精品解析：河北省石家庄市第四十二中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

石家庄市第四十二中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（1～7题每小题3分，8～12题每小题3分，共31分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 2. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及知识点：二次根式的被开方数非负．解题方法是根据被开方数列不等式，求解后判断选项；解题关键是牢记被开方数的非负性，易错点是忽略符号方向．解题思路：由被开方数列不等式，确定的取值范围，再匹配选项． 【详解】∵有意义， ∴， 解得． 选项中只有，满足条件． ∴的值可以是0． 故选D． 3. 已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 4的算术平方根是 B. 3的平方根是 C. 27的立方根是 D. 平方根和立方根都等于本身的数是0和1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，算术平方根是非负的，平方根有正负两个，立方根只有一个实数根，掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵4的算术平方根是2，不是，故A错误； ∵3的平方根是，故B正确； ∵27的立方根是3，不是，故C错误； ∵平方根等于本身的数只有0（1的平方根是，不等于1），立方根等于本身的数有0和，但平方根和立方根都等于本身的数只有0，故D错误； 故选：B． 5. 【易容之术】一门派秘传“分式易容术”，形可变而神不可散．下列法术中，何者能保其本元不变？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式等知识．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于零的整式，分式值不变，即可得出答案． 【详解】解：．，原变形错误，故该选项不符合题意； ．，原变形错误，故该选项不符合题意； ．，原变形错误，故该选项不符合题意； ．，原变形正确，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在△中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的长为10，则△的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：根据尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ， 的周长， 故选：C． 7. 已知，则下列数中比m大的是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 8. 以下是嘉琪所做的道填空题，每道分，则嘉琪实际得分为（ ） 、（精确到千位）． 、的算术平方根是（）． 、已知，求． 、，则的值是（）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了近似数，算术平方根和平方根，根据近似数、算术平方根和平方根的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解： 、精确到千位，百位数字为，故舍去，得，即，答案正确； 、，的算术平方根为，答案错误； 、由，得，，即得，，故，答案正确； 、由，得，即得或，答案错误； ∴嘉琪答对题，得分为分， 故选：． 9. 如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ，且， ， ． 又△与△关于直线对称， ，， ． 故选：C． 10. 如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形的面积为， 故选：． 11. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 12. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 13. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 14. 在下列各数：，，，（两个1之间依次多一个，，，中，无理数有__ 个． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，零指数幂，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，（每两个8之间依次多1个等形式．先化简各数，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无限循环小数，是有理数，是分数，是有理数； 无理数有：，，，（两个1之间依次多一个，，，共6个， 故答案为：6． 15. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是__ ． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ， 故答案为：18． 16. 一个正数的两个平方根分别是和，则的值为__ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：5 17. 如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为______s． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 三、解答题 18. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）无解 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程和二次根式混合运算，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤和二次根式相关的运算法则． （1）去分母化为整式方程，解出的值后再检验即可； （2）去分母化为整式方程，解出的值后再检验即可； （3）根据二次根式除法法则计算即可； （4）先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ； 【小问2详解】 去分母得：， 解得， 经检验，是原方程的增根， 原方程无解； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 19. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）3 （3） 则点即为所作． 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时取得最小值，最小值为的长， 20. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，，点D在边上，和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据，可得． （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，证明，即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 略 22. 观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式： ； （2）请写出第个等式： ； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化和数字的变化类，掌握分母有理化方法，发现数字的变化规律是解决问题的关键． （1）从等式中找出规律，根据规律写出即可； （2）从等式中找出规律，根据规律写出即可； （3），通分，观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【小问1详解】 解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式，，得， 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）知，第个等式的下标是，被开方数分别为，，所以第个等式 ， 故答案为：； 【小问3详解】 ． 23. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】（1）每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元 （2）该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元． 【小问2详解】 解：设购进乙种商品个，则购进甲种商品个， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或25， 该商场购进甲、乙两种商品有2种方案： ①购进甲种商品67个，乙种商品24个； ②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 24. 在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则 ． 在图2中，，，，，，；则 ． （2）归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】（1）7，5； （2） 图3中线段，，之间的数量关系是：，证明如下： 延长到，使，连接，如图3所示： ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ． 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，进而依据“”判定△和△全等得，再根据可得的长； 延长到，使，连接，先依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，进而依据“”判定△和△全等得，再根据可得的长； （2）延长到，使，连接，先证明，进而依据“”判定△和△全等得，，由此可证明，继而依据“”判定△和△全等得，再根据可得线段，，之间的数量关系． 【小问1详解】 解：如图1所示： 四边形为正方形， ，， 点是延长线上的点，且， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，，， 故答案为：7； 延长到，使，连接，如图2所示： ， ， 在△和△中， △△， ，， ，， ， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，，， 故答案为：5； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第四十二中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（1～7题每小题3分，8～12题每小题3分，共31分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 3. 已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 4的算术平方根是 B. 3的平方根是 C. 27的立方根是 D. 平方根和立方根都等于本身的数是0和1 5. 【易容之术】一门派秘传“分式易容术”，形可变而神不可散．下列法术中，何者能保其本元不变？（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的长为10，则△的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则下列数中比m大的是（ ） A. B. 4 C. D. 8. 以下是嘉琪所做的道填空题，每道分，则嘉琪实际得分为（ ） 、（精确到千位）． 、的算术平方根是（）． 、已知，求． 、，则的值是（）． A. B. C. D. 9. 如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 10 11. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 13. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 14. 在下列各数：，，，（两个1之间依次多一个，，，中，无理数有__ 个． 15. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是__ ． 16. 一个正数的两个平方根分别是和，则的值为__ ． 17. 如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为______s． 三、解答题 18. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 20. 化简求值：，其中． 21. 如图，，点D在边上，和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 22. 观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式： ； （2）请写出第个等式： ； （3）求的值． 23. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 24. 在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则 ． 在图2中，，，，，，；则 ． （2）归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $