第五章二元一次方程组单元测试题2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第五章 二元一次方程组 单元测试题 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为 （    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 4．今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 5．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 6．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 8．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 9．某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 10．某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 二、填空题 11．已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的关系式是 ． 12．已知x，y满足方程组，则的值为 ． 13．已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数m的值为 ． 14．小慧去花店购买鲜花，若买6支玫瑰和4支百合，则她所带的钱还剩下8元：若买4支玫瑰和6支百合，则她所带的钱还缺2元．若只买10支玫瑰，则她所带的钱还剩下 元． 15．一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的方程的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 16．用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 17．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程，解得 ； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）． (3) 18．一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_________千米，_________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距20千米？（直接写出答案即可） 19．先画图，再回答问题 (1)在如图所示的平面直角坐标系内，作出一次函数的图象； (2)直线与直线平行，且经过点，求，的值． 20．列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第五章 二元一次方程组 单元测试题2025-2026学年北师大版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B A C A B A A 1．D 【详解】本题考查了二元一次方程的定义． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程）进行判断． 【分析】解：二元一次方程必须同时满足：①含有两个未知数；②未知数的次数都是1． 选项A：，只含一个未知数，不符合条件①； 选项B：，x的次数为2，不符合条件②； 选项C：，只含一个未知数，且次数为2，不符合条件①和②； 选项D：，含有两个未知数x和y，且次数均为1，符合定义； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的联系即方程组中的每个方程都可以变形为一次函数解析式．根据两个一次函数的图像交点坐标即为对应方程组的解即可求解． 【详解】∵ 方程 可变形为 ， 方程 可变形为 ， ∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标． 又∵ 两函数图像交于点 ， ∴ 方程组的解为 ． 故答案为：A． 3．D 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，的指数必须为，从而求出的值；再将已知解代入方程求出的值，最后计算． 【详解】∵ 方程是关于，的二元一次方程， ∴ x的指数，解得， ∴ 方程为， 将，代入方程：，即， 解得， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握根据实际问题的数量关系列方程，并结合正整数条件确定方程的解是解题的关键．设购买A、B型铁锹的数量为未知数，根据总价列出方程，化简后结合正整数条件确定未知数的取值，进而得到购买方式的数量． 【详解】解：设购买A型铁锹把，B型铁锹把，则 ， 解得， ∵为正整数， ∴是5的倍数，即是5的倍数． 设（为正整数），代入得， 解得， ∵，， ∴， 解得． 为正整数， 可以取， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 共有7种购买方式． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子对折后量长木，长木剩余尺，表明对折绳子长度比木长短尺，从而得到另一个方程找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， ∵屈绳量之，不足一尺， ∴对折绳子长度比木长短尺， 即， 故选：． 6．C 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 7．A 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与其系数之间的关系，先把点的坐标代入解析式得到，再讨论k的符号，从而确定一次函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵图象经过点， ∴，即， ∴， 当时，一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，不符合题意； 综上所述，， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 10．A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数解问题，根据题意列出二元一次方程是解题的关键；先设能裁剪成小长方形的纸板为x张，那么裁剪成正六边形的纸板为张，根据小长方形和正六边形正好配套列出二元一次方程即可得到答案； 【详解】解：由题可得：， 整理得：， ∵都为正整数； ∴只要取14的倍数即可； 故选：A． 11． 【分析】本题考查了平行直线．熟练掌握平行直线的解析式中一次项系数相等，待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 两条直线平行，则斜率相等，可确定k的值；再代入已知点坐标，利用待定系数法求出b的值． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴设函数关系式为． 将点代入， 得， 即， 解得． 故一次函数关系式为． 故答案为：． 12．5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是通过方程组的变形求出的值；可将方程组中的两个方程相加，消去部分项后化简得到． 【详解】解：已知， 将两式相加得：， 即， 两边同时除以得：． 故答案为：． 13．3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程与联立求出的值，再代入方程求出的值即可． 【详解】解：由， 解得， 将代入得， 解得． 故答案为：3． 14． 28 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据“所带钱数不变”建立方程关系，再通过方程变形求出只买10支玫瑰时剩余的钱数． 设玫瑰和百合的单价分别为特定未知数，小慧所带钱数为固定值；根据两种购买方案列出关于总钱数的二元一次方程；通过方程变形消去百合单价的未知数，直接得出总钱数与10支玫瑰价格的差值，即为剩余钱数． 【详解】解：设每支玫瑰元，每支百合元，小慧所带的钱为元． 根据题意得：， 整理得： 得： 即， ． 移项得：，即只买10支玫瑰，所带的钱还剩下28元． 故答案为：28． 15．/④② 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据：当时，，当时，，求出；根据解析式可知函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；因为当时，，可知方程的解是；当时，，可知方程的解是． 【详解】解：由表格数据可知：当时，，当时，， 可得：， ，； 故错误； 由可知，一次函数的解析式为， 其中，直线与轴交点坐标是， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故正确； 由表格中的数据可知：当时，， 关于的方程的解是， 故错误； 由表格中的数据可知，当时，， 关于的方程的解是， 故正确． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法（加减消元法、代入消元法），熟练掌握消元法将二元方程转化为一元方程求解是解题的关键． （1）用加减消元法，将两个方程相加消去，先求，再代入求； （2）把代入另一个方程，先求，再代入求． 【详解】（1）解：， ① + ②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． 18．(1)90， (2)线段所在直线的函数解析式为 (3)货车出发小时或小时或小时 【分析】（1）根据货车从地到地花了小时结合路程速度时间即可求出、两地的距离；根据货车装货花了分钟即可求出的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从前往途中相遇前后和货车从往途中相遇前后，四种情况，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ，两地之间的距离是千米， 货车到达地填装货物耗时分钟， ， 故答案为：，； （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：设货车出发小时两车相距千米， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， 当两车都在前往地的途中且未相遇时两车相距20千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往地的途中且相遇后两车相距20千米，则，解得； ， ∴货车装货过程中两车不可能相距千米， 当货车从地前往地途中且两车未相遇时相距千米，则， 解得； 当货车从地前往地途中且两车相遇后相距20千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距千米． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 19．(1)图见详解 (2)， 【分析】本题主要考查了函数的图象，待定系数法，熟练掌握一次函数图象的特征，是解题的关键． （1）分别求出直线与轴、轴的交点，用两点法即可作出图象． （2）根据两条直线平行可得，把代入即可求解． 【详解】（1）解：将代入中， 即， 将代入中， 解得：， ∴一次函数与坐标轴的交点为，， 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： （2）解：∵直线与直线平行， ∴， 将点，代入到中，可得， 解得：． 20．，，或，，， 【分析】本题考查了三元一次方程组，难度较大，解题的关键是理解题意，学会利用参数方程解决问题．设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为，结合题意建立方程组解题即可． 【详解】解：他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等， 可以假设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为， 由题意得： 整理得：， 解得：，①， ∵线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线， ∴； 由消去z得到：， ∵，是正整数， ∴，，或，，， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $