第18章分式单元测试(综合提升)卷2025-2026学年人教版八年级数学上册

第18章分式单元测试(综合提升)卷 一、单选题 1．在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母含字母和，是分式． ∴分式有个． 故选B． 2．下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程．熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 3．下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的定义、分式的性质、分式值为0的条件、最简分式的概念等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据相关定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母是常数，不是字母，则 不是分式，故A错误； B．由当都扩大3倍时，分式变为 ，值扩大3倍，故B错误； C．由分式值为0需分子为0且分母不为0，则 且 ，解得 ，故C正确； D．由（当），分子分母有公因式，不是最简分式，故D错误． 故选C． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式加减法的知识，掌握以上知识是解答本题本题的关键； 本题根据同分母分式加减法的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 5．2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：由题意，1纳米米， 纳米米米米， 故选C． 6．下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 需检查每个选项的变形是否符合此性质． 【详解】A：∵， ∴A错误． B：∵， ∴B正确． C：∵，∴， ∴C错误． D：∵， ∴D错误． 故选：B． 7．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 8．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方，零次幂，负整数指数幂．分别计算a、b、c的值，a为负数，b和c为正数，再比较大小．即可作答． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：A 9．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为天，快马送达所需时间为天．慢马速度为里/天，快马速度为里/天．根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：∵慢马所需时间比规定时间多1天，即天， ∴慢马速度为里/天； ∵快马所需时间比规定时间少2天，即天， ∴快马速度为里/天； 又∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选：A． 二、填空题 11．某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 【答案】 【分析】本题考查分式运算的应用． 通过计算现在购买数量与原来购买数量的差，得到多买的盒数． 【详解】解：原来每盒售价元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买盒． 故答案为：． 12．分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的 倍． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，整理即可得到． 【详解】解：将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍， 得到：． ∴将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍， 则此分式的值扩大为原来的 5倍． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质并且会应用． 13．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设十位上的数字为x，则个位数字为，根据这两位上数字的倒数和是列出方程即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位数字为， 根据题意得，． 故答案为：． 14．已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．若关于 x 的分式方程无解，则 k 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解方程无解的含义、掌握求解的方法是关键．将分式方程化为整式方程，解出的表达式，令其等于分母为零的值，从而求出． 【详解】解：方程，两边同乘（），得， 整理得， 解得， 当时，分母为零，方程无解，故， 解得． 故答案为：． 16．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法、乘法及绝对值的相关知识，熟知运算法则及绝对值的性质是正确解题的关键． 由已知条件且，中必为两正两负．先将变形整理为：，，，，再代入所求的式子化简即可求解． 【详解】解：由，可得，，，． 原式， ，可知，中负因数的个数为偶数0或2或 4个， 由可知，不可能全为正数或全为负数， 中必为两正两负，此时的值中，有两项为1，两项为， 原式， 故答案为：． 三、解答题 17．小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的通分． 根据分式的基本性质可知小强的错误是把分母去掉了，根据分式的基本性质通分即可． 【详解】解：小强的错误是把分母去掉了，不符合分式的基本性质． 改正如下： ，的最简公分母是， ，． 18．化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用分式的乘除化简，后根据负整数指数幂，零指数幂运算法则确定字母的值，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解： ， 由， 得， 故原式． 19．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查含乘方的分式的乘除混合运算，因式分解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 20．已知当时，分式无意义，时，分式的值为0，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为的条件，熟练掌握分式无意义的条件：分母为；分式值为的条件：分母不为且分子等于是解题的关键．根据分式无意义的条件得到的值，根据分式值为的条件得到的值，最后将、的值代入求解即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即，解得； 当时，分式的值为， 即且，解得， 则． 21．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 22．某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 23．铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 24．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章分式单元测试(综合提升)卷 一、单选题 1．在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则的值为 D．分式是最简分式 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 7．若，则等于（   ） A． B． C． D． 8．若，，，则（   ） A． B． C． D． 9．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（） A． B． C． D． 二、填空题 11．某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 12．分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的 倍． 13．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程 ． 14．已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ． 15．若关于 x 的分式方程无解，则 k 的值为 ． 16．已知，则 ． 三、解答题 17．小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 18．化简求值：，其中． 19．计算： (1)； (2)； (3)； 20．已知当时，分式无意义，时，分式的值为0，求的值． 21．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 22．某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 23．铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 24．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $