精品解析：河北省石家庄市第四十八中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试初二数学试卷 时间：90分钟 分值：100分 一、选择题（每题3分，共12题，共36分） 1. 下列实数中，无理数是（　　） A. B. 3.14 C. 0 D. 2. 二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 23.0是由四舍五入得来的近似数，那么下列各数中不可能是原数的是（ ） A. 23.04 B. 23.06 C. 22.99 D. 22.95 4. 下列正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 6. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 7. 要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案． 方案Ⅰ：如图1，先过点B作，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测量的长即可； 方案Ⅱ：如图2，过点B作，再由点D观测，用测角仪在的延长线上取一点C，使，则测量的长即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ和Ⅱ都不可行 8. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 9. 若取1.442，计算的结果是（ ） A. -100 B. -144．2 C. 144.2 D. -0.01442 10. 下列命题，逆命题是真命题的有（　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 是3的平方根 C. 无理数是无限小数 D. 若，则 11. 如图，在中，，，，将点与点分别沿和折叠，使点与点重合，则的周长为（　　） A. 12 B. 13 C. 16 D. 17 12. 如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每空2分，共14分） 13. ___________；___________． 14. 两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为___________． 15. 我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘得到相同的结果，则的值为___________． 2 1 3 16. 如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为______s． 17. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行_______ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_______ . 三、简答题（共7题，共50分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 19. 如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. （1）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： ①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． ②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） （2）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； （2）求剩余木料的面积； （3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 22. 【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的做法，如图，在△ABC中： （1）【问题1】下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N； ③画射线BP，交AC于点D． （2）【问题2】连接MP、NP，通过证明，得到∠ABD＝∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明的依据是______（填序号）． ①SAS．②ASA．③AAS．④SSS． （3）【问题3】若AB＝16，BC＝14，，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长． 23. 观察下表，并用所得的规律解决问题： （1）发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； （2）应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； （3）拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 24. 【问题初探】 （）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，且，点在的延长线上，连接，．求证：． ①小明的解题思路：如图，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②小涛的解题思路：如图，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，其中，，请直接写出的面积． 【类比分析】 （）如图，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试初二数学试卷 时间：90分钟 分值：100分 一、选择题（每题3分，共12题，共36分） 1. 下列实数中，无理数是（　　） A. B. 3.14 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数，区分有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）与无理数． 根据无理数的定义，逐一判断选项中的数是否为无限不循环小数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数． A、是分数，属于有理数； B、3.14是有限小数，属于有理数； C、0是整数，属于有理数； D、是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 2. 二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零．据此求解即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴被开方数， 解得． 故选：A． 3. 23.0是由四舍五入得来的近似数，那么下列各数中不可能是原数的是（ ） A. 23.04 B. 23.06 C. 22.99 D. 22.95 【答案】B 【解析】 【分析】根据四舍五入的方法分别把四个数进行四舍五入后进行判断． 【详解】解：根据四舍五入法可知，23.06精确到十分位是23.1，不可能是23.0， 故选B. 【点睛】本题考查近似数和有效数字，此题不是由准确数求近似数，而是由近似数求准确数可能的取值，这是对逆向思维能力的考查． 4. 下列正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根的运算性质，解题的关键是掌握平方根的运算法则：，同时注意平方根与算术平方根的计算性质． 根据平方根的运算性质，逐一分析每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，因为平方根不满足，故A错误； B、根据平方根性质．，故B正确； C、，而，两者不相等，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 5. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应角相等． 6. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】A 【解析】 【详解】解：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9， ∵6.76＜7＜7.29， ∴， ∴的点落在段①， 故选A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方． 7. 要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案． 方案Ⅰ：如图1，先过点B作，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测量的长即可； 方案Ⅱ：如图2，过点B作，再由点D观测，用测角仪在的延长线上取一点C，使，则测量的长即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ和Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】方案Ⅰ中可用证明，从而得到；方案Ⅱ中可用证明，从而得到． 【详解】解：如图1所示，∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴测量的长即可，故方案Ⅰ可行； 如图2所示，∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴测量的长即可，故方案Ⅱ可行； 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确理解题意并熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 8. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 9. 若取1.442，计算的结果是（ ） A. -100 B. -144．2 C. 144.2 D. -0.01442 【答案】B 【解析】 【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可． 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键． 10. 下列命题，逆命题是真命题的有（　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 是3的平方根 C. 无理数是无限小数 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，解题的关键是先写出每个命题的逆命题，再根据相关数学概念判断逆命题的真假． 先写出每个选项中原命题的逆命题，再结合全等三角形、平方根、无理数、立方根的性质，逐一判断逆命题的真假． 【详解】解：逆命题是将原命题的条件和结论互换得到的新命题，依次分析个选项： A、原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”．对应角相等的三角形仅相似，不一定全等，故逆命题为假命题； B、原命题“是3的平方根”的逆命题是“3的平方根是”． 3的平方根是，并非只有，故逆命题为假命题； C、原命题“无理数是无限小数”的逆命题是“无限小数是无理数”．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），故逆命题为假命题； D、原命题“若，则“”的逆命题是“若，则”．故逆命题为真命题． 故选：D． 11. 如图，在中，，，，将点与点分别沿和折叠，使点与点重合，则的周长为（　　） A. 12 B. 13 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠可得，进而可得的周长等于的长，即可求解． 【详解】解：∵点与点分别沿和折叠，使点与点重合， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 12. 如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定． 【详解】解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确； ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠CGF=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确； 分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ ∵BD=CE ∴AM=AN ∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD． 故③错误； ∵平分∠BFE， ∴ 故④正确． 故答案为C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键． 二、填空题（每空2分，共14分） 13. ___________；___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题考查绝对值的化简与分母有理化，解题的关键是掌握绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），以及分母有理化的方法（乘共轭根式）． ①根据与3的大小关系，利用绝对值的性质化简；②通过给分子分母同乘共扼根式，进行分母有理化计算． 【详解】解：①， ， ； ② ． 故答案为：；． 14. 两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为___________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，把实际问题转化为数学问题求解是解题的关键；根据两把长方形直尺相同，表明点P到射线的距离相等，由角平分线的判定定理知，射线是角平分线，即可求解． 【详解】解：∵两把长方形直尺相同， ∴点P到射线的距离相等， ∴射线是的平分线， ∴， 故答案为：． 15. 我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘得到相同的结果，则的值为___________． 2 1 3 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算及幻方的性质，解题的关键是利用“每一横、竖、斜对角的3个数相乘结果相同”这一规则，通过已知行／列的乘积建立等式求解． 先计算出第一行的乘积（即幻方的公共乘积），再结合第一列的乘积等于公共乘积，列方程求解的值． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为______s． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 17. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行_______ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_______ . 【答案】 ①. 3 ②. 255 【解析】 【详解】①∵根据定义，， ∴对81只需进行3 次操作后变为1. ②设，x为正整数，则，∴，即最大正整数是3. 设，为正整数，则，∴，即最大正整数是15. 设，为正整数，则，∴，即最大正整数是255. ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255. 故答案为3，255. 三、简答题（共7题，共50分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）根据除法法则，进行计算即可； （2）先化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可； （3）先化简，再合并同类二次根式即可； （4）利用平方差公式，二次根式的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ． 【小问4详解】 ． 19. 如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ， ∵， ∴， ∴． 20. （1）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： ①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． ②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） （2）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 （1）①解：画出下列其中一种即可 ②解：画出下列其中一种即可 （2）如图所示，点即为所求 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形、轴对称图形，作垂直平分线以及垂直平分线的性质； （1）①直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； ②直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． （2）作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质，即可得出 【详解】略 21. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； （2）求剩余木料的面积； （3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【小问1详解】 解：，， 【小问2详解】 矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积； 【小问3详解】 剩余木条的长为，宽为， ∵，， ∴能截出个木条． 22. 【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的做法，如图，在△ABC中： （1）【问题1】下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N； ③画射线BP，交AC于点D． （2）【问题2】连接MP、NP，通过证明，得到∠ABD＝∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明的依据是______（填序号）． ①SAS．②ASA．③AAS．④SSS． （3）【问题3】若AB＝16，BC＝14，，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长． 【答案】（1）②①③； （2）④； （3） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答； （2）根据全等三角形的判定定理和性质定理解答； （3）过点D作DF⊥BC与F，根据角平分线的性质定理得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③， 故答案为：②①③； 【小问2详解】 在△MBP和△NBP中， ， ∴△MBP≌△NBP（SSS）， ∴∠ABD＝∠CBD， 故答案为：④； 【小问3详解】 过点D作DF⊥BC于F， ∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD． 即． ∴DE＝5． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的作法，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 23. 观察下表，并用所得的规律解决问题： （1）发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； （2）应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； （3）拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】（1）三；一 （2）①；②； （3）． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【小问1详解】 解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； 【小问2详解】 解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； 【小问3详解】 解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 24. 【问题初探】 （）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，且，点在的延长线上，连接，．求证：． ①小明的解题思路：如图，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②小涛的解题思路：如图，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，其中，，请直接写出的面积． 【类比分析】 （）如图，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，请直接写出的面积． 【答案】 （）小明的解题思路证明如下： 证明：此时， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ； 小涛同学的解题思路证明如下： 证明：在线段上截取， 则是等腰直角三角形， 得，， ， ， 又， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （）的面积为； （）的面积为． 【解析】 【分析】（）选择小明或小涛的解题思路，按照其思路逐步推理即可得证； （）过点作于点，则，证明可得，，再证明 可得，，根据线段的和差求出后即可求解； （）过作于点，则，证明得到，再证明可得，，进而得到即可求解． 【详解】（）略 （）解：如图，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ． （）如下图，过作于点，则， ， 。 ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $