精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二上学期统练三数学试卷

人大附中高二数学 统练三 2025年12月8日 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆：的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 已知点P与共线，则点P的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 4. 设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 6. 对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 14 10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 曲线与曲线的公共点的个数是______． 12. 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________. 13. 若对，直线与双曲线最多有一个公共点，则该曲线的离心率为______． 14. 双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则双曲线的渐近线方程为______． 15. 在平面直角坐标系中， A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 相切，则圆 C 面积的最小值为___ ． 16. 已知曲线． ①若为曲线上一点，则； ②曲线在处的切线斜率为0； ③与曲线有四个交点； ④直线与曲线无公共点当且仅当． 其中所有正确结论的序号是_____________． 三、解答题：本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中高二数学 统练三 2025年12月8日 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆：的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆：， 所以标准方程为， 解得， 因为焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2. 在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点到x轴的距离. 【详解】 在空间直角坐标系中， 过作平面，垂足为，则轴， 在坐标平面内，过作轴，与轴交于， 由，则，， 由，平面，平面， 则轴平面，平面， 则轴，故即点到x轴的距离， 则. 故选：D. 3. 已知点P与共线，则点P的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可. 【详解】设，则， 由三点共线，则，所以， 则. 选项A，，不满足，故A错误； 选项B，，满足，故B正确； 选项C，，不满足，故C错误； 选项D，，不满足，故D错误. 故选：B. 4. 设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可. 【详解】，圆心，半径， 选项A，由直线斜率为，可得动直线为为平行直线系， 圆心到直线的距离， 当或时，，直线与圆不相交，不满足题意，故A错误； 选项B，由直线可化为， 则直线恒过，因为，点在圆外， 故直线不一定与圆相交，故B错误； 选项C，由直线恒过，点在圆上， 当时，直线方程可化为， 此时圆心到直线的距离， 圆与直线相切，不满足题意，故C错误； 选项D，由直线方程可化为， 则直线恒过，且点在圆内，故直线恒与圆相交， 当直线过圆心时，弦长最长，由在直线上， 可得，取到最大值； 如图，取中点，则，圆心到直线的距离 ，当取最大值时，弦长最短， 即当直线与垂直时，弦长最短，由的斜率为 此时直线斜率为，即当时，取到最小值.故D正确. 故选：D. 5. 已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， ∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4， ∴（2，2）在椭圆C：上， ∴， ∵，∴，∴， ∴ ∴椭圆方程为：. 故选D. 考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质. 6. 对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，把表示为的函数，问题转化为对恒成立，结合函数性质可求解． 【详解】， 平方可得：，因为，即，只需，即， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线上点到定点距离最值问题，解题方法是把这个距离用动点的横（或纵）坐标表示，然后问题转化为不等式恒成立，利用不等式恒成立的方法求解． 7. 如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过斜杆与圆盘所成角以及斜杆与特定边的距离，求出渐近线与某一坐标轴的夹角，从而得到渐近线斜率，再根据双曲线标准方程中渐近线斜率与参数的关系，确定合适的双曲线方程. 【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为. 则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率， 双曲线的标准方程为：，可知，所以. 所以双曲线的方程为， 观察选项，只有满足. 故选：B. 8. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据抛物线的标准方程可知焦点，准线方程为， 由抛物线定义可知抛物线的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，，则，， . 9. 双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义及渐近线方程得，，结合均值不等式、对勾函数单调性及的取值范围求最小值即可. 【详解】由一条渐近线方程为得，由双曲线定义可知，，. 要使的值最小，则应尽可能大，应尽可能小，故点M应为双曲线右支上一点，故，即. 故，当且仅当即时等号成立，此时，故取不到等号. 对勾函数在单调递减，在单调递增， ∵，∴，故当时，取得最小值为4. 故选：B. 10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则 所以平面的一个法向量为 因为平面，则 设，则，所以 解得，所以，即 故选:C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 曲线与曲线的公共点的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】联立两曲线方程，消去，得到关于的一元二次方程，解方程并验证即可求解.. 【详解】曲线与曲线联立得： ，即，解得：或, 当时，，解得：， 点也在曲线上，满足条件； 当时，，此方程无解； 综上曲线与曲线的公共点为，即公共点的个数是； 故答案为： 12. 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________. 【答案】或 【解析】 【详解】设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2， 得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|， 若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝ 若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝ ，故曲线Γ的离心率等于或 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 13. 若对，直线与双曲线最多有一个公共点，则该曲线的离心率为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由已知得到关系，代入双曲线方程表示出，得到离心率. 【详解】由得， 因为对，直线与双曲线最多有一个公共点， 所以，即， 所以双曲线方程为， 若双曲线焦点在轴，则标准方程为，所以，， 此时离心率为； 若双曲线焦点在轴，则标准方程为，所以， 此时离心率， 故答案为：或. 14. 双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，计算即可求解. 【详解】由双曲线：，可得左焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即， 则顶点到的距离为， 焦点到的距离为， 由题可得，即， 因为，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 15. 在平面直角坐标系中， A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 相切，则圆 C 面积的最小值为___ ． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，圆心到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上， 则，则，． 点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆，则半径就是圆心到原点的距离，所以圆心到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况． 16. 已知曲线． ①若为曲线上一点，则； ②曲线在处的切线斜率为0； ③与曲线有四个交点； ④直线与曲线无公共点当且仅当． 其中所有正确结论的序号是_____________． 【答案】①② 【解析】 【分析】分、的符号情况化简曲线的方程，从而可画出曲线的图象，结合图象逐一分析即可. 【详解】当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是双曲线的一部分； 当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是椭圆的一部分； 当，时，曲线的方程为 ，曲线不存在； 当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是双曲线的一部分； 双曲线和有一条共同的渐近线， 综上，可作出曲线的图象，如图： 由图象可知曲线的图象上的点都在直线的下方， 所以当在曲线上时，有，故①正确； 设过点的直线的方程是，若直线与椭圆相切， 则由得， ，得； 若直线与双曲线相切， 则由得，则且，得， 此时直线的方程是，与曲线相切，故②正确； 直线是表示与直线平行或重合的直线， 由曲线的图象可知，直线与曲线不可能有四个交点，故③错误； 设直线与椭圆相切，则 由得， 所以，解得，结合曲线的图象，取， 即直线与曲线相切， 所以若直线与曲线无公共点，结合曲线的图象， 或，故④错误. 故答案为：①②. 【点睛】方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值； 2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法. 三、解答题：本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明：选择条件①： （1）因为平面平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. 选择条件②：解法同上 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得点到平面的距离为； （3）设，利用线面角的向量求法解方程即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择条件①： 因为平面，平面， 所以. 又因为， 所以. 因此，即两两垂直. 如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， 所以. 由（1），得，且为棱的中点， 所以点为棱的中点.， 故. 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，即. 所以点到平面的距离. 选择条件②： 因为平面，平面 所以， 又因为与相交，平面， 所以平面，平面， 所以， 即两两垂直. 以为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上； 【小问3详解】 选择条件①： 设， 则. 所以. 设直线与平面所成角为， 所以； 化简得，解得， 即. 选择条件②：解法同上 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由求出，再根据求出，可得结果； （2）设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到与，将化为，即，再结合韦达定理可得对恒成立，从而可得. 【小问1详解】 由题意可知，，解得， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线的方程为， 联立，消去并整理得， 则，得， 设，， 则，， 依题意可得， 因为在，之间，所以，所以, 因为， 所以 得， 得， 得， 将，代入上式并整理得，对恒成立， 所以，即， 故存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有. 【点睛】关键点点睛：利用平面集合知识将化为后，再结合韦达定理求解是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $