精品解析：云南省昆明市西南联大研究院附属学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

昆明西南联大研究院附属学校2025—2026学年度上学期期中检测 九年级数学试卷（实验班） 试卷满分：100分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分） 1. 如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是数轴．根据，求出，继而可以求出点表示的数． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴， ∵点在O点左侧， ∴点表示的数为：， 故选：D． 2. 截止年3月日，电影《哪吒之魔童闹海》实时票房为亿元，输出舞台球影史票房榜第5名．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数，当原数绝对值时，是负数．据此方法将用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选C． 3. 窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念结合选项解答即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故该选项错误； B、不是轴对称图形，故该选项错误； C、是轴对称图形，故该选项正确； D、不是轴对称图形，故该选项错误． 故选：C． 4. 式 子有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式的分母不等于 0 ，二次根式中被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意， 则， 故选：A． 5. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体．关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 俯视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确画三视图的前提．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图． 画出这两个组合体的三视图，比较得出答案． 【详解】解：这两个组合体的三视图如图所示： 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式除以单项式、积的乘方、单项式乘以多项式和完全平方公式分别计算，进而即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 7. 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 8. 昆明享有“春城”之美誉，是中国面向东南亚、南亚开放的门户城市，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅统计图，下列四个选项中，错误的是（　　） A. 本次抽样调查的样本容量是5000 B. 扇形统计图中的m为20 C. “自驾”所占扇形圆心角的度数为 D. 若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12000人 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求扇形统计图圆心角，用样本估计总体，根据坐火车的人数与所占比例求出样本容量，即可判断A；用坐大巴的人数除以样本容量即可求出坐大巴的百分比，即可判断B；用自驾的百分比乘以360度即可求出圆心角，即可判断C；用50万人乘以乘飞机的百分比即可求出选择飞机出行的人数，即可判断D． 【详解】解：A、样本容量为，正确，不符合题意； B、，则m的值为20，正确，不符合题意； C、“自驾”所占扇形圆心角的度数为，正确，不符合题意； D、若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有500000人，选择飞机出行的约有 （人），错误，符合题意． 故选：D 9. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是90°，求出∠ADC，再根据圆周角的性质，求出∠ABC． 【详解】解：∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∵， ∴∠ADC=90°-32°=58°， ∴∠ABC=∠ADC=58°， 故选：C． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角是90°和圆周角的性质，解题关键是根据同弧把要求的角转化为与已知有关系的角． 10. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 11. 如图，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求解即可，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【详解】解：， ， ， ， 或(不符合题意，舍去)， ， ， 故选：． 12. 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将每个代数式拆分为系数、根号内部和的幂次三部分，分别找对应规律即可得到结果． 【详解】解：第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 类比可得第个代数式中，系数为，根号内的数为，的次数为， ∴第个代数式是． 13. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为12米，与的夹角为，则高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接根据的正弦可得结论． 【详解】中，， 米， （米． 故选：A． 14. 如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 15. 抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论： ①； ②； ③，是抛物线（）上的两个点，若且，则； ④若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能根据所给函数图象得出，，的正负及巧妙利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 依据题意，根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：根据所给函数图象可知， ，， 又对称轴是直线 ． ，故①错误． 抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， ，故②正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 又，且， ， ．故③错误． ，， ， ． ， 当时，， 顶点． 将方程整理得，， 有实数根， 抛物线与直线有公共点， ， 则， 解得，故④正确． 所以正确的有②④共2个． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 18. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解的不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，理解并掌握一元二次方程的根的判别式的意义是解题关键． 19. 如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点，若，，则的长为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，由四边形是矩形，得，，所以，由折叠性质可知，，，，，故有，，从而得，设，则，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠性质可知，，，，， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．利用特殊角的锐角三角函数，零次幂，负指数幂，平方根的性质，绝对值的性质进行化简计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据证明，得，则． 【详解】略 22. 国庆节期间，某校鼓励九年级学生参加革命圣地志愿者服务活动，同学们踊跃报名参加，学校最终决定采用抽签的方式确定每个同学所去的革命圣地．抽签规则为：将（马栏革命旧址），（枣园革命旧址），（陕甘边照金革命根据地），（小河会议旧址）四个革命圣地分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，每人随机从中抽取一张，记下后放回，抽取的结果即为所要参加志愿者服务的革命圣地． （1）九（1）班的张宇报名参加了此次活动，他抽到去（陕甘边照金革命根据地）的概率为______； （2）九（2）班的王娜和李欢报名参加了此次活动，请用列表或画树状图的方法，求她俩抽到同一个革命圣地的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，找出九（2）班的王娜和李欢抽到同一个革命圣地的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：九（1）班张宇抽到去（陕甘边照金革命根据地）的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中九（2）班的王娜和李欢抽到同一个革命圣地的结果数为4， ∴王娜和李欢抽到同一个革命圣地的概率为， ∴她俩抽到同一个革命圣地的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．掌握用列表法和树状图计算概率是解题的关键． 23. 春节期间，珠江源古镇计划在街道两侧悬挂传统灯笼以增添节日氛围．原计划每天悬挂 固定数量的灯笼，但实际施工时，每天比原计划多悬挂50盏．结果实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，则实际每天悬挂灯笼数量为多少盏? 【答案】实际每天悬挂 200 盏灯笼 【解析】 【分析】本题考查出分式方程的应用，设原计划每天悬挂盏灯笼，则实际每天悬挂盏灯笼，根据实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天悬挂盏灯笼，则实际每天悬挂盏灯笼， 根据题意得， 解得：， 经检验是所列方程的解，且符合实际意义， 此时， 答：实际每天悬挂 200 盏灯笼． 24. 如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； ∵ ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，得到四边形是平行四边形；由即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 25. 2025年春晚，宇树人形机器人H1与G1大放异彩，二者凭借春晚舞台，一跃成为“科技顶流”．某校为优化智能机器人编程的校本课程，计划购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．据市场调查发现：购买A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，且购进5台A型机器人模型和6台B型机器人模型刚好花费4300元． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若学校准备再次购买A型和B型的机器人模型共40台，且购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，应如何购买才能使A，B两种型号的机器人模型的购买总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台、B型机器人模型30台才能使A，B两种型号的机器人模型的购买总费用最低，最低费用为14000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用； （1）分别设A型，B型机器人模型的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购买A型机器人模型x台，则购买B型机器人模型台，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设购买总费用为W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型的单价是a元，B型机器人模型的单价是b元， 根据题意，得， 解得， 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型x台，则购买B型机器人模型台． 根据题意，得， 解得， 设购买总费用为W元，则， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时W值最小，， （台）． 答：购买A型机器人模型10台、B型机器人模型30台才能使A，B两种型号的机器人模型的购买总费用最低，最低费用为14000元． 26. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． （1）求该抛物线的解析式． （2）设k是抛物线与x轴交点的横坐标，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意得到，然后将的分母因式分解，然后代入求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的对称轴为直， ∴， 解得， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵k是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴， ∴ ． ∴的值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，点D在上（点D不与点A，B重合），，连接，过点C作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在中，若，，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含m，n的代数式表示；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：连接并延长，交于点F，交于H，则为的直径， ， ， ， ， 即， ， ， 是的直径， ， ， ∴四边形是矩形， ， 为的半径， 是的切线． （2）4.8 （3） 解：若，，为定值，这个定值为，理由如下： 如图，在直径上截取，连接， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ，，， ， 即， ∴若，，为定值，这个定值为. 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点F，交于H，则为的直径，根据垂径定理的推论可得，再证明四边形是矩形，则可得，进而可得是的切线． （2）先根据勾股定理求出，由，以及，可得，进而可得，列比例式即可求出的长． （3）在直径上截取，连接，易得，则可得，进而可得，再证，则可得，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， . 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定定理、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 四、【附加题】 28. 如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， （1）求证∶是的切线； （2）求点C到的距离； （3）点 P 是上一动点， 求的最小值． 【答案】（1）证明：过点作CF⊥AB，交AB于点F， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意，可知：为的直径， ∴， ∴， ∴为的半径， 又∵， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，推出为的半径，即可得证； （2）求出的长，勾股定理求出的长，过点作，等积法求出的长即可； （3）取的中点，连接，进而得到，结合，得到，进而得到，进而得到，得到，得到三点共线时，的长最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作， 则：，即：， ∴， ∴点C到的距离为； 【小问3详解】 取的中点，连接，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，，由（2）知， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查切线的判定，含30度的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 29. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】（1）①8；② （2）4 （3）当或时，二次函数的最优纵横值为7 【解析】 【分析】（1）①根据“纵横值”的概念解答即可； ②根据“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，再结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的顶点在直线上，解出，再结合“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，根据最优纵横值为5，即可解答； （3）根据的顶点在直线上，得出，表示出图象上所有点的“纵横值”，确定出对称轴为直线．分为当时，即时，此时当时，值为7；当时，即时，此时当时，值为7；当时，即，分别解答即可． 【小问1详解】 ①点的“纵横值”为； ②函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为． 【小问2详解】 ∵二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ∵最优纵横值为5， ， ； 【小问3详解】 ∵的顶点为， ∵顶点在直线上， ∴， ， 令， 对称轴为直线． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即， ， 此时最优纵横值不等于7，不合题意． ∴当或时，二次函数的最优纵横值为7． 【点睛】该题是自定义类函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明西南联大研究院附属学校2025—2026学年度上学期期中检测 九年级数学试卷（实验班） 试卷满分：100分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分） 1. 如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 截止年3月日，电影《哪吒之魔童闹海》实时票房为亿元，输出舞台球影史票房榜第5名．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 式 子有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体．关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 俯视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三个视图都相同 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 昆明享有“春城”之美誉，是中国面向东南亚、南亚开放的门户城市，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅统计图，下列四个选项中，错误的是（　　） A. 本次抽样调查的样本容量是5000 B. 扇形统计图中的m为20 C. “自驾”所占扇形圆心角的度数为 D. 若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12000人 9. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 10. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为12米，与的夹角为，则高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 14. 如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 15. 抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论： ①； ②； ③，是抛物线（）上的两个点，若且，则； ④若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 因式分解：______． 17. 把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 18. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_________． 19. 如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点，若，，则的长为 ______ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 22. 国庆节期间，某校鼓励九年级学生参加革命圣地志愿者服务活动，同学们踊跃报名参加，学校最终决定采用抽签的方式确定每个同学所去的革命圣地．抽签规则为：将（马栏革命旧址），（枣园革命旧址），（陕甘边照金革命根据地），（小河会议旧址）四个革命圣地分别写在四张完全相同的不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，每人随机从中抽取一张，记下后放回，抽取的结果即为所要参加志愿者服务的革命圣地． （1）九（1）班的张宇报名参加了此次活动，他抽到去（陕甘边照金革命根据地）的概率为______； （2）九（2）班的王娜和李欢报名参加了此次活动，请用列表或画树状图的方法，求她俩抽到同一个革命圣地的概率． 23. 春节期间，珠江源古镇计划在街道两侧悬挂传统灯笼以增添节日氛围．原计划每天悬挂 固定数量的灯笼，但实际施工时，每天比原计划多悬挂50盏．结果实际悬挂完400盏灯笼所需的时间，恰好与原计划悬挂300盏灯笼的时间相同，则实际每天悬挂灯笼数量为多少盏? 24. 如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 25. 2025年春晚，宇树人形机器人H1与G1大放异彩，二者凭借春晚舞台，一跃成为“科技顶流”．某校为优化智能机器人编程的校本课程，计划购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．据市场调查发现：购买A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多200元，且购进5台A型机器人模型和6台B型机器人模型刚好花费4300元． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若学校准备再次购买A型和B型的机器人模型共40台，且购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，应如何购买才能使A，B两种型号的机器人模型的购买总费用最低，并求出最低费用． 26. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． （1）求该抛物线的解析式． （2）设k是抛物线与x轴交点的横坐标，求的值． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，点D在上（点D不与点A，B重合），，连接，过点C作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在中，若，，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含m，n的代数式表示；如果不是，请说明理由． 四、【附加题】 28. 如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， （1）求证∶是的切线； （2）求点C到的距离； （3）点 P 是上一动点， 求的最小值． 29. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $