精品解析：重庆市潼南区初中学校联考2025-2026学年九年级上学期第二次联合测试数学试题

2023级九年级上期第二次联合测试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，二次根式的化简，零指数，掌握无理数的定义是解题的关键． 先化简各数，再根据无理数的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、因为是有理数，故此选项不符合题意； B、为整数，为有理数，故此选项不符合题意； C、1为整数，为有理数，故此选项不符合题意； D、，为无理数，所以为无理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 2025年11月9日，我国使用长征十一号遥六运载火箭和力箭一号遥九运载火箭一天发射5颗卫星成功进入预定轨道，这一消息登上百度热搜榜，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形，故不符合题意； B. 不是中心对称图形，故不符合题意； C. 不是中心对称图形，故不符合题意； D. 是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 3. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B. 调查琼江河的水质情况 C. 调查某班学生视力情况 D. 调查全国初一中学生的平均身高 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查，全面调查（普查）适用于调查对象数量较少、易于全面进行的情况．选项C中，某班学生数量有限，适合普查；其他选项调查范围广、对象多，适合抽样调查． 【详解】解：∵全面调查需要对所有调查对象进行逐一调查， ∴适用于对象数量少、调查简便的情况． 选项A（全市中学生）、B（整条河流）、D（全国初一中学生）对象数量多或范围广，普查成本高、难度大，不适合；选项C（某班学生）对象数量少，易于全面调查， 故选：C． 4. 如图，已知与相切于点，是的直径，当，时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质．由与相切于点，可得，再结合，证明，根据平行线的性质可得，又由，可得，即可求得的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，以及无理数的估算，先根据乘法法则化简，再估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴值在3到4之间． 故选B． 6. 将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（ ） A. 52 B. 67 C. 84 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题．第n个图形中，棋子数量为，从而可得答案． 【详解】解：第①个图形中，棋子数量为； 第②个图形中，棋子数量为； 第③个图形中，棋子数量为； ； 第n个图形中，棋子数量为； ∴第⑨个图形中共有棋子的颗数是， 故选：C． 7. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与的交点为，点的对应点恰好落在边上，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 由旋转的性质得是等边三角形，证明是含的直角三角形，根据含的直角三角形三边的比例关系即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ，． 是等边三角形． ． ． 在中，， ． ． ． 在中，． ． 故选：D． 8. 中国新能源汽车技术领先全球，产量从2016年的45.9万台到2024年的1316.82万台，呈现显著上升趋势，重庆某新能源汽车销售公司2022年销售8万台，2024年销售达到12万台，且从2022年到2024年，每年销售数量增长率相同，设每年数量增长率为，则列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 设每年数量增长率为，从2022年到2024年经过两年增长，因此应用复合增长公式列方程，完成求解． 【详解】解：设每年数量增长率为，且2022年销售8万台，2024年销售12万台，经过两年增长，列方程：． 故选：B． 9. 如图将矩形沿对角线折叠，使C落在处，交于点E，若，平分，则的长度为（ ） A. 12cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查了折叠问题，矩形与折叠问题，角平分线的性质定理，用勾股定理解三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据折叠原理得到，，，，结合平行线的性质，得到，进而求得，设，则，，根据勾股定理求得的值，最后求得的长度． 【详解】解：根据折叠原理，得，，，， 又∵， ∴, ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得，即， 解得， 根据勾股定理得， 得， ∴的长度为． 故选：C． 10. 关于x的多项式只含两项，可以写成（，均为非零常数，n为正整数），小米发现这个多项式还可以变成：（其中a，c，d等均为整数），下列说法中正确的个数为（ ） ①当这个关于x的多项式为时，则中的的和为5； ②a，c，d等看作系数，那么这个表达式的系数和不变，均为b； ③任意（其中m，n均为正整数且），则分解因式的结果中必有一项因式为； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式的恒等变形、系数和、因式分解，利用多项式的基本性质验证每个选项是解题关键． 说法①，将化为的形式，匹配系数得的值； 说法②，令可得的系数和，再由，可得的系数； 说法③，将代入，，证明必有因式 ； 说法④，通过代数推导进行验证． 【详解】解：对于①：∵ ，设 ， 展开得 ，与 比较得： ∵，∴ ， ∵，∴ ，， 则，故①错误； 对于②：∵， ∴当 时，， ∵， ∴当 时，， ∵， ∴ ，故②正确； 对于③：∵ ， 令，， ∴必有因式 ，故③正确； 对于④：∵ ， ， ∴ ，故④正确． 综上，正确说法为②③④，个数为3． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及乘方、零指数幂运算、绝对值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 先计算零指数幂与乘方，再化简绝对值，最后进行有理数的加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，，若，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，根据对顶角相等，结合两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 一个不透明袋子中，装有除颜色外完全相同的2红1白两种颜色的3个小球，摸出1个球后记下颜色放回，再摸出第二个球，连续两次摸到红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．正确的列出树状图是解决问题的关键． 首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次都摸到红球的有4种情况， ∴两次都摸到红球的概率是：． 故答案为：． 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，将两个已知等式相减，可得，即得，进而即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，为的直径，，，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点．若，则________；________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】根据圆的性质，由可得，，由可得，从而得到平分，从而得到为等边三角形，即，由为的直径和与圆相切可得，，从而得到，利用含直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵， ∴，即平分， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由题意可得，与圆相切，为的直径， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， 故答案为：6， 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，切线的性质，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是利用圆的性质得到为等边三角形，再利用含直角三角形的性质求解即可． 16. 一个四位自然数，若满足，则称这个数为“平方和数”．例如，四位数1052，∵，∴1052是“平方和数”，四位数6615，∵，∴6615也是“平方和数”．若是“平方和数”，那么________；将“平方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个数，规定，已知一个四位数是“平方和数”，若能被9整除，则满足条件的N的最小值为________． 【答案】 ①. 4或8 ②. 2133 【解析】 【分析】本题考查新定义“平方和数”的应用及代数式的运算、数的整除性，解题的关键是根据“平方和数”的定义列出等式，结合数字的取值范围分析求解． ①根据“平方和数”的定义，对列出等式，结合，是数字的条件求解； ②先根据“平方和数”的定义确定中的关系，再结合的定义化简表达式，最后根据整除条件找出最小的． 【详解】解：①是“平方和数”，根据定义（这里）， 化简得：即 是数字，且是10的倍数， 需是10的倍数，即的个位为9， 满足条件的为3或7： 当时，，得， 当时，，得， 故答案为：4或8； ②是“平方和数”，根据定义（这里）， ，即， 结合，得． 又， 的可能取值：， 再根据（是千位与百位对调后的数），， ， ， 代入，得： 分别验证各可能取值： 当时，能被9整除； 当时，能被9整除； 当时，能被9整除； 其余取值计算后均不能被9整除， 比铰，和，最小的为2133． 故答案为：2133． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 【答案】，整数解为，，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，确定不等式组的解集是解题关键． 分步骤求解每个不等式，再确定公共解集，最后找出整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式的整数解为，，0，1，2． 答：，整数解为，，0，1，2． 18. 如图，在四边形中，，连接，，且，． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点用作等角的方法作的平行线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形为正方形．（补全证明过程） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形（①________）， ∵， ∴②________． ∴四边形为矩形（③________）， 又∵，且 ∴④________． ∴⑤________． ∴矩形为正方形． 【答案】（1）作图见解析 （2）①两组对边平行的四边形是平行四边形；②；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④；⑤ 【解析】 【分析】（1）根据作等角的方法，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交线段、于点M、N，然后以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于点H，再以点H为圆心，长为半径作弧，交弧于点，连接并延长，分别交、于点E、D，根据内错角相等可得； （2）根据平行四边形的判定定理，可知①；根据三线合一和有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知②和③；根据直角三角形的性质和邻边相等的矩形为正方形可知④和⑤． 【小问1详解】 解：如图，点D，E，直线即为所求； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形（①两组对边平行四边形是平行四边形）， ∵，， ∴． ∴四边形为矩形（③有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 又∵，且， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 故答案为：①两组对边平行的四边形是平行四边形；②；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④；⑤． 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的平行线、平行四边形的判定、等腰三角形的性质、矩形的判定、直角三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 先化简，再求值：，其中m，n是方程的两个不同根，且． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先将分式化简，再求出的解，确定的值，最后代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 解得：，， ∵m，n是方程的两个不同根，且， ∴，， ∴． 20. 潼南区开展了“聚光杯”首届师生创作竞赛活动，某校组织了全校七八年级的同学全部参加这项活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：87，82，83，86，85，87，87． 八年级20名学生竞赛成绩是：65，67，68，71，73，75，75，78，81，83，84，86，86，86，88，95，97，99，99，100． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 a 众数 87 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“聚光杯”首届师生创作竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生660人，八年级有学生600人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）我认为七年级的竞赛成绩好，在七八年级平均成绩均为的情况下，七年级的中位数（或者说众数）比八年级的中位数大，所以七年级成绩好 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了统计图表、平均数、中位数、众数的计算、用样本估计总体．正确计算是解题的关键． （1） 将数据从小到到排列，最中间的数或最中间的两个数的平均数是中位数；众数是出现次数最多的数，据此分析作答即可； （2）对比七年级、八年级成绩的平均数，中位数，众数后作答即可； （3）用样本中“成绩不低于90分”的学生比例估计总体中“成绩不低于90分”的学生比例进行计算即可． 【小问1详解】 解：七年级：D组成绩有人，C组成绩：人，B组成绩为：82，83，85，86，87，87，87， 七年级20名学生的竞赛成绩 的中位数是：； 八年级20名学生的竞赛成绩中，86分出现了3次，次数最多， 众数； 七年级20名学生中B组成绩的比例为， 组成绩所占的百分比，即； 故答案为：； 【小问2详解】 七年级学生“聚光杯”首届师生创作竞赛的成绩较好．理由如下： 在七八年级平均成绩均为的情况下，七年级的中位数比八年级的中位数大， 所以七年级成绩好． 【小问3详解】 （人）． 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生共有348人． 21. 2025年9月13日19∶30分，渝超（2025重庆城市足球超级联赛）揭幕战正式在重庆市大田湾体育场举行．这一活动不仅能培养出足球精英人才，也有力地促进了重庆的足球经济发展．某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，已知每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多20元，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半． （1）求A、B两种足球每个的进价； （2）这批足球很快售完，该店计划再购进一批足球，此时每个A种足球的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了2m个；每个B种足球的进价上涨了m元，购进B种足球的数量在第一次的基础上减少了3m个，总花费4512元，求m的值． 【答案】（1）A种足球进价为120元，B种足球进价为100元 （2）6 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． （1）设B种足球的进价为x元，则A种足球的进价为元，根据某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半，列出方程求出答案； （2）根据总花费4512元，列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：设B种足球的进价为x元， 根据题意列方程得： 解之得， 经检验，是原方程的解， 答：A种足球进价为120元，B种足球进价为100元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理得： ∴ 解之得：（不合题意，应舍去）， ∴ 22. 如图，为等边三角形，，点从点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到点停止，作交直线于点，设，点的运动时间为． （1）直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）无需计算，作出，结合函数图像直接写出时x的取值范围（取值中如有近似值，近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）作图见解析，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，∴，当时，，当时，,得； （2）根据（1）结果，利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）画出的图像，找到一次函数图像在图像下方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形，， ∴， ∵点从点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到点停止， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴； 当时，, ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时， 令，则； 令，则， 当时， 令，则． 描点，， ， 连接和，和， 即得的图像． 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【小问3详解】 解：作出的图像，与的图像交于点， ∴当时， x的取值范围. 【点睛】本题考查了一次函数综合应用．熟练掌握等边三角形性质，含30度的直角三角形的判定和性质，线段周长与函数综合，描点法画一次函数图像，一次函数的图像和性质，是解题的关键． 23. 潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） （1）求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） （2）若图中、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 【答案】（1）3860米 （2）小南先到达M处，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． （1）过点C作于H，，根据，，即可求解； （2）由（1）得，进而分别求得，分别计算小东和小南走所用的时间，比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，， 过点C作于H，，    ∴， ∴． ∴（米）， 即：小南家到图书馆A的直线距离为3860米； 【小问2详解】 小南先到达M处，理由如下： 由（1）知， ∵M为的中点， ∴， ∴小东到点M需用（分钟）； 在中，，， ∴， ， ∴ ∴小南到点M需用（分钟）， ． ∴小南先到达M处． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A、B的坐标为，，是抛物线对称轴上一段移动的线段，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在直线上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接、，当面积最大时，求出最小值； （3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接．点P为原抛物线对称轴上一点，若时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况． 【答案】（1） （2） （3）点P为或，证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）设点D为，过点D作关于y轴的平行线，交于点E，先求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，得出的表达式，利用三角形面积公式求出的表达式，此时当时，的面积有最大值，进而求得点D的坐标，连接，作关于的平行线，使得，且，，且，再作点B关于抛物线对称轴的对称点A，连接，与抛物线对称轴交点为，此时A，，三点共线，根据已知条件得出点的坐标，进而求得的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，再求得两个抛物线的交点E的坐标，证明为含有的直角三角形，过点C作轴，得到，根据已知条件进行分类讨论：①过点E作，交抛物线对称轴于点，利用平行线的性质求出点 的坐标；②在直线上截取一点Q，使得，连接，再过点Q作，且，交于点F，此时与抛物线对称点的交点为，利用菱形的性质，求出点Q，F的坐标，进而得出相关线段的长度，再利用待定系数法求出直线的解析式，随即求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线交A，B两点，，， 将A，B两点代入后得，，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点D为， 如图，过点D作关于y轴的平行线，交于点E， ∵点C是抛物线与y轴交点， ∴点C为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点E在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值为， ∴点D坐标为， 连接，作关于的平行线，使得，且，，且，再作点B关于抛物线对称轴的对称点A，连接，与抛物线对称轴交点为， 此时A，，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， 即的最小值为． 【小问3详解】 解：∵原抛物线向右平移后，新抛物线经过原点，且向右平移1个单位， ∴新抛物线的解析式为， 又∵点E为两个抛物线交点， ∴联立两个抛物线解析式得，，解得， ∴点E为， ∵，， ∴在中，，， ∴， 过点C作轴， ∴， 要使， 分以下情况讨论： ①如图，过点E作，交抛物线对称轴于点， 原抛物线对称轴为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点为， ②如图，在直线上截取一点Q，使得，连接，再过点Q作，且，交于点F，此时与抛物线对称的交点为， ∴四边形为菱形， 设点Q坐标为， ∴，， ∴，解得， ∴点Q为，故，则， 设点F坐标为， ∴，即点F为， 设直线解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点为， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质及二次函数与几何的综合应用． 25. 在等腰中，，点为边上一点，连结． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，将图1中线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，求出值． （3）如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，线段、交于点，连结，猜想线段、、的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）作于，则解和，即可解决问题； （2）以为边作等边三角形，连接，，作，交的延长线于，利用证明，则，解和，即可解决问题； （3）首先利用证明，得，作，交于，再利用证明，得，，从而得出结论； 【小问1详解】 解：如图，作于， 是等腰直角三角形， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ． 【小问2详解】 解：如图，以为边作等边三角形，连接，，作，交的延长线于， 在中，． ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ，． ∴是等边三角形． 和是等边三角形， ，，． ． ． ，． ． ． ． ． ． ． 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，． ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ． ． ． ． 如图，作，交于， ， ． ， ． 又， ． ，． 等腰直角三角形． ． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级九年级上期第二次联合测试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 2025年11月9日，我国使用长征十一号遥六运载火箭和力箭一号遥九运载火箭一天发射5颗卫星成功进入预定轨道，这一消息登上百度热搜榜，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B. 调查琼江河的水质情况 C. 调查某班学生视力情况 D. 调查全国初一中学生的平均身高 4. 如图，已知与相切于点，是的直径，当，时，的度数是（ ） A B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（ ） A 52 B. 67 C. 84 D. 101 7. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与的交点为，点的对应点恰好落在边上，则为（ ） A. B. C. D. 8. 中国新能源汽车技术领先全球，产量从2016年45.9万台到2024年的1316.82万台，呈现显著上升趋势，重庆某新能源汽车销售公司2022年销售8万台，2024年销售达到12万台，且从2022年到2024年，每年销售数量增长率相同，设每年数量增长率为，则列方程得（ ） A. B. C. D. 9. 如图将矩形沿对角线折叠，使C落在处，交于点E，若，平分，则的长度为（ ） A 12cm B. C. D. 10. 关于x的多项式只含两项，可以写成（，均为非零常数，n为正整数），小米发现这个多项式还可以变成：（其中a，c，d等均为整数），下列说法中正确的个数为（ ） ①当这个关于x的多项式为时，则中的的和为5； ②a，c，d等看作系数，那么这个表达式的系数和不变，均为b； ③任意（其中m，n均为正整数且），则分解因式的结果中必有一项因式为； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：________． 12. 如图，，若，则的度数是________． 13. 一个不透明袋子中，装有除颜色外完全相同的2红1白两种颜色的3个小球，摸出1个球后记下颜色放回，再摸出第二个球，连续两次摸到红球的概率是________． 14. 若，，则的值为______． 15. 如图，四边形内接于，为的直径，，，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点．若，则________；________． 16. 一个四位自然数，若满足，则称这个数为“平方和数”．例如，四位数1052，∵，∴1052是“平方和数”，四位数6615，∵，∴6615也是“平方和数”．若是“平方和数”，那么________；将“平方和数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个数，规定，已知一个四位数是“平方和数”，若能被9整除，则满足条件的N的最小值为________． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 18. 如图，在四边形中，，连接，，且，． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点用作等角的方法作的平行线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形为正方形．（补全证明过程） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形（①________）， ∵， ∴②________． ∴四边形为矩形（③________）， 又∵，且 ∴④________． ∴⑤________． ∴矩形为正方形． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 先化简，再求值：，其中m，n是方程的两个不同根，且． 20. 潼南区开展了“聚光杯”首届师生创作竞赛活动，某校组织了全校七八年级的同学全部参加这项活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：87，82，83，86，85，87，87． 八年级20名学生竞赛成绩是：65，67，68，71，73，75，75，78，81，83，84，86，86，86，88，95，97，99，99，100． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 a 众数 87 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“聚光杯”首届师生创作竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生660人，八年级有学生600人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 21. 2025年9月13日19∶30分，渝超（2025重庆城市足球超级联赛）揭幕战正式在重庆市大田湾体育场举行．这一活动不仅能培养出足球精英人才，也有力地促进了重庆的足球经济发展．某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，已知每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多20元，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半． （1）求A、B两种足球每个的进价； （2）这批足球很快售完，该店计划再购进一批足球，此时每个A种足球的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了2m个；每个B种足球的进价上涨了m元，购进B种足球的数量在第一次的基础上减少了3m个，总花费4512元，求m的值． 22. 如图，为等边三角形，，点从点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到点停止，作交直线于点，设，点的运动时间为． （1）直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）无需计算，作出，结合函数图像直接写出时x的取值范围（取值中如有近似值，近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 潼南福山公园开放后，公园商品交易小摊点和公园环江沿岸步道成了市民晚餐后步行健身和夏季纳凉加购物的好去处，小学生小东和小南相约去大拇指儿童游乐园M处玩，电话联系时，小东正和爸爸在环江步道处散步，处在小南家正北方向，潼南区图书馆在小南家的北偏东方向上、在小东现在位置的北偏东方向上，在小南家的正东方向有一个便利店正好在的中点的正南方．已知潼南区图书馆与小东现在的位置相距2000米．（参考数据：，，） （1）求小南家到图书馆A的直线距离为多少米？（结果精确到个位） （2）若图中的、、、、都是同一平面内的健身步道，因小东到走路线，到图书馆后，要顺便花3分钟还书，小南走路线，要花6分钟购物，若小东和小南步行的速度都是400米每分钟．请经过计算说明小东和小南谁先到达M处？（结果精确到十分位） 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A、B的坐标为，，是抛物线对称轴上一段移动的线段，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在直线上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接、，当面积最大时，求出最小值； （3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接．点P为原抛物线对称轴上一点，若时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况． 25. 在等腰中，，点为边上一点，连结． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，将图1中线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，求出值． （3）如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，线段、交于点，连结，猜想线段、、的数量关系并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $