精品解析：湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测5

高一13班数学周测5 一、单选题 1. 已知（是虚数单位），则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 的虚部为. 故选：B. 2. 已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A 3. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量垂直数量积为零及向量夹角公式可得，再借助二倍角公式计算即可得. 【详解】由，则， 故，则， 故. 故选：D. 4. 在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理可得余弦值，进而利用同角三角函数关系求解正弦值，由面积公式即可求解. 【详解】由以及正弦定理可得，设， 由余弦定理可得, 由于 则，解得， 又最小的边长为，故， 故选：B 5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6. 在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将绕翻折至与共面，当共线时，最小，再由余弦定理求解即可. 【详解】连接，如图， 由正方体的性质可得为等腰直角三角形，故， 为直角三角形，， 将图中绕翻折至与共面，如图， 所以由图可知，共线时，最小， 此时， 由余弦定理可知， 所以最小值为. 故选：B 7. 已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为9 D. 若，且△ABC有两解，则的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，由余弦定理角化边判断三角形形状；B选项，由，判断和的大小关系；C选项，由角平分线的性质结合三角形面积得，利用基本不等式求的最小值；D选项，由正弦定理解三角形有两解的条件，求的取值范围. 【详解】选项A，因为，由余弦定理得， 所以有，整理可得， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，钝角△ABC中，A，B为锐角，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B错误； 选项C，的平分线交于点，，有， 由角平分线性质和三角形面积公式，得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故C正确； 选项D，如图，若有两解，则，所以， 则b的取值范围是，故D错误． 故选：C. 8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解. 【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接， 所以，，设， 则 ， 又是的外心，所以 ， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出. 二、多选题 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆台，棱柱，正棱锥，棱台的定义判断. 【详解】对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错； 对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错； 对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错； 对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确， 故选：ABC. 10. 已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有（ ） A. xy的最大值为18 B. 的最小值为1 C. 的最小值为13 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合等式求最值可判断A，B；令，换元后再利用均值不等式求最小值，即可判断C，D. 【详解】对于A，， 所以 所以，又， 则，当且仅当，时取等号，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B错误； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C，得 ， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：CD. 11. 已知的面积为，若，，则（   ） A. 的外接圆半径为1 B. C. D. 的内切圆半径为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式等逐项分析即可得出结果. 【详解】设的外接圆半径为，内切圆的半径为， 选项A，由正弦定理，可得，，， 又，所以， 则.因为，所以， 则，又，解得，所以A错误； 选项B，由已知得，即， 又，，所以，则， 又，所以，，则， 所以，， 则，所以B错误； 选项C，由已知，又， 所以，，所以，所以C正确； 选项D，由已知为直角三角形，斜边长，则， 又，即，解得，所以D正确. 故选：CD. 三、填空题 12. 若函数的定义域为，则的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 设，其中为实数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两复数的相等求出的值，再根据复数的模的公式计算即可. 【详解】由，可得， 因为实数，则， 故 故答案为：. 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意设，可证，得到，继而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可． 【详解】设，则， 又为正三角形，所以， 则，又， 所以，则， 故，则，即，所以，即， 所以， ，即， 在中，，即， 解得，又，则为锐角， 所以． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知复数是关于的方程的两个根，且. （1）求和的值； （2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案； （2）由，得到，即得，代入计算即得. 【小问1详解】 由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 16. 已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【小问1详解】 由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是边上异于端点的动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）由正弦定理求出的表达式，利用三角函数的最值得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以． 因为，所以. 【小问2详解】 由题意可得，设，则. 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理，得， 所以 由，得，所以当， 即时，取得最小值为2. 18. 如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【小问1详解】 以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； 【小问2详解】 设，， ，， ， ，. 19. 已知函数，. （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）求的最大值； （3）对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）求得的对称轴，结合条件可得或，求解即可； （2）利用基本不等式可求的最大值； （3）求得函数的值域，设在的值域为，的值域为，由题意可得，进而分类讨论可求得的取值范围. 【小问1详解】 ，对称轴为直线， 因为在上单调，所以或，解得或或， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是. 【小问3详解】 因为，，所以，又时，，所以的值域为. 设在的值域为，的值域为， 因为对，，使得，即，所以. 由（1）知的对称轴为直线， ①当，即时，在上单调递增，所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以满足题意的不存在； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 令和中的最大值为，所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以； ③当，即时，在上单调递减， 所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以. 综上所述，，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测5 一、单选题 1. 已知（是虚数单位），则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则△ABC为等腰三角形 B. 在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为9 D. 若，且△ABC有两解，则的取值范围是 8. 在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 二、多选题 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 10. 已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有（ ） A. xy的最大值为18 B. 的最小值为1 C. 的最小值为13 D. 的最小值为 11. 已知的面积为，若，，则（   ） A. 的外接圆半径为1 B. C. D. 的内切圆半径为 三、填空题 12. 若函数的定义域为，则的定义域为_________． 13. 设，其中为实数，则___________． 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 四、解答题 15. 已知复数是关于的方程的两个根，且. （1）求和的值； （2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 16. 已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上有两个零点，求的值. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是边上异于端点的动点，且，求的最小值． 18. 如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． （1）求； （2）求的取值范围． 19. 已知函数，. （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）求的最大值； （3）对，，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $