精品解析：湖南省永州市李达中学2025-2026学年八年级上学期第一次检测数学试题

八年级10月份课后服务数学练习 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在、、、、、中分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），逐一判断每个表达式是否为分式． 【详解】的分母为，含有字母，是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，含有字母，是分式． 的分母为，含有字母，是分式． 分式有 3 个．故选B． 2. 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否将多项式化为整式的积的形式，且等式成立． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式， A项：右边含有分式，不是整式，所以不是因式分解，故A错误； B项：右边，所以等式不成立，不是因式分解，故B错误； C项：右边，所以等式不成立，不是因式分解，故C错误； D项：右边，与左边相等，且是整式的积，所以是因式分解，故D正确． 故选：D． 3. 如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的 和 都扩大到原来的倍，得到新分式，通过化简并与原分式比较，即可得出值的变化情况，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵和都扩大到原来的倍， ∴新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值缩小到原来的， 故选：． 4. 已知：，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较方法，解答此题的关键要明确：正数大于零，负数小于零，正数永远大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．分别计算，，的值，利用负指数法则，注意指数优先级，利用零指数法则，然后根据实数大小的比较方法，判断出，，大小关系即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 5. 若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键． 直接利用十字相乘解题即可． 【详解】解：∵把多项式分解因式后含有因式， ∴， ∴， 故选：D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式时， D. 无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【详解】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 7. 已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A. ﹣22 B. ﹣1 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可． 【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2， ∴a﹣c＝4， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12， ∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键． 8. 小华一家自驾车去某地旅游，手机导航系统推荐了两条线路，线路①全程90千米，线路②全程110千米，汽车在线路②上行驶的平均时速比线路①上行驶的平均时速快50千米/时，线路②的用时预计比线路①用时少半小时．设汽车在线路①上行驶的平均速度为x千米/时，则可列出正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设线路①的平均速度为千米/时，则线路②的平均速度为千米/时．根据线路①的时间减去线路②的时间等于半小时列出方程即可． 【详解】解：设线路①的平均速度为千米/时，则线路②的平均速度为千米/时，则线路①的时间为小时，线路②的时间为小时． 由题意可得： ． 故选A． 9. 有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 10. 若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ） A. 19 B. 22 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的整数解． 【详解】解：解分式方程可得：，且 ∵解为非负数， ∴得：，即且， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵有3个整数解， ∴，3，4，即 利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得， 综上所述：a的整数值可以取10、12， ∴其和为22， 故选：B 【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为_______． 【答案】克 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：克克， 故答案为：克． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据同底数幂的除法，幂的乘方法则进行计算，即可解答． 【详解】根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，， ，， ． 故答案为2． 13. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除及化简．将除法运算转化为乘法运算，对分子和分母进行因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 14. 已知，分式的值________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，整体代入思想方法，熟练掌握分式的性质是解本题的关键，由已知条件可得，代入所求分式，通过代入和化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，整理得 ， ∴ ． 故答案为：． 15. 已知，则___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则，正确将已知变形进而化简是解题关键．将变形得到，代入分式化简即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：1． 16. 已知，，且，则代数式的值是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，利用平方差公式求出的值，再把化为完全平方式，代入求值即可． 【详解】解：，， ． ∴． ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方式，代数式求值，掌握平方差公式和完全平方式的特点，利用平方差公式求出的值，是解决本题的关键． 17. 已知，那么多项式的值为________. 【答案】#### 【解析】 【分析】先根据式子的特点展开，然后求出的值，再代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘法公式与因式分解的运算和求值的应用，熟练掌握整式的因式分解和整体代入的思想是解题的关键． 18. 已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到规律的值每6个一循环，再求出，由，可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， …， ∴的值每6个一循环， ∵ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每6个一循环是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提公因式，要注意变号，然后利用平方差进行因式分解． 【详解】（1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【答案】；当，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取的值是解题的关键． 根据分式化简求值的步骤和方法进行即可． 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件可知， ∴当取范围内的整数时，只有． ∴当时，原式． 21. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） 无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，注意解分式方程最后要进行检验． （1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可； （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得， 经检验，时，， 原方程无解； 【小问2详解】 解：， ， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得， 经检验，时，， ∴原方程的解为． 22. 已知关于的分式方程 （1）已知，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求的值． 【答案】（1） （2）或6或1 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先把代入分式方程，再方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘，得出①，整理后得出②，再分别把，，代入①求出m，由②得出当时，方程无解，最后代入答案即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即当时，方程的解是； 【小问2详解】 解：， 方程两边都乘，得①， 整理得②， 有三种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第二种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第三种情况：②， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是或6或1． 23. 2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． （1）求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． （2）航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 【答案】（1）A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模型的单价为900元 （2）有3种购买方案：①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架；②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架；③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，根据用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架，根据购买费用18000元，列出方程，得出答案即可． 【小问1详解】 解：设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，由题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：A款无人机模型的单价为1 500元，B款无人机模型的单价为900元． 【小问2详解】 解：设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架．由题意得： ， 整理得：， ∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架； ②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架； ③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架． 24. 阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 （1）利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________ ②________ （2）结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①； ②． 【答案】（1）①，② （2）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式，阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式是解题的关键． （1）①设实数m，n，根据题意列方程，即可求解；②先提取2，设实数m，n，根据题意列方程，即可求解． （2）①令，再用十字相乘法因式分解，再将A代入即可求解；②令，再用十字相乘法因式分解，再将B代入，再用十字相乘法对因式进行一次因式分解，即可求解． 【小问1详解】 ①设存在实数m，n，使得，解得， 则； ②， 设存在实数m，n，使得，解得， 则． 【小问2详解】 ①令， 故， 将代入得． ②， 令， 则， 将代入，得． 25. 通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）代数式有最____（填“大”或“小”）值，值为____ （2）若与，判断、的大小关系，并说明理由； （3）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）大， （2） 解：，理由如下： ，， ， ，， ， ； （3）时，有最小值为16． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：， 当时，有最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：大，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 26. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 【答案】（1）C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1 （2），5 （3）11或3 【解析】 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是2的因数，而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【小问1详解】 解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， ，  是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1； 【小问2详解】 解：关于的“雅中值”是， ， ， ； ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， ， 的值为：0，2，3， ； 【小问3详解】 解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立：  ， 消去可得：，即， ，  、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为11或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级10月份课后服务数学练习 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在、、、、、中分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的倍 4. 已知：，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 8 6. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式时， D. 无论x为何值，的值总为正数 7. 已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A. ﹣22 B. ﹣1 C. 7 D. 11 8. 小华一家自驾车去某地旅游，手机导航系统推荐了两条线路，线路①全程90千米，线路②全程110千米，汽车在线路②上行驶的平均时速比线路①上行驶的平均时速快50千米/时，线路②的用时预计比线路①用时少半小时．设汽车在线路①上行驶的平均速度为x千米/时，则可列出正确方程为（ ） A. B. C. D. 9. 有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ） A. 19 B. 22 C. 30 D. 33 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为_______． 12. 已知，，则的值为________． 13. 化简：________． 14. 已知，分式的值________ ． 15. 已知，则___． 16. 已知，，且，则代数式的值是______ ． 17. 已知，那么多项式的值为________. 18. 已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1） （2）． 20. 先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 21. 解分式方程： （1） （2） 22. 已知关于的分式方程 （1）已知，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求的值． 23. 2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． （1）求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． （2）航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 24. 阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 （1）利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________ ②________ （2）结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①； ②． 25. 通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）代数式有最____（填“大”或“小”）值，值为____ （2）若与，判断、的大小关系，并说明理由； （3）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 26. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $