第1章勾股定理（单元测试·培优卷）数学北师大版2024八年级上册

画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第1章勾股定理培优卷（参考答案） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 12 3 4 5 6 8 9 10 B C A D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.4.55. 12.3 13.1.23 15.15. 16.15 14.12.0.3.0或0 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：猜想a2+b2<c2；…(2分 (2)证明：过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,设CD=x, D B 则：BD=a+x, 在Rt△ACD中，AD2=b2-x2, 在Rt△ABD中，（a+x)+b2-x2=c2, 1/7 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a2+b2=c2-2ax, a>0,x>0, ∴2ax>0, .a2+b2=c2-2ax<c2; 故猜想正确.…(8分 18.(8分) (1)证明：：AD,BE是ABC的高线， :∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°， ∠BFD=∠AFE, .∠DBF=∠CAD, 在△ACD和△BFD中， ∠DBF=∠CAD BD=AD ∠BDF=∠ADC △BFD≌△4CD(ASA,…(4分) :BF=AC; (2)解：：△ACD≌△BFD,CD=3, .FD=CD=3,BF=AC .AF=1 :AD =BD =4 .BF=AC=VAD2+CD2=V42+32=5, BC=BD+CD=7, 3c-x8Cx1D=×7x4=14…（8分) 19.(9分) 【详解】(1)证明：：AC2+BC2=64+36=100,AB2=100, .AC2+BC2=AB2, ABC是一个直角三角形；…(4分) (2)解：根据翻折的性质得，BE=AE,假设BE=AE=x,则CE=AC-AE=8-x, 由勾股定理得，BE2=CE2+BC2, 2/7 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即x2=(8-x)2+62 解得x=2 B的长为2 ·…(9分) 19.(9分) 【详解】(1)解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作CD⊥AB于D, D B CA =150km,CB 200km,AB =250km CA2+CB2=1502+2002=62500,AB2=2502=62500, .CA2+CB2 =AB2, ∠ACB=90°， 5.we-ZAC.BC-ABCD, 1 :CD=4C:BC_150x200-120km, AB 250 .120<130, 海港C受台风影响；…4分) (2)解：如图所示，在线段AB上取两点E、F,使得CE=CF=130km,连接CE,CF, AEDF B 在RtaCED中，由勾股定理得DE=VCE2-CD2=V1302-1202=50km, 在Rt△CDF中，由勾股定理得CF=VCF2-CD2=V1302-1202=50km, ∴.EF=DE+DF=100km, :台风中心移动的速度为20kmh,且100÷20=5， ∴.台风影响海港C持续的时间有5h, 答：台风影响海港C持续的时间有5h·…(9分) 3/7 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.(9分)》 【详解】(1)解：如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E, E 图1 则AE=BD=8米，AB=DE=1.5米，∠AEC=90°， .CE=VAC2-AE2=6(米)， .CD=CE+DE=6+1.5=7.5(米)；…(4分) (2)能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长DC至点F,连接AF, E B D 图2 则CF=9米， .EF=CE+CF=6+9=15(米)， .AF=VAE2+EF2=17(米)， AC=10米，余线仅剩7.5米， .10+7.5=17.5>17, 能上升9米，即能成功.…(9分) 22.(9分) 【详解】(1)解：：在ABC中，LA=90°，AB=3,BC=5, 4/7 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴AC=VBC2-AB2=4, 如图，记AC,EF的交点为P,连接BP, E 图2 :EF垂直平分BC, B、C关于EF对称， .PB=PC, .AP+BP=AP+PC=AC,此时AP+BP的值最小，最小值为4.…(4分) (2)解：先画点M关于直线AB的对称点M',射线NM'与直线AB的交点即为点P. M B 图3 理由如下： :由作图可得：AB是MM'的垂直平分线， .AB⊥MM',PM=PM', .∠MPB=∠NPB. 故答案为：先画点M关于直线AB的对称点M',射线NM'与直线AB的交点即为点P.…(9分) 23.(10分) 【详解11)证易：由圆图，可知5cS。ac+5m8CAr+兮CD8CD-, 2 Samume Suea. 因为S四边形ABCD=S梯形AEDC+S,BED, 所以c2-b+ab+a-b1a. 2 所以c=+5ab+a-b, 1, 2 22 2”2 所以a2+b2=c2.…(3分) 5/7 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)由题图，可知Sc=4×4- ◆>x3×4一)×3x4 2x1x1 2’BC=V32+42=5. 所以8ar号Ch 5h=2' 5.7 2 7 解得h三子…(6分） (3)解：在Rt△4BD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=52-x2=25-x2. 由题意，得CD=BC-BD=7-x. 在R1aACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2=62-(7-x2=-13+14x-x2. 所以25-x2=-13+14x-x2, 19 解得：x= …（10分)》 7 24.(10分) 【详解】(1)解：：AB=5,BC=4, .AC=VAB2+BC2=V25+16=√41， :将△BCQ沿直线CQ翻折至B'CQ的位置（点B落在点B处）. .B'C=BC=4, .AB′=AC-B'C=V41-4, 故答案为：√41-4；…(2分) (2)解：：DC∥AB, .∠DCA=∠BAC, :将△BCQ沿直线CQ翻折至B'CQ的位置（点B落在点B处）. :∠B'AC=∠BAC, ∠DCA=LB'AC, :AE=EC, AE2=AD2+DE2, EC2=16+(5-EC)2, EC=4 0 :单爱部分<阴影)的面积4×骨一号，（5分》 14141 (3)解：当B在线段DQ上时， 6/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图3 .将△BCQ沿直线CQ翻折至B'CQ的位置，·B'C=BC=4,∠B=∠CB'Q=90°，BQ=B'Q, ∠DB'C=90°， .DB=VDC2-B'C2=V25-16=3, DQ=AD2+AQ2,即：(3+BQ)2=16+(5-BQ2,解得：BQ=2; 当点D在线段B'Q上时， B' 0 A 图4 :将△BCQ沿直线C2翻折至B'CQ的位置， B'C=BC=4,∠B=∠CB'Q=90°，BQ=B'Q, ∴.∠DB'C=90°， .DB=VDC2-B'C2=V25-16=3, DO2=AD2+A02, (B0-3)2=16+(BQ-5)2, B0=8; 综上所述：BQ的长为2或8.…(10分) 7/7 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第1章 勾股定理·培优卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 3．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 5．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 7．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 8．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　） A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 12．在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有 个． 13．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则 ． 14．在中，于点，，，，，点是线段上一动点，分别过点，作直线的垂线，垂足为，，则的最大值为 ． 15．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为、、，，点为正半轴上一个动点，请写出所有能使为等腰三角形的点坐标 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 18．（8分）如图，，是的高线，，交于点F，且． (1)证明：； (2)若，，求的长和的面积． 19．（9分）如图，在中，，现将沿折叠，使顶点A恰好与顶点B重合． (1)求证是一个直角三角形； (2)求的长． 19．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 21．（9分）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 22．（9分）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： (1)如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； (2)如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 23．（10分）综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 24．（10分）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 试卷第6页，共27页 学科网（北京）股份有限公司1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第1章 勾股定理·培优卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 3．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 5．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 7．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 8．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　）A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 12．在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有 个． 13．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则 ． 15．在中，于点，，，，，点是线段上一动点，分别过点，作直线的垂线，垂足为，，则的最大值为 ． 16．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为、、，，点为正半轴上一个动点，请写出所有能使为等腰三角形的点坐标 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 18．（8分）如图，，是的高线，，交于点F，且． (1)证明：； (2)若，，求的长和的面积． 19．（9分）如图，在中，，现将沿折叠，使顶点A恰好与顶点B重合． (1)求证是一个直角三角形； (2)求的长． 19．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 21．（9分）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 22．（9分）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： (1)如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； (2)如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 23．（10分）综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 24．（10分）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第1章 勾股定理·培优卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 2．五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：，，，，， ，， 以，，三根木棒能摆成直角三角形，以，，三根木棒能摆成直角三角形， 故选：C 3．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：C． 5．数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积是解题的关键． 根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故选：A 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 7．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 8．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据勾股定理以及面积法即可得到的长，再根据是等腰直角三角形，即可得到的长；利用勾股定理求得的长，即可得到的长，进而得出的长．本题考查了折叠问题，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理可得， 将边沿翻折，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 在中，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 9．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　） A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤ 【答案】D 【分析】① 先证，由全等的性质可得；② 由全等及矩形的性质可得；③ 由全等及矩形的性质可得；④ 由PF=EC且可判断错误 ⑤ 由勾股定理得、、，再相加后等量代换可得 【详解】① 解：过点P作于G，连接PC    易证 又PE⊥BC，PF⊥ CD， ∴ 四边形PECF是矩形 ∴ 故 ① 正确； ② 解：延长AP交BC于H,连接PC交EF于O，如图    由① 知： 故② 正确； ③ 解：由①② 知： 故③正确； ④解：∵四边形PECF是矩形 ∴ PF=EC 在中 故④错误； ⑤ 解：过点P作于G，连接PC    易知四边形ABEG、PECF、GPFD为矩形 ∴ 故⑤ 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的判定及性质，勾股定理，灵活运用知识及作出辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 12．在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有 个． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：①， ∴是直角三角形； ②， ， ， ， ， ∴是直角三角形； ③，， ， ∴不是直角三角形； ④， 设，，， ，， ， ∴是直角三角形； ⑤， ，， ， ， 解得：，，， ∴不是直角三角形； 综上所述，可以判定为直角三角形的有3个， 故答案为：3． 13．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用可证，得到，进而可得，即得，同理可得，，据此即可求解，由全等三角形得到是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即， 同理可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为、、，，点为正半轴上一个动点，请写出所有能使为等腰三角形的点坐标 ． 【答案】，或 【分析】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、等腰三角形的性质，设点P的坐标为，分，，三种情况讨论，根据等腰三角形的性质和勾股定理分别求出a的值，即可得出结论． 【详解】解：当时， ∵点为正半轴上一个动点， ∴点的坐标为，即； 当时， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当时，设点P的坐标为， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为，或． 故答案为：，或． 15．在中，于点，，，，，点是线段上一动点，分别过点，作直线的垂线，垂足为，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，垂线段最短，勾股定理的应用，依据，可知，然后设，，代入整理即可求解，依据得到的关系式是解题的关键． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与成反比， ∴当时，有最大值， ∴， ∴， ∴的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 16．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 18．（8分）如图，，是的高线，，交于点F，且． (1)证明：； (2)若，，求的长和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据题意求出，根据证明，即可证明； （2）根据得到，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）证明：∵，是的高线， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ 19．（9分）如图，在中，，现将沿折叠，使顶点A恰好与顶点B重合． (1)求证是一个直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，翻折的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质和定理． （1）利用勾股定理的逆定理即可判定直角三角形； （2）根据翻折的性质得，，假设，然后根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴是一个直角三角形； （2）解：根据翻折的性质得，，假设，则， 由勾股定理得，， 即 解得， ∴的长为． 19．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 21．（9分）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【答案】(1)7.5米 (2)能成功，见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； （2）能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 22．（9分）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： (1)如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； (2)如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 【答案】(1)4，图见解析，线段与直线的交点 (2)图见解析，先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P 【分析】本题考查轴对称变换、最短路径问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意知点B关于直线的对称点为点C，记，的交点为，连接，此时的值最小即的长，求出的长度即可得到结论． （2）先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 如图，记，的交点为，连接， ∵垂直平分， ∴B、C关于对称， ∴， ∴，此时的值最小，最小值为4． （2）解：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 理由如下： ∵由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， ∴． 故答案为：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 23．（10分）综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）；；；；证明见解析 （2） （3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：由题图，可知， ，． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 24．（10分）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 试卷第6页，共27页 学科网（北京）股份有限公司1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $