上海市杨浦区2026届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题

数学一模卷评分标准 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考 生应在答题纸的相应位置填写结果。 1.答案：（-3,2) 2.答案：π 3.答案：-2 4.答案：√5 5.答案：240 6.答案：2π 7.答案：2√5 8.答案： 1山 9.答案：7 12 10.答案：-3 11.答案：②③④ 12.答案：1926 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只 有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.B 14.C 15.A 16.B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 解：(1)连接AC,因为AA⊥平面ABCD, 所以∠ACA是直线AC与平面ABCD所成的角 2分 由AD=CD=2,∠ADC=90°，所以AC=2N2 在Rt△AAC中，AC=2W2,AA=4,∠AAC=90° 4分 所以tan∠ACA=4A=4=2,∠44C=arctan5 AC 22 即直线AC与平面ABCD所成角的大小为arctan2 6分 (2)三棱锥M-AA,C的体积'M-A4C=Vc-MMM 8分 点C到平面MAA,的距离为CB=AD=2 10分 1 写角形MA4的面积SAA=二·AA·BA=4 12分 所以三发桃M-4C的体家c=北u=片24-骨 14分 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 解（IDg)=snx+cosx+sn6x+孕+osx+孕-2cosx 1分 因为函数y=g(x)的定义域为R,且对任意x∈R, g(-x)=2cos(-x)=2cosx=g(x) 所以函数y=g(x)为偶函数： 6分 ②由/ic+7-hcoC+-=5osc=- ,可得cosC=-号 8分 4 由c2=a2+b2-2 abcosC可得：462=9+b2+3b,所以b=2 10分 2 由cosC=-Ce0,可得snC=四 12分 所以a18c份积S-bsnC-3正 14分 19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分) 解：(1)由频率之和为1结合频率分布直方图 可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,解得a=0.03, 4分 (2)由频率分布直方图知，样本答卷成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100] 的三组学生有100×10×(0.03+0.025+0.01)=65（人)， 其中样本答卷成绩在[70,80)的学生人数为100×10×0.03=30， 6分 用分层抽样的方法应从答卷成绩在[70,80)的学生中抽取30×13=6（人）. 8分 65 (3)由频率分布直方图1，成绩在[50,60)的学生人数为100×0.1=10， 成绩在[60,70)的学生人数为100×0.2=20， 10分 所以两组学生成绩的平均数2=10×54,4+20×664=62.4， 12分 10+20 两组学生成绩的方差 09n[52+(64-64]+02”n 9.2+66.4-62.4门=39.9 14分 10+20 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 解1)由S=5,可得3=C-Q-公=1 a2 三1-2，所以a2=8,即a=2V21分 ②设Pxo,N℃0则2，-，又M0, 2W5 为线段PW的中点，所以。= 6分 3 又0LP可4.8+9-0，即对18分 叉点P在椭盟C,所。+，所以a=3,即a=V月10分 3 8)设P(%.%>0,则M0空 2(xo,-o) 为0=2丽.所以） 12分 x+2哈=4 -2 1 B、Q代入椭圆方程 06=4 + 解得 14分 416 所以P 22,a） MP:y= 6.,4 6t 7 联立 =6x+7,7x2+2x-18=0则4 3214 -7，-14 16分 x2+2y2=4 3 所以kAB= √6 18分 2 21,（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 解：(1)函数(=x(xe[-2》是压缩函数2分 双：对任意6红分为，知-15+651 所以/(x)-fx2=x2-x=k+x2k-x2sk-x24分 (2)由题意，x,x2∈[0，小，都有f(x)-f(x2≤k-显然，当x=x,时，符合 不妨设x>x2,则f(x)-f(x≤-x3,即x3-x≤f(:)∫(2)x-x· 设g(x)=f(x)-x,在x∈[0，]上为减函数，h(x)=∫(x)+x,在x∈[0，]上为增函 数 g(x)=e*+(k-1)x,g(x)=e+(k-1)≤0，re[0,1] 所以-k+1≥(e）x=e,即k≤l-e. h(x)=e+(k+1)x,N(x)=e*+(k+1)≥0，x∈[0,1]. 所以-k-1≤(e）=1,即k≥-2. 所以k的取值范围是[-2,1-e] (3)证明：必要性：已知y=f(x)(x∈)为单调函数，不妨设y=f(x)在I上为增函数 任取x,∈1，不妨设x≤，则x≤+乏≤，由y=fx(x∈）为增函数 2 所以)f色sf, 进()-5到]x)-5到)s0:2分 充分性：已蜘任意西e1.均有〔)-空]心)-/产到)水0 假设y=f(x)(x∈I)不为单调函数， 则存在a,b,c∈I,a<b<c,使得f(a)<f(b)>f(c)或f(a)>f(b)<f(c), 不妨设f(a<f(b)>f(c),取实数1<2满足f(a),f(c)<,fb)>2 起4=a61=a,由于(a-生a-/生9)0 可知：f229)<名所以生*b, 2 若安<6，记4=a61-a,291,香则记=a41-空 2 重复上面的操作，可以得到区间1n=[an,cn]满足：an<b<cn,对任意n∈N 且区间1的长度，=c,-a=e-o,fa,c,)<3 因为函数y=f(x)(x∈)为压缩函数 可得：/)-fa,sb-ask.-a=2e-a), 又f(b)-f(an=f(b)-f(an)>2-元，记1=元2-元>0， 所以1<女e-o)对任意ne广杠成立 取%>1+le3(月).%eN,则2>2点c-,牙盾 所以y=f(x)(x∈I)为单调函数。 18分 5杨浦区2025学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科 2025.12. 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上 2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考 生应在答题纸的相应位置填写结果， 1,不等式=2<0的解集为 x+3 2.函数y=3sin(2x+)的最小正周期为 6 3.已知向量a=(2,3),b=(3x),且a⊥五，则实数x= 4若复数z满足：号=1-2，则4= 5.在二项式(x-2)‘的展开式中，x2的系数为. 6。已知圆锥的底面半径为1，高为√5，则该圆锥的侧面积为 7.圆C:(x-5)2+(y-3)2=10的圆心到直线l:x-y+2=0的距离为_ 8.已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为行4 23 ，两人各投一次，假设事件“甲命 中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为 9.等差数列{a,}的公差不为0，前n项和为S,若马，4,4，成等比数列，则山= a10 10.己知定义在R上的函数y=f(x)为奇函数，且g(x)= 2*x≥0 [f(x)x<0 为偶函数，则 f1og23)=_ 11.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象 并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA,NB均与水平面ABC垂直，在已测得可直接 到达的两点间距离AC,BC,且AC<BC,用测角仪测得 ∠MCA,NCB的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面 一个角：①∠ABC:②∠ACB:③∠BAC:④∠MCN, 其中一定能唯一确定M,N之间的距离有 (写出所有正确的序号) 12.数列A:41,a2,…,a1o0满足：a,∈N(1≤i≤100)，且1=41<a2<…<a1oo=2025,记集 合M()={(6,b2,…,bm)b=1,b0=2025,b=a1+1或b=a41-1,i=2,3,…,99.若 数列A满足：对任意（伯，b2,,b)∈M(A),均有b<b2<…<bo0,则称数列A是“好的” “好的”数列A的个数为」 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只 有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.已知实数4，b,c,d满足：a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是 A.a-c>b-d B.a+c>b+d C.ab>cd D.ac>bd 14,若m,n为两条不同直线，C,B为两个不同平面，则下列结论中正确的是 () A.若ml∥a,nca,则mlln B.若mlln,nca,则m∥a C.若m.ca,m⊥B,则a⊥B D.若mca,a⊥B,则m⊥B 15. 已知双曲线C:亡-上=l,点M(4,6,点A、B分别在双曲线C的左、右两支上，则 49 向量M、M压的夹角日 () A.有最大值，但无最小值 B.无最大值，但有最小值 C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值 16.函数y=f()的定义域、值域均为R,定义集合M。={非=f(x)-f(a),x之a.给出如下 两个结论：①存在函数y=f(x)，使得对任意实数a均有M。=[0,+∞)；②对任意函数 y=f(x),都存在实数b,使得对任意实数a均有M。≤M。.下面判断正确的是（) A.①正确，②正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①错误，②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤。 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在长方体ABCD-AB,CD中，M为BB上一动点，已知AD=CD=2, AA=4. (1) 求直线A,C与平面ABCD所成角的大小：（用反三角表示） (2) 求三棱锥M-LA,C的体积 A D 3 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数f(x)=sinx+cosx,x∈R. （1)记8)=/+/x+罗，求证：函数y=g)为偶函数 （2)在△4BC中，4B,C所对的边分别为a,c已知fC+马=- 41 4,a=3,c=2b, 求△ABC的面积. 19.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分) 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绒 (满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图。 (1)求频率分布直方图中a的值： (2)在考核成绩为[70,80)，[80,90)，[90,100的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人， 则考核成绩在[70,80)中的学生应抽取多少人？ (3)若落在[50,60)学生的平均成缋是54.4，方差是5.2，落在[60,70)学生的平均成缋为66.4， 方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到0.1） 领率 个组距 a 0.025 0.020 0.010 0.005 0405060708090100成统/分 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 知猫图C:+上二1a>V2),过动点M0,m)的直线交x轴于点N,交椭圆C于A 2 (点P在第一象限)，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q,延长OM交椭圆C于点B, (1)若椭圆C的离心率为 3 2 ，求a的值： (2)已知m= ,且B2是线段PN的垂直平分线，求a的值： 3 (3)己知a=2,点M是线段PN的中点，且OM=2M历，求直线AB的斜率， B A N 5 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知区间I三R,函数y=f(x)的定义域为I,若函数y=f(x)满足：对任意x,x2∈I, 均有f(名)-f(x2)≤：一x,则称函数y=∫(x)为压缩函数. (1) 州运数闪=父，xe[为是吞为压缩备数：并说明理由： (2)若函数f(x)=e+c,x∈[0,1]为压缩函数，求实数k的取值范围； (3) 已知函数y=f(x),x∈I为压缩函数，求证：y=f(x),x∈I为单调函数的充要条 件是：对任意e1,均有(x)色生]儿c)一生产)s0 6