”，且综合指标越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较小明在对阵哪一个队时表现更好？ 【答案】（1）对阵A队的得分比较稳定； （2）对阵A队的表现更好． 【解析】 【分析】本题主要考查了方差和加权平均数，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据方差定义直接解即可，然后根据方差越小越稳定进行判断； （2）利用加权平均数分别求出对阵A队和B队时的综合指标，在进行比较即可． 【小问1详解】 解：（分）， （分）， ∵， ∴对阵A队的得分比较稳定； 【小问2详解】 解：对阵A队综合指标：， 对阵B队综合指标：， ∵， ∴对阵A队的表现更好． 19. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解法． （1）对于方程，其根的判别式为，因为恒成立，所以恒成立，即证； （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，根据该方程的两个实数根的差为，可得，即，由完全平方公式可得，，再将，代入计算即可解答． 【小问1详解】 证明：因为， 所以不论取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得， ，， 两根之差为，则， 又， ， 即， ， ． 20. 如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，据此即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，再结合D是的中点可得，进而完成解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 又∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 苏超比赛泰州足球队在不被看好的情况下，一路过关斩将入决赛并问鼎冠军，充分彰显了泰州人民的“三个不相信”精神，也带来了泰州旅游知名度的攀升．某纪念品店每天可以销售某纪念品40个，每个盈利45元，若每个降价1元，则每天可多售出4个，如果每天要盈利3000元，又要使游客感到实惠，则每个应降价多少元？ 【答案】每个应降价20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设每件降价为x元，则该纪念品店销售了这种商品个，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每件降价为x元，则该纪念品店销售了这种商品个， 根据题意得：， 解得：，， 因为要使游客感到实惠， 所以． 答：如果每天要盈利3000元，又要使游客感到实惠，则每个应降价价20元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是． （1）外接圆的圆心坐标为______，外接圆的面积是_______． （2）只用直尺在边上找一点P使得．(保留作图痕迹） 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、垂直平分线的性质、格点作图、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：先作的垂直平分线相交于点P，即可确定点P的坐标；再运用勾股定理求得圆的半径的长，再根据圆的面积公式求解即可； （2）如图：取格点H，连接，取与格线的交点为I、K，过I、K作直线与的交点即为所求的点P． 【小问1详解】 解：如图：作的垂直平分线相交于点P，则， ∴ ∴外接圆的面积是． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：如图：取格点H，连接，取与格线的交点为I、K，过I、K作直线与的交点即为所求的点P． 证明：由作图过程可知：点H为延长线上的一点，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 23. 如图，为直径，为上一点，且，． （1）求的弧长及阴影部分面积； （2）请用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使得．(两种工具各只用一次） 【答案】（1）的弧长为，阴影部分的面积为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，不规则图形的面积的求法，尺规作图，将不规则图形的面积转换为扇形面积和三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）连接，先判定是等边三角形，再利用弧长公式，以及将阴影部分的面积转换为扇形面积和三角形面积的相关计算，即可求出答案； （2）利用尺规作图的方法，在圆上截取弧等于弧，连接，根据垂径定理的推论，可得垂直平分，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可判定． 【小问1详解】 解：如图， 连接， 为直径，， ，． ， ，． 又， 是等边三角形， 边上的高为：， ． 的弧长为：， ， 阴影部分面积为：． 答：的弧长为，阴影部分的面积为． 小问2详解】 解：如图，点即为所求． 24. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． （1）下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． （2）若是“好根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】（1）①③ （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． 【小问2详解】 解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． 【小问3详解】 解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 25. 如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． （1）若，求证：是⊙的切线； （2）若是的中点，且，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理，掌握切线的判定方法、勾股定理、垂径定理是正确解答的关键． （1）根据，证明直线是垂直平分线，再由平行线的性质证明即可； （2）由垂径定理得到，再用勾股定理求出，设，则，再用勾股定理列出关于的方程，最后证明即可求解的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，，连接并延长交于， ， 直线是的垂直平分线， 直线． ， ． 是⊙的半径， 是⊙的切线； 【小问2详解】 解：连接，交于点，连接，， 是的中点， ， ． 在中，，， ， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 即，解得，即半径为10． ， ， ， ， ， ． 26. 【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为 ______． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为10，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长= ______． 【答案】（1）见解析；（2）或或或；（3）的长度为或或 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质等知识点，理解弦切角的以以及分类讨论思想是解题的关键． （1）如图：连接并延长交于点F，连接，则为的直径，由圆周角定理和切线的性质可得、，根据等角的余角相等可得，再根据圆周角定理以及等量代换即可解答； （2）分点E在优弧上且、点E在优弧上且、点E在优弧上且、点E在劣弧上且四种情况，分别根据弦切角的性质等腰三角形的性质求解即可； （3）由题意可分①当与相切，平分一组对角时；②当与相切，平分一组对角时；③当DC与相切，BD平分一组对角时；④当与相切，平分一组对角时四种情况，分别利用弦切角性质、相似三角形的判定与性质等知识点解答即可． 【详解】（1）证明：如图：连接并延长交于点F，连接，则为的直径， ∴， ∴． ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）解：①如图：点E在优弧上且时， ∵与相切于点C，是⊙O的弦， ∴． ∵， ∴； ②如图，点E在优弧上且时， ∵与相切于点C，是⊙O的弦， ∴． ∵， ∴． ③如图，点E在优弧上且时， ∵与相切于点C，是⊙O的弦， ∴． ∵， ∴， ∴． ④如图，点E在劣弧上且时，在优弧上任取一点F，连接， ∵与相切于点C，是⊙O的弦， ∴． ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上，的度数为或或或． （3）解：的长度为或或．理由如下： ①如图，当与相切，平分一组对角时，则， ∵与相切， ∴， ∴， ∴． 如图：过点C作，连接，则， ∴经过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ②当与相切，平分一组对角时，如图， 同①可证：， ∴四边形关于轴对称，，， ∴经过圆心O， 如图：连接交于点F，连接，则， 设，则， ∵， ∴，解得：． ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴； ③如图，当与相切，平分一组对角时， 同②可求； ④如图，当与相切，平分一组对角时，则， ∵与相切， ∴， ∴， ∴． 如图：作于点E，过点O作于点F，则，， ∴经过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 综上，CD的长度为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $