上海市宝山区2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测（一模）数学试题

2026届宝山区高三一模数学标答 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.{2,4 2.y2=4x 3.45 4.11 5.12 6.,2] 7.ln2 88 12.15-6V5 4 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.A 14.B 15.D 16.C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 解：(I)连接取BF、AE交于点T,易知AF=BE,AF∥BE 所以四边形ABEF为矩形， 从而点T平分AE,又G是是AP的中点， 所以在△APE中，PE∥GT 又因为GTC平面BFG,PE立平面BFG G D 所以PE∥平面BFG (2)因为PD⊥底面ABCD,GF II PD M-. 所以GF⊥底面ABCD,且GF=PD B 过点E在平面ABCD内作EM⊥BF,垂足为M,则GF⊥EM 因为GF BE=P, 所以EM⊥平面BFG 所以点E到平面BFG的距离即为EM 在△BEF中，BE=1,EF=2,BE⊥EF,从而BF=√5 所以由等面积可得EM= 2-25 √55 即点E到平面BFG的距离为25. (2)也可以用等体积法或向量法解答，相应给分。 第1页共6页 18.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分) 解：(1)极差为32，则30+x-6=32,解得x=8 乙得分的平均值为24， 则亏2+25+26+20+y+30）=24,解得y=6 (2)得分在20分及以上的队员，甲队有3名.乙队有4名. 从而随机抽取2名学生，至少有1名来自乙队的概率： P风=Sc±S-9P=1-是-9 Cg (3)甲乙两队的平均分相等，则6+14+28+34+30+x=12+25+26+20+y+31 可得x=y+2 所以x+0 50+2, =y y y 又因为x,y∈N且4≤x≤9,6≤y≤9，从而8≤y+2≤9，所以y=6或7 当y=7时，x=9,x+50=3 y 7 5049 当y=6时，x=8,x+ y 3 所以+9的最大值为号，此时=87=6 y 19.（本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分) 解：(1)摩天轮的半径为30m,则A=30 中心点0距地面40m,则b=40 每12分钟转一图，则T=12,即2刀=12，解得0=产 6 所以y=30sin 1+p+40 6 点P的起始位置在摩天轮的最低点处，则1=0时，y=30sip+40=10 此时m=-1,又5r,所以0=受 所以侧关于am)的函数表达式为y=30sn(名/-引0=-0cos名1+40 (2)由题意得y=-30c0s二1+40>55 6 第2页共6页 即cos名1-2 1 6 其中1∈[0,12，则严1∈[0,2x] 6 (24 所以1∈(4,8) 所以在摩天轮转动的一圈内，点P有4分钟时间距离地面超过55m. 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分) 解：(1)由e=9=√2得c2=a2+h2=2a2, 化简得a2=b3 点伦-)在双接C上则导京1 计算得a2=b2=3 所以双曲线C的标准方程为；三 (2)由题意可知E4,0),TE=1 设Sxo,%),则x2-%2=3,k≥5，所以 1S7=5-1=(k。-4}+y%2-1=(。-42+x2-3-1 =2x2-8x0+12=2x0-22+4 当x。=2时，ST取得最小值2. (3)设点A(k,yB武x22) 易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=x+ 联立 2-y=3得6-k2k2-2kx-m2-3=0 y=kx+m 2km 由韦达定理：七+x22=二3 1-k2 且1-k2≠0，△=4k2m2-40-k2Xm2-3=46m2-3k2+3>0 第3页共6页 直线A的方限为y+1年-2小.令=0可得个。-1新号) 同理可得W 0,-1-2+2 x2-2 因为M、N关于原点对称，所以 -1-24+2+-1-2+2 =0 -2 3-2 所以-1-2c+m+2+-1-2,+m+2-0 x1-2 x2-2 整理得(2k+1)k2+(m-2k-1X+x2)-4m=0 代入韦达定理得+学兰+a-2-片=加 k2-1 化简得m2+(2k+4)m+32k+)=0 即(m+3m+2k+1)=0 当m+2k+1=0时，直线AB的方程为y=x-2k-1=k(x-2)-1此时直线过点P(2,-1),不合题意，舍： 当m=-3时，直线AB的方程为y=:x-3,此时直线过定点D0,-3) 则PD=V22+22=2√2为定值 又PQ⊥AB, 所以当R为PD中点时，DR=P=V2也为定值，此时R,-2), 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分). 解：()设g)=ara>0,a≠)，由腿意可知g兮=a=2,则a=4 所以f(x)=42x,g(x)=4 由42x-4"≥0得x≥0，即M={x|x≥0}. (2)f)=e-a 第4页共6页 设h(x)=xe-a(0<x<I) 因为h'(x)=e(1+x)>0,所以h(x)在(0，I)上是严格增函数 所以-a<h(x)<e-a, 又因为y=(x)在(0,1)上存在极值点1 所以-a(e-a)<0, 解得0<a<e. 由f')=0得，te-a=0,则e=a 所以F0=f0-g0=2e-aln1-a=29-ain1-a=2-t-th0, 因为0<a<e,0<1<1,所以2-1-1lnt>0, 从而F(t)>0,即t∈M. (3)①已知M={x},则当x≠x时，F(x)<0 因为y=F(x)是连续函数且F(x)≥0，所以F(x)=0 所以x。是y=F(x)的一个极大值点，故F'(x)=0 又F(x)=f(x)-(ar+b), f(x)-(ax。+b)=0 于是 f'(xo)-a=0 所以y=f(x)在x=x处的切线方程为：y-f(x)=f'(x)(x-x) 代入化简得y=x+b, 即h(x)=g(x) ②已知h(x)=g(x)=ax+b 又y=f(x)在x=x处的切线是y-f(xo)=f'(xo)x-xo),即 第5页共6页 h(x)=f(xo)x+f(xo)-xof'(xo). [f'(xo)=a F'(x)=0 所以 /,)-xf(x)=b'所以1 F(xo)=0 因为F'(x)=f'(x)-a 又因为y=∫'(x)是R上的严格减函数 所以y=F'(x)也是R上的严格减函数 当x>x时，F'(x)<F'(x)=0, 所以F(x)在(x,+o)上严格减，则F(x)<F(x) 当x<x时，F'(x)>F'(x)=0, 所以F(x)在(-∞，x)上严格增，则F(x)<F(x) 所以M={x|F(x)之O}={xo},必要性成立. 综上即证 第6页共6页2025学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位量按照要求答题； 4.可使用符合规定的计算器答题 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分)，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得 零分. 1.若全集U={,2,345,6},集合A=1,35,6,则A=一 2.焦点为1,0)的抛物线的标准方程为一 3.已知数列{an}为等比数列，且a,=3,公比g=2,则该数列的前4项的和等于 4.现从编号为01,02，，，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下 随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为（以下摘自随 机数表第7行). 398327763991853532591131404692350498221220671263 5(+ 的展开式中x的系数为. 6.关于x的方程x-+2-x=1的解集为 7.已知x)=n(2+x)+ln(l+ax)是偶函数，则函数y=f(x)的最大值为 8。已知第一象限的点(m,m)和(6,2)经过直线1，若直线1的倾斜角为135°，则上+4的最小 m n 值为 9.已知等腰△MBC中，A=受，B、F分别为AB、8C的中点，若C=1不+uG正， 则2=一 10.已知事件A与事件8互斥，它们都不发生的概率为 4 且P()=2P(B),则Pd)= 11.如图，点P在圆柱O,O的底面圆O的圆周上，AB为圆O 2025学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第1页共4页 的直径，∠AOP=120°，OA=3,A,B与底面圆0所成的角为30°，则异面直线4B与AP 所成角的余弦值为 12.空间中，向量a、五c满足：1a上2b上3引c非6，且、五c的两两夹角都是60，对 于向量兵、三，若c.名=12，g-a(g-=0,则|日-马1的最小值是一 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16愿每题5 分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内 的正确结论代号涂照，选对得相应满分，否则一律得零分)。 13.如果复平面上的向量AB所对应的复数是-】+2i,则向量BA所对应的复数是（) A.1-2i B.1+2i c.-1+2i D.-1-2i 14.若a:x-<1,B:x2-x<0,则a是B的 () A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D,既非充分又非必要条件 15.双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所 形成的曲面，如图所示.己知它的下口直径为20W10米，上口直径为20√2米，最小直径为 20米，高为80米，则此双曲线的焦距为 () A.10W5 B.105 C.20w3 D.20W5 16.对任意正整数n,数列{a}满足a-a。>1,则称该数列为“增长”数列. 命题1：存在4=-l的等差数列{a,}为“增长”数列，且满足其n前项和3.<_2n 2 命题2：存在各项均为正整数的等比数列{}为“增长”数列且凸)不是“增长”数列， 2 使得巴)为“增长”数列。 () n+1 A.①是真命愿，②是真命图： B.①是真命题，②是假命题： C.①是假命题， ②是真命题： D, ①是假命题，②是假命题， 2025学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第2页共4页 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号)内写出必要的步骤)· 17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形， E、F、G分别是BC、AD、PA的中点 P (1)证明：PE∥平面BFG: G (2)若AB=2,求点E到平面BFG的距离. D 18.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分) 某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图.已知x,yeN, 且4≤x≤9,6sy≤9. (1)若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中x和y的值： (2)从得分在20分及以上的队员中随机抽取2名，求至少有1名来自乙队的概率： 3)若甲乙两队的队员平均分相等，求x+如的最大值，并写出此时x和y的值， 甲 6 10 4 2 8 2 56y x431 19.（本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分) 如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y(m)关于时间t(min)的函数表达式为： y=Asin(@1+p+b,（4>0,w>0,网≤x).已知摩天轮的半径为30m,其中心点O距地面 40m,靡天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点 处. (1)根据条件具体写出y关于：的函数裴达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点P有多长时间距离地面 超过55m? 2025学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第3页共4页 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分) 已如双曲线C名-1a>0b>0)的离心率为，点P么-)在双曲线c卫 (1)求双曲线C的标准方程： (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E:(x-4}+y2=1上的动点，且直线ST与圆E 相切，求ST的最小值： (3)如图，A、B是双曲线C上两点，直线PA、PB与y轴分别交于点M、N,点2在直 线AB上.若M、N关于原点对称，且P2⊥AB,证明：存在点R,使得lQR为定值. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分). 已知连续函数y=f(x)和y=g(x),设F(x)=f(x)-g(x),集合M={x|F(x)20}, (1)若指数函数y=g)的图像过点（兮，2），且∫)=g(2x,求M: (2)若f(x)=e-anx,g(x)=a-e,且y=f(x)在区间(0，l)上存在极值点t,求 实数a的取值范围，并判断1是否网属于M,请说明理由： (3)若y=f(x)的导函数y=f"(x)是R上的严格减函数，g(x)=ax+b(a,b∈R),且 函数y=f(x)在x=x,处的切线方程是y=h(x).求证：“M={x}”的充要条件是 “h(x)=g(x)”. 2025学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第4页共4页