第18章 分式单元复习（全章知识点总结+ 12大题型举+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册易错点重难点培优专项复习

该初中数学分式单元复习讲义通过知识框架和表格系统梳理分式概念、性质、运算及方程等核心知识点，清晰呈现重难点分布与内在联系，突出分式化简求值、方程解法等关键内容及易错点警示。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础巩固到拓展培优，结合整体代换、设参数法等技巧培养运算能力与推理意识，通过行程问题等实际应用发展模型意识。例题与变式题适配不同学生，助力教师精准教学和学生自主复习提升。

第十八章 分式 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 （一）分式的相关概念 类别 核心条件 示例 分式的定义 形如（、是整式，且中含有字母，）的式子 、是分式；是整式 分式有意义 分母不为0（，若分母因式分解则各因式均不为0） 分式有意义；有意义且 分式无意义 分母为0() 分式无意义 分式值为0 分子为0且分母不为0(且) 分式值为0且 (二)分式的基本性质 1.基本性质：，(、、是整式，) 2.符号法则：(改变分子、分母、分式本身任意两个符号，分式值不变) 3.约分与通分： 约分：约去分子分母的公因式，化为最简分式(分子分母无公因式) 通分：找各分母的最简公分母(系数最小公倍数×所有因式最高次幂)，化为同分母分式 (三)分式的运算 运算类型 法则 乘法 分子乘分子，分母乘分母，先因式分解再约分 除法 除以一个分式等于乘它的倒数 同分母加减 分母不变，分子相加减，结果约分 异分母加减 先通分，再按同分母分式加减法则运算 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内(先小后中) 整数指数幂 ；；；() (四)科学记数法 表示较小数：一般形式为(，为原数左边第一个非零数字前0的个数) 示例：； (五)分式方程 定义：分母中含有未知数的方程(如) 2.解法步骤： 去分母：两边乘最简公分母，转化为整式方程 解整式方程：求解一元一次(或二次)方程 检验：代入最简公分母，若不为0则是原方程的解；若为0则是增根，原方程无解 3.应用：行程问题、工程问题、购物问题等(关键：找等量关系，设未知数，列分式方程) 二、重难点突破 (一)重点内容 1.分式的化简与求值：掌握因式分解、约分、通分技巧，结合整体代换、设参数等方法 2.分式方程的解法：去分母转化整式方程，核心是检验步骤 3.分式方程的实际应用：找准等量关系，建立方程模型 (二)难点内容 分式化简求值的技巧：整体代换(如已知，求代数式值)、设参数法(连比问题)、倒数法 2.分式方程增根与无解的区别： 增根：整式方程的解使最简公分母为0(原方程无解的一种情况) 无解：①整式方程无解；②整式方程有解但为增根 3.分式运算中符号的处理：异分母加减、除法转化乘法时的符号变化 三、高频易错点警示 易错点 错误示例 正确做法 忽略分式有意义的条件 认为值为0时 值为0需分子为0且分母不为0，故(时分母为0，无意义) 分式方程忘记检验 解得，直接写解为 检验：时最简公分母，是增根，原方程无解 通分时分母漏乘整式项 通分时， 分子分母同乘，应为 整数指数幂运算错误 积的乘方分配到每一项： 约分时分子分母漏约公因式 先因式分解分子： 分式方程去分母时常数项漏乘 解时，去分母得 最简公分母为，常数项1需乘公分母： 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【基础巩固篇】 【题型1】分式有意义、无意义及值为0的判断 1.核心知识点总结 有意义：分母；无意义：分母；值为0：分子且分母 含因式分解的分母需保证所有因式均不为0 2.高频考点梳理 直接判断单一分式的条件 结合绝对值、平方等非负性判断分式值为0的条件 3.易错点警示 遗漏“值为0需分母不为0”的条件 因式分解后漏看某一因式为0的情况(如值为0时且，故) 4.解题技巧拆解 步骤：①判断类别(有意义/无意义/值为0)；②列条件(等式或不等式)；③求解并检验(值为0时) 【例题1】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当取 值时，分式没有意义 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）当x取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当的值为 时，分式的值为零． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·福建福州·期中）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2】分式基本性质的应用(含约分、通分) 1.核心知识点总结 基本性质：分子分母同乘(除)非零整式，值不变；符号法则：“两变不变” 约分：先因式分解，再约去公因式；通分：先找最简公分母 2.高频考点梳理 分式系数化整(如化为整数系数) 判断分式变形是否正确(如2024山西阶段练习题) 已知分式变形求字母值 3.易错点警示 系数化整时分子分母漏乘某项(如错误化为，正确为) 符号变形时只变一个符号(如错误化为，正确为) 4.解题技巧拆解 系数化整：分数分母取最小公倍数，小数乘(为小数位数最多的位数) 约分步骤：因式分解→找公因式→约去(注意符号) 【例题2】．（25-26八年级上·北京·期中）下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）分式与的最简公分母为 ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【题型3】分式的加减乘除基础运算 1.核心知识点总结 同分母加减：分母不变，分子相加减；异分母加减：先通分再加减 乘除：先因式分解，再约分，最后计算 2.高频考点梳理 同分母/异分母分式加减 分式乘除混合运算(不含括号) 3.易错点警示 异分母加减漏通分，直接分子分母分别加减(如错误化为) 除法未转化为乘法直接约分(如错误化为) 【例题3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知．求的值． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·北京·期中）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 4.解题技巧拆解 运算顺序：先乘除后加减，同级运算从左到右 关键步骤：因式分解(平方差、完全平方公式)→约分→合并同类项 【题型4】整数指数幂与科学记数法 1.核心知识点总结 负整数指数幂：()；零指数幂：() 科学记数法：较小数表示为() 2.高频考点梳理 整数指数幂混合运算 用科学记数法表示较小数 3.易错点警示 零指数幂忽略的条件(如认为，实际无意义) 科学记数法中的个数数错(如错误表示为，正确为) 4.解题技巧拆解 指数运算：先转化为正指数幂，再按幂的运算法则计算 科学记数法：数清非零数字前的0的个数，即为的值 【例题4】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算 ． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ． 【变式题4-2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）计算： 【变式题4-3】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（    ） A．5 B． C． D． 【题型5】解基础分式方程 1.核心知识点总结 解法核心：去分母转化为整式方程，关键步骤是检验 最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积 2.高频考点梳理 解不含参数的分式方程 解可化为一元一次方程的分式方程 3.易错点警示 去分母时常数项或整式项漏乘最简公分母 检验步骤遗漏，导致增根作为解 4.解题技巧拆解 步骤：①找最简公分母；②去分母(每一项都乘公分母)；③解整式方程；④检验(代入公分母，不为0则为解) 【例题5】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）解分式方程 (1) (2) 【变式题5-2】．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）下面是于老师在批改作业时，薇薇同学和萱萱同学解分式方程的过程，请认真阅读后解决问题： 薇薇： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 萱萱： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． (1)找出薇薇和萱萱解分式方程过程中的错误，并写出正确过程； (2)请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______ 得．                            第一步 去括号，得．                    第二步 移项、合并同类项，得．                    第三步 系数化为1，得．                            第四步 (1)第一步中横线处应填__________，这一步的依据是__________． (2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 【题型6】分式方程的简单实际应用 1.核心知识点总结 行程问题：路程=速度×时间；工程问题：工作量=工作效率×时间 关键：找等量关系(如“时间差”“效率倍数”) 2.高频考点梳理 行程问题 工程问题 3.易错点警示 单位不统一(如速度单位km/h与时间单位min混淆) 等量关系列错(如“少用2小时”错误列为“时间+2”) 4.解题技巧拆解 步骤：①设未知数(设直接或间接未知数)；②找等量关系列方程；③解方程并检验(兼顾方程解和实际意义)；④答 【例题6】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，A，B两海港相距，甲、乙两船同时从B港驶出．乙船直接驶向A港．甲船先驶向C海港，后到达C港，然后立即返回B港，驶达B港后，又立即驶向A港，最后与乙船同时到达A港．已知甲船的速度是乙船速度的倍，求甲、乙两船的速度．（水流速度不计） 【变式题6-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）一项工程原计划由人在一定时间内完成，但从开工之日起就采用了提高工作效率的新技术，这样，改用人去工作，结果还比原计划提前天完成．那么，采用新技术完成这项工程用时多少天？ 【变式题6-2】．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品进价比B种文创产品进价每件多3元，用140元购进A种文创产品的件数与用80元购进B种文创产品的件数相同． (1)求，两种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进A种文创产品多少件？ 【变式题6-3】．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 近日，汉堡节全国巡演落地山城重庆，某商家销售牛肉堡和鲜虾堡两种汉堡，第一天每小时制作牛肉堡的数量比每小时制作鲜虾堡多20个，2小时制作的牛肉堡的数量比3小时制作的鲜虾堡的数量多25个． (1)求该商家第一天每小时制作的牛肉堡和鲜虾堡数量分别是多少个？ (2)由于活动火爆，第二天商家决定优化汉堡制作流程，每小时制作鲜虾堡增加的数量是每小时制作牛肉堡增加数量的2倍，当天制作牛肉堡400个， 鲜虾堡250个，且制作牛肉堡的时间是制作鲜虾堡时间的1.2倍，求第二天每小时制作牛肉堡的数量． 【能力提升篇】 【题型7】分式方程的增根与无解问题(提升) 1.核心知识点总结 增根：使最简公分母为0的整式方程的解(原方程无解) 无解：①整式方程无解；②整式方程有解但为增根 2.高频考点梳理 已知分式方程有增根，求参数值 已知分式方程无解，求参数值(如方程无解) 3.易错点警示 混淆“增根”与“无解”(认为有增根就是无解，忽略整式方程本身无解的情况) 求增根时未先化简最简公分母(如的增根为和，漏看其一) 4.解题技巧拆解 步骤：①去分母得整式方程；②求增根(令最简公分母为0)；③将增根代入整式方程求参数(增根问题)；④若整式方程无解，直接求参数(如一次方程无解则且) 【例题7】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 【变式题7-1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知关于的分式方程有增根，则增根是 ． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 【题型8】分式混合运算创新题(提升) 1.核心知识点总结 拆项法：将分式拆分为两个分式的和/差(如) 凑整法：将代数式凑成已知条件的形式(如) 2.高频考点梳理 含拆项的分式加减运算(如) 复杂分式混合运算(含括号、因式分解、约分综合) 3.易错点警示 拆项时符号错误(如错误拆为，正确为) 混合运算顺序错误(先加减后乘除) 4.解题技巧拆解 拆项技巧：观察分母因式，拆分为“分子为1的两个分式差” 运算顺序：先算括号内(拆项化简)，再乘除，最后加减，分步约分 【例题8】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 【变式题8-1】．（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·北京·阶段练习）阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） ； （2）当时，最后一项 ． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且n>m）． (3)若，试求的值． 【题型9】分式规律探究题(培优) 1.核心知识点总结 规律类型：①分式的系数、分子、分母分别成规律(如，，…)；②循环规律(如) 关键：分析分子、分母、符号的变化规律，归纳通项公式 2.高频考点梳理 求第个分式的表达式 循环规律中求第项的值(如已知，求) 3.易错点警示 漏看符号规律(如分式交替为正负数，未含) 循环周期判断错误(如周期为3，错误判断为4) 4.解题技巧拆解 步骤：①列出前3-4项，分析分子、分母、符号的变化；②归纳规律(系数、指数、符号分别归纳)；③验证规律，写出通项公式；④循环规律需先求周期，再用除以周期求余数 【例题9】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【变式题9-1】．（2024·安徽·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：； 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______ (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式题9-2】．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并说明理由． 【变式题9-3】．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型10】分式方程与不等式结合问题(提升) 1.核心知识点总结 结合方式：①分式方程的解满足不等式(如解为正数、非负数)；②不等式的解作为分式方程的限制条件 关键：先解分式方程(用参数表示解)，再列不等式(兼顾分母不为0) 2.高频考点梳理 已知分式方程的解为正数，求参数取值范围 分式方程的解满足不等式组，求整数参数值 3.易错点警示 忽略分式方程解的分母不为0的条件(如解为，只列，漏列) 不等式求解时符号方向错误(如两边乘负数未变号) 4.解题技巧拆解 步骤：①解分式方程(用参数表示解)；②列条件：；③解不等式组，求参数范围 【例题10】．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数代入求值． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 【变式题10-2】．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【拓展培优篇】 【题型11】分式复杂实际应用问题(培优) 1.核心知识点总结 复杂类型：①多变量行程/工程问题(如往返速度不同、多人合作)；②分段计费与分式结合(如不同阶段单价不同，求平均单价) 关键：分阶段找等量关系，设多个未知数后消元 2.高频考点梳理 多变量工程问题(如甲先做20天，乙加入合作，提前完成任务) 分段计费问题(如两次购买面粉，单价不同，求平均单价) 3.易错点警示 多变量时设未知数过多，未找到消元方法 分段计费时漏算某一阶段的工作量/路程 4.解题技巧拆解 多变量：设核心未知数(如甲的效率)，用含核心未知数的式子表示其他量(如乙的效率) 分段计费：分阶段列代数式，再结合总工作量/总路程列分式方程 【例题11】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【变式题11-1】．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天． (注：工作天数取整数) (1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？ (2)如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用低于7900元，则两工程队最多可以合作施工多少天？ 【变式题11-2】．（24-25八年级下·山东济南·期中）请根据材料中的信息，解决相关问题： 背景知识 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度． 相关素材 素材一：用电高峰时段(简称峰时)为，用电低谷时段简称谷时为次日，峰时电价比谷时电价高元度； 素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等； 素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为度，电费不超过元． 问题解决 问题1：求该市峰时电价与谷时电价； 问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？ 【变式题11-3】．（2025·广西南宁·二模）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 【题型12】分式新定义问题（培优） 【例题12】．（25-26八年级上·北京延庆·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【变式题12-1】．（25-26八年级上·河北衡水·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)分式是分式的“雅中式”，则关于的“雅中值”为 ． (2)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (3)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 【变式题12-3】．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列代数式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则的值为 D．分式是最简分式 5．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（） A．3 B． C．1 D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海·期中）将分式表示成不含有分母的形式： ． 7．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出与分式相等的两个分式． 9．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 10．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 12．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元．“五一”期间对这种瓶装饮料进行促销，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价的九折销售．那么，这家超市销售这种饮料的原价是每瓶多少元？ 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 （一）分式的相关概念 类别 核心条件 示例 分式的定义 形如（、是整式，且中含有字母，）的式子 、是分式；是整式 分式有意义 分母不为0（，若分母因式分解则各因式均不为0） 分式有意义；有意义且 分式无意义 分母为0() 分式无意义 分式值为0 分子为0且分母不为0(且) 分式值为0且 (二)分式的基本性质 1.基本性质：，(、、是整式，) 2.符号法则：(改变分子、分母、分式本身任意两个符号，分式值不变) 3.约分与通分： 约分：约去分子分母的公因式，化为最简分式(分子分母无公因式) 通分：找各分母的最简公分母(系数最小公倍数×所有因式最高次幂)，化为同分母分式 (三)分式的运算 运算类型 法则 乘法 分子乘分子，分母乘分母，先因式分解再约分 除法 除以一个分式等于乘它的倒数 同分母加减 分母不变，分子相加减，结果约分 异分母加减 先通分，再按同分母分式加减法则运算 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内(先小后中) 整数指数幂 ；；；() (四)科学记数法 表示较小数：一般形式为(，为原数左边第一个非零数字前0的个数) 示例：； (五)分式方程 定义：分母中含有未知数的方程(如) 2.解法步骤： 去分母：两边乘最简公分母，转化为整式方程 解整式方程：求解一元一次(或二次)方程 检验：代入最简公分母，若不为0则是原方程的解；若为0则是增根，原方程无解 3.应用：行程问题、工程问题、购物问题等(关键：找等量关系，设未知数，列分式方程) 二、重难点突破 (一)重点内容 1.分式的化简与求值：掌握因式分解、约分、通分技巧，结合整体代换、设参数等方法 2.分式方程的解法：去分母转化整式方程，核心是检验步骤 3.分式方程的实际应用：找准等量关系，建立方程模型 (二)难点内容 分式化简求值的技巧：整体代换(如已知，求代数式值)、设参数法(连比问题)、倒数法 2.分式方程增根与无解的区别： 增根：整式方程的解使最简公分母为0(原方程无解的一种情况) 无解：①整式方程无解；②整式方程有解但为增根 3.分式运算中符号的处理：异分母加减、除法转化乘法时的符号变化 三、高频易错点警示 易错点 错误示例 正确做法 忽略分式有意义的条件 认为值为0时 值为0需分子为0且分母不为0，故(时分母为0，无意义) 分式方程忘记检验 解得，直接写解为 检验：时最简公分母，是增根，原方程无解 通分时分母漏乘整式项 通分时， 分子分母同乘，应为 整数指数幂运算错误 积的乘方分配到每一项： 约分时分子分母漏约公因式 先因式分解分子： 分式方程去分母时常数项漏乘 解时，去分母得 最简公分母为，常数项1需乘公分母： 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【基础巩固篇】 【题型1】分式有意义、无意义及值为0的判断 1.核心知识点总结 有意义：分母；无意义：分母；值为0：分子且分母 含因式分解的分母需保证所有因式均不为0 2.高频考点梳理 直接判断单一分式的条件 结合绝对值、平方等非负性判断分式值为0的条件 3.易错点警示 遗漏“值为0需分母不为0”的条件 因式分解后漏看某一因式为0的情况(如值为0时且，故) 4.解题技巧拆解 步骤：①判断类别(有意义/无意义/值为0)；②列条件(等式或不等式)；③求解并检验(值为0时) 【例题1】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当取 值时，分式没有意义 【答案】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式无意义的条件是分母为零，据此解答即可． 【详解】解：当分母时，分式没有意义， 即， 解得， 故答案为：． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）当x取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义的条件，当分式的分母不为0时，分式有意义． （1）根据分式有意义的条件得到，求解即可； （2）根据分式有意义的条件得到，求解即可 【详解】（1）解：要使分式有意义，则，即． （2）解：要使分式有意义，则，即． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当的值为 时，分式的值为零． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子，解得， 且分母，即 ． 当 时，分母，满足条件． 故答案为：2． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·福建福州·期中）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零解答 【详解】∵分式 有意义， ∴分母 ， ∴ ， 故选：B 【题型2】分式基本性质的应用(含约分、通分) 1.核心知识点总结 基本性质：分子分母同乘(除)非零整式，值不变；符号法则：“两变不变” 约分：先因式分解，再约去公因式；通分：先找最简公分母 2.高频考点梳理 分式系数化整(如化为整数系数) 判断分式变形是否正确(如2024山西阶段练习题) 已知分式变形求字母值 3.易错点警示 系数化整时分子分母漏乘某项(如错误化为，正确为) 符号变形时只变一个符号(如错误化为，正确为) 4.解题技巧拆解 系数化整：分数分母取最小公倍数，小数乘(为小数位数最多的位数) 约分步骤：因式分解→找公因式→约去(注意符号) 【例题2】．（25-26八年级上·北京·期中）下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 需检查每个选项的变形是否符合此性质． 【详解】A：∵， ∴A错误． B：∵， ∴B正确． C：∵，∴， ∴C错误． D：∵， ∴D错误． 故选：B． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键； 分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解． 【详解】解：、分子分母含公因式，可约分为，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）分式与的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义．求两个分式的最简公分母，需先确定分母系数的最小公倍数，再取各字母因子的最高次幂． 【详解】解：分式与的分母分别是，，故最简公分母是． 故答案为：． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 【题型3】分式的加减乘除基础运算 1.核心知识点总结 同分母加减：分母不变，分子相加减；异分母加减：先通分再加减 乘除：先因式分解，再约分，最后计算 2.高频考点梳理 同分母/异分母分式加减(如2024天津中考题) 分式乘除混合运算(不含括号) 3.易错点警示 异分母加减漏通分，直接分子分母分别加减(如错误化为) 除法未转化为乘法直接约分(如错误化为) 4.解题技巧拆解 运算顺序：先乘除后加减，同级运算从左到右 关键步骤：因式分解(平方差、完全平方公式)→约分→合并同类项 【例题3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算和乘法公式，掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键．根据分式的乘除混合运算和乘法公式化简后代入求值即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·北京·期中）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算； （1）先把除法化为乘法运算，然后根据分式的性质化简即可求解； （2）先把除法化为乘法运算，然后根据分式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1) 二；去括号时未变号 (2) 正确过程见解析；当时，值为 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确运用分式运算法则（通分、因式分解、约分），注意去括号时的符号处理． （1）观察化简步骤，判断错误步骤及符号处理的错误原因； （2）先对括号内分式通分并正确化简分子，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式，选择使分式有意义的整数代入求值． 【详解】（1）解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时符号处理错误，未将中的变为； 故答案为：二；去括号时未变号； （2）解：原式 ． 选 ，代入得：原式． 【题型4】整数指数幂与科学记数法 1.核心知识点总结 负整数指数幂：()；零指数幂：() 科学记数法：较小数表示为() 2.高频考点梳理 整数指数幂混合运算 用科学记数法表示较小数(如2024黑龙江大庆中考题) 3.易错点警示 零指数幂忽略的条件(如认为，实际无意义) 科学记数法中的个数数错(如错误表示为，正确为) 4.解题技巧拆解 指数运算：先转化为正指数幂，再按幂的运算法则计算 科学记数法：数清非零数字前的0的个数，即为的值 【例题4】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题4-2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算零指数幂与负整数指数幂、算术平方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【题型5】解基础分式方程 1.核心知识点总结 解法核心：去分母转化为整式方程，关键步骤是检验 最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积 2.高频考点梳理 解不含参数的分式方程 解可化为一元一次方程的分式方程 3.易错点警示 去分母时常数项或整式项漏乘最简公分母 检验步骤遗漏，导致增根作为解 4.解题技巧拆解 步骤：①找最简公分母；②去分母(每一项都乘公分母)；③解整式方程；④检验(代入公分母，不为0则为解) 【例题5】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后并检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后并检验即可． 【详解】（1）解：， 方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）解：， 方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是将分式方程化为一元一次方程求解． （1）通过观察分母关系，将方程化简后求解； （2）通过寻找公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解． 【详解】（1）解： ， 方程化为， 去分母可得， 解得， 经检验，是方程的解， 故方程的解为； （2）解：， ∵，且 ，， 两边同乘以，得 ， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 解得 ， 经检验，是方程的解， 故方程的解为． 【变式题5-2】．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）下面是于老师在批改作业时，薇薇同学和萱萱同学解分式方程的过程，请认真阅读后解决问题： 薇薇： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 萱萱： 解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． (1)找出薇薇和萱萱解分式方程过程中的错误，并写出正确过程； (2)请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)薇薇解分式方程的错误是：去分母时漏乘整式项，导致后面的步骤全部错误；萱萱解分式方程的错误是：解方程没有验根；过程见解析 (2)方程两边同乘最简公分母时，每一项都要乘，不要漏掉 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）薇薇去分母时，常数项漏乘最简公分母，出错，萱萱没有进行检验出错，根据解分式方程的步骤解方程即可； （2）根据两位同学的错误，提出建议即可． 【详解】（1）薇薇解分式方程的错误是：去分母时漏乘整式项，导致后面的步骤全部错误， 萱萱解分式方程的错误是：解方程没有验根， 正确过程为： 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）①方程两边同乘最简公分母时，每一项都要乘，不要漏掉， ②解分式方程必须要验根等．（答案不唯一） 【变式题5-3】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______ 得．                            第一步 去括号，得．                    第二步 移项、合并同类项，得．                    第三步 系数化为1，得．                            第四步 (1)第一步中横线处应填__________，这一步的依据是__________． (2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 【答案】(1)；等式的基本性质 (2)步骤见解析，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是熟练掌握分式方程的求解步骤． （1）根据分式去分母的原则可知，该方程等号两边同乘即可去分母； （2）根据分式方程中分母不为零的原则即可知需进行检验． 【详解】（1）解：第一步中划横线处应为， 这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质； 故答案为：；等式的基本性质； （2）解：检验：当时，， 是原方程的增根，原方程无解. 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验． 【题型6】分式方程的简单实际应用 1.核心知识点总结 行程问题：路程=速度×时间；工程问题：工作量=工作效率×时间 关键：找等量关系(如“时间差”“效率倍数”) 2.高频考点梳理 行程问题 工程问题 3.易错点警示 单位不统一(如速度单位km/h与时间单位min混淆) 等量关系列错(如“少用2小时”错误列为“时间+2”) 4.解题技巧拆解 步骤：①设未知数(设直接或间接未知数)；②找等量关系列方程；③解方程并检验(兼顾方程解和实际意义)；④答 【例题6】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，A，B两海港相距，甲、乙两船同时从B港驶出．乙船直接驶向A港．甲船先驶向C海港，后到达C港，然后立即返回B港，驶达B港后，又立即驶向A港，最后与乙船同时到达A港．已知甲船的速度是乙船速度的倍，求甲、乙两船的速度．（水流速度不计） 【答案】甲船的速度为, 乙船的速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙船的速度为,则甲船的速度为，利用时间路程速度，结合从港到港乙船所用时间比甲船多,可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值 (即乙船的速度)，再将其代入中，即可求出甲船的速度． 【详解】解：设乙船的速度为,则甲船的速度为， 根据题意得： 解得：, 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答: 甲船的速度为, 乙船的速度为． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）一项工程原计划由人在一定时间内完成，但从开工之日起就采用了提高工作效率的新技术，这样，改用人去工作，结果还比原计划提前天完成．那么，采用新技术完成这项工程用时多少天？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用（工程问题），熟练掌握“工作总量人数工作效率工作时间”的关系，并根据工作总量不变建立方程是解题的关键． 设原计划用时为未知数，根据“工作总量不变”，结合原计划工作效率、新技术后工作效率的关系列分式方程，求出原计划时间后，再计算采用新技术的用时． 【详解】解：设原计划用时为天，由题意可得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴采用新技术的用时（天）， 答：采用新技术完成这项工程用时天． 【变式题6-2】．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品进价比B种文创产品进价每件多3元，用140元购进A种文创产品的件数与用80元购进B种文创产品的件数相同． (1)求，两种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进A种文创产品多少件？ 【答案】(1)A种文创产品每件进价为7元，B种文创产品的每件进价为4元； (2)小张最多可购进A种文创产品50件． 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A种文创产品每件的进价为x元，则B种文创产品每件的进价为元，依题意列出方程，求解即可； （2）设购进A种文创产品m件，依题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设A种文创产品每件的进价为x元，则B种文创产品每件的进价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴A种文创产品每件进价为7元，B种文创产品的每件进价为4元； （2）解：设购进A种文创产品m件，依题意得： ， 解得：， ∴最多可购进50件A种文创产品． 【变式题6-3】．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 近日，汉堡节全国巡演落地山城重庆，某商家销售牛肉堡和鲜虾堡两种汉堡，第一天每小时制作牛肉堡的数量比每小时制作鲜虾堡多20个，2小时制作的牛肉堡的数量比3小时制作的鲜虾堡的数量多25个． (1)求该商家第一天每小时制作的牛肉堡和鲜虾堡数量分别是多少个？ (2)由于活动火爆，第二天商家决定优化汉堡制作流程，每小时制作鲜虾堡增加的数量是每小时制作牛肉堡增加数量的2倍，当天制作牛肉堡400个， 鲜虾堡250个，且制作牛肉堡的时间是制作鲜虾堡时间的1.2倍，求第二天每小时制作牛肉堡的数量． 【答案】(1)第一天每小时制作牛肉堡35个，每小时制作鲜虾堡15个 (2)第二天每小时制作牛肉堡44个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设第一天每小时制作牛肉堡个，每小时制作鲜虾堡个，根据2小时制作的牛肉堡的数量比3小时制作的鲜虾堡的数量多25个，列方程求解即可； （2）设第二天每小时制作牛肉堡的数量增加个，则每小时制作鲜虾堡的数量增加个，根据当天制作牛肉堡400个， 鲜虾堡250个，且制作牛肉堡的时间是制作鲜虾堡时间的1.2倍，列方程求解即可． 【详解】（1）设第一天每小时制作牛肉堡个，每小时制作鲜虾堡个， 依题意得：，解得， 则． 答：第一天每小时制作牛肉堡35个，每小时制作鲜虾堡15个． （2）设第二天每小时制作牛肉堡的数量增加个，则每小时制作鲜虾堡的数量增加个， 依题意得：，解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． （个）． 答：第二天每小时制作牛肉堡44个． 【能力提升篇】 【题型7】分式方程的增根与无解问题(提升) 1.核心知识点总结 增根：使最简公分母为0的整式方程的解(原方程无解) 无解：①整式方程无解；②整式方程有解但为增根 2.高频考点梳理 已知分式方程有增根，求参数值(如2024黑龙江龙东地区中考题) 已知分式方程无解，求参数值(如方程无解) 3.易错点警示 混淆“增根”与“无解”(认为有增根就是无解，忽略整式方程本身无解的情况) 求增根时未先化简最简公分母(如的增根为和，漏看其一) 4.解题技巧拆解 步骤：①去分母得整式方程；②求增根(令最简公分母为0)；③将增根代入整式方程求参数(增根问题)；④若整式方程无解，直接求参数(如一次方程无解则且) 【例题7】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程增根问题，增根是使原方程分母为零的根，即 或 ；通过解方程并代入这些值，求出； 【详解】解：∵ 原方程：，且 ， ∴ 公分母为 ； 两边乘 得： ， 即 ， 整理得：； 增根为 或 ，代入方程： 当 时：，解得 ； 当 时：，即 ，解得 ； 故选：D 【变式题7-1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知关于的分式方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】考查了分式方程的增根．分式方程的增根是使分母为零的根．根据分式方程有增根，可得，求出的值即可． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴增根为． 故答案为： 【变式题7-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为1或 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，切记不要漏乘即可； （2）分式方程无解有两种情况：一是其化简成的整式方程（设为 ）本身无解，即 且 ；二是整式方程的解是原分式方程的增根． 【详解】（1）解：方程两边同乘以最简公分母得， 整理得：． 故答案为：． （2）解：当， 即时，原分式方程无解； 当时，由原分式方程无解， 得， 解得． 把代入， 解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了已知含参分式方程的解的情况，求参数值，掌握分式方程无解的两种情况是解题的关键． 【题型8】分式混合运算创新题(提升) 1.核心知识点总结 拆项法：将分式拆分为两个分式的和/差(如) 凑整法：将代数式凑成已知条件的形式(如) 2.高频考点梳理 含拆项的分式加减运算(如) 复杂分式混合运算(含括号、因式分解、约分综合) 3.易错点警示 拆项时符号错误(如错误拆为，正确为) 混合运算顺序错误(先加减后乘除) 4.解题技巧拆解 拆项技巧：观察分母因式，拆分为“分子为1的两个分式差” 运算顺序：先算括号内(拆项化简)，再乘除，最后加减，分步约分 【例题8】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 【答案】(1)8，56 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了数字规律探索，异分母分式的加法运算，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）观察每条式子各个分母的关系，总结规律：等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积即可作答； （2）通过总结规律：等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积； （3）运用通分的运算法则即可得出结论． 【详解】（1）解：，，，且， ， 故答案为：8，56； （2），，， 观察可知等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积， ； （3） ． 【变式题8-1】．（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·北京·阶段练习）阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） ； （2）当时，最后一项 ． 【答案】 【分析】此题考查的是阅读材料和解分式方程，根据材料给出的方法解决类似计算和和根据求和规律列方程求解是解决此题的关键． （1）根据题中方法计算即可； （2）设，根据题中方法，解方程即可. 【详解】解：（1）由题可知：， ∴ （2）设 ∵ ∴ 解得：，经检验是原方程的解. ∴， 故答案为：，． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且n>m）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，解得，代入原式，再根据计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设， ， ∴， 令，则， 令，则， ∴ ， ， 故答案为：． （3）解：由题意，， 解得， 原式 ． 【题型9】分式规律探究题(培优) 1.核心知识点总结 规律类型：①分式的系数、分子、分母分别成规律(如，，…)；②循环规律(如) 关键：分析分子、分母、符号的变化规律，归纳通项公式 2.高频考点梳理 求第个分式的表达式 循环规律中求第项的值(如已知，求) 3.易错点警示 漏看符号规律(如分式交替为正负数，未含) 循环周期判断错误(如周期为3，错误判断为4) 4.解题技巧拆解 步骤：①列出前3-4项，分析分子、分母、符号的变化；②归纳规律(系数、指数、符号分别归纳)；③验证规律，写出通项公式；④循环规律需先求周期，再用除以周期求余数 【例题9】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题9-1】．（2024·安徽·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：； 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______ (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，分式的运算,解题的关键是从等式中找出规律． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后根据分式的运算证明猜想． 【详解】（1）解：根据题意得，第5个等式为：． 故答案为： （2）解：第n个等式为：， 证明：． 【变式题9-2】．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化规律，用代数式表示变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第5个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的混合运算法则计算即可解答此题． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， 第5个等式： 故答案为：； （2）第n个等式：， 故答案为：． 【变式题9-3】．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题中规定发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法①； 根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法②； 根据题中规定，分别算出，，比较二者的结果，即可判断说法③； 综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】， ，， ，， 由此，，……，这列数每4个循环一次，即． ①，，故①正确； ②，，， ，， 又，……，这列数每4个循环一次，即， ，……，这列数也是每4个循环一次，即． 又， ， ，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，故③正确； 综上，正确结论为①③，共2个， 故选：B． 【题型10】分式方程与不等式结合问题(提升) 1.核心知识点总结 结合方式：①分式方程的解满足不等式(如解为正数、非负数)；②不等式的解作为分式方程的限制条件 关键：先解分式方程(用参数表示解)，再列不等式(兼顾分母不为0) 2.高频考点梳理 已知分式方程的解为正数，求参数取值范围(如2024四川遂宁中考题) 分式方程的解满足不等式组，求整数参数值 3.易错点警示 忽略分式方程解的分母不为0的条件(如解为，只列，漏列) 不等式求解时符号方向错误(如两边乘负数未变号) 4.解题技巧拆解 步骤：①解分式方程(用参数表示解)；②列条件：；③解不等式组，求参数范围 【例题10】．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数代入求值． 【答案】；当时，原式，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的解集． 先化简原分式，再求出不等式组的解集，然后选取符合要求的解代入求解即可． 【详解】原式 ， ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组解集为， ∵原分式有意义， ∴，1，0， ∴当时，原式，当时，原式． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题． 首先解分式方程得到 ，根据有负整数解且 ，得 ， 为偶数且 ．再解不等式组，由无解条件得 ．综合得 或 ，求和即可． 【详解】解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组 ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，解题的关键是分别求解不等式组和分式方程，再根据条件确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据整数解的个数确定的范围；再解分式方程，根据解为正数且分母不为零确定的另一范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组 解得：． 不等式组有且仅有3个整数解， 这3个整数解为、， ， 解得：， 解分式方程 解得：， 分式方程的解为正数， 且． 由得， ； 由得，即． 结合不等式组和分式方程的条件，的取值范围为且， 整数为， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·北京房山·期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 【拓展培优篇】 【题型11】分式复杂实际应用问题(培优) 1.核心知识点总结 复杂类型：①多变量行程/工程问题(如往返速度不同、多人合作)；②分段计费与分式结合(如不同阶段单价不同，求平均单价) 关键：分阶段找等量关系，设多个未知数后消元 2.高频考点梳理 多变量工程问题(如甲先做20天，乙加入合作，提前完成任务) 分段计费问题(如两次购买面粉，单价不同，求平均单价) 3.易错点警示 多变量时设未知数过多，未找到消元方法 分段计费时漏算某一阶段的工作量/路程 4.解题技巧拆解 多变量：设核心未知数(如甲的效率)，用含核心未知数的式子表示其他量(如乙的效率) 分段计费：分阶段列代数式，再结合总工作量/总路程列分式方程 【例题11】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 【变式题11-1】．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天． (注：工作天数取整数) (1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？ (2)如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用低于7900元，则两工程队最多可以合作施工多少天？ 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各完成600米和300米； (2)两工程队最多可以合作施工4天． 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用． （1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成米，根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天，列出方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）设两工程队合作施工a天，根据支付工程队总费用低于7900元，列出不等式，求出不等式的解集，根据工作天数取整数即可得出答案． 【详解】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成米，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是方程的解，则（米）， 答：甲、乙两工程队每天各完成600米和300米； （2）设两工程队最多可以合作施工a天，根据题意得： ， 解得：， ∵，且工作天数取整数， ∴为偶数， ∴两工程队最多可以合作施工4天． 【变式题11-2】．（24-25八年级下·山东济南·期中）请根据材料中的信息，解决相关问题： 背景知识 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度． 相关素材 素材一：用电高峰时段(简称峰时)为，用电低谷时段简称谷时为次日，峰时电价比谷时电价高元度； 素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等； 素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为度，电费不超过元． 问题解决 问题1：求该市峰时电价与谷时电价； 问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？ 【答案】问题1：该市峰时电价为元度，谷时电价为元/度；问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为度． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是列出分式方程与不等式； 问题1：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度，根据三月份的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，列出分式方程，解方程即可； 问题2：设三月份李老师家的谷时用电量为度，则峰时用电量为度，根据电费不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：问题1：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该市峰时电价为元度，谷时电价为元度； 问题2：设三月份李老师家的谷时用电量为度，则峰时用电量为度， 由题意得：， 解得：， 答：三月份李老师家的谷时用电量至少为度． 【变式题11-3】．（2025·广西南宁·二模）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）500 （2）当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，正确列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元，列方程求解即可； （2）设每年行驶里程为，根据新能源车的年使用费用更少，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 得：， 解得：， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 答：的值为500． （2）燃油车的每千米行驶费用：（元）， 新能源车的每千米行驶费用：（元）． 设每年行驶里程为，由题意得： ， 解得：， 答：当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 【题型12】分式新定义问题（培优） 【例题12】．（25-26八年级上·北京延庆·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)与是“和常分式”，且与的“和常值”为 (2)3 (3)0或2 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； （2）解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 【变式题12-1】．（25-26八年级上·河北衡水·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)是，当时，该式的值为整数 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不是分式，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ， ∵该式的值为整数， ∴， 解得或或1或， 又∵， ∴， 即当时，该式的值为整数． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)分式是分式的“雅中式”，则关于的“雅中值”为 ． (2)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (3)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 【答案】(1) (2)不是的“雅中式”，理由见解析； (3)所代表的代数式为，所有符合条件的的值之和为． 【分析】本题考查新定义情境下的分式的运算，分式的化简． （1）根据新定义计算即可； （2）化简，根据新定义计算，判断即可； （3）由定义可得，可得，结合已知，以及分式有意义的条件，可得所有符合条件的的值，相加即可． 【详解】（1）解：， ∴关于的“雅中值”为3． 故答案为：． （2）解：不是的“雅中式”， ∵，， ∴ ， ∴不是的“雅中式”． （3）解：∵关于的“雅中值”是2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且“雅中式”的值也为整数， ∴是的因数， ∴的值可能是，，，， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 根据分式的意义可知， ∴， ∴的值为，，，，，，， ∴． ∴所代表的代数式为，所有符合条件的的值之和为． 【变式题12-3】．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列代数式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式需要满足“分子分母是整式且分母含有字母”是解题关键． 根据分式的定义，依次判断代数式是否符合条件． 【详解】解：选项A分母为2025，不含字母， 选项B分母为2，不含字母， 选项C分母为，含有字母， 选项D是整式，不是分式， 故选项C是分式． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题时注意代数式的化简．根据分式的基本性质，将m和n都扩大2倍后代入分式计算即可． 【详解】解： m和n都扩大2倍， 新分式 ， 分式的值扩大为原来的2倍， 故选：C． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）和无意义的条件（分母为0），分别验证各选项是否满足时值为0和时无意义． 【详解】解：当时，分式值为0， 分子为0且分母不为0； 当时，分式无意义， 分母为0， 对于选项A：当时，分子，分母， 分式值不为0，不符合题意； 对于选项B：当时，分母， 分式有意义，不符合题意； 对于选项C：当时，分母， 分式无意义，不符合题意； 对于选项D：当时，分子，分母， 分式值为0； 当时，分母， 分式无意义， 故选D． 4．（25-26八年级上·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的定义、分式的性质、分式值为0的条件、最简分式的概念等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据相关定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母是常数，不是字母，则 不是分式，故A错误； B．由当都扩大3倍时，分式变为 ，值扩大3倍，故B错误； C．由分式值为0需分子为0且分母不为0，则 且 ，解得 ，故C正确； D．由（当），分子分母有公因式，不是最简分式，故D错误． 故选C． 5．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件就是分母等于0或化简后整式方程无解是解题的关键． 把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 整理得 ， ∴， 解得 ． ∵关于的分式方程无解， ∴，即， 令， 解得． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海·期中）将分式表示成不含有分母的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂的应用，通过将分母中的项转换为负指数形式，从而消除分母，即可求解． 【详解】解：原分式为 ，根据负整数指数幂的意义，分母中的可写为， 可写为， 所以原式化为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出与分式相等的两个分式． 【答案】 和 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，来构造一个相等的分式即可． 【详解】解：将分式 的分子和分母同时乘以 2，得到 ，由于乘以的整式 2 不为零，因此分式的值不变， 同理，将分子和分母同时乘以 3，得到 ， 故答案为： 和 （答案不唯一）． 9．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，分式化简．先利用负整数指数幂定义将原式化为分式形式，再通过通分和分式除法法则进行化简． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了求不等式组的解集、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先解不等式组，根据有三个整数解的条件，确定a的取值范围为，且a为整数，即a可能为7、8、9，然后解分式方程，得到y关于a的表达式，根据分式方程的解为负整数且分母不为零的条件，分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组有三个整数解， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， 去分母，得， 整理得， 解得， 当时，，方程的解为正整数，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，方程的解为负整数，符合题意； 故满足条件的整数a的值为9． 故答案为：9． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)且 (3)为任意实数 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不等于零是分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案； （2）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案； （3）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当分母，即时，有意义； （2）解：当分母，即且时，有意义； （3）解：当分母，即为任意实数时，有意义． 12．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据零指数幂运算法则，二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 当时，原式． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元．“五一”期间对这种瓶装饮料进行促销，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价的九折销售．那么，这家超市销售这种饮料的原价是每瓶多少元？ 【答案】这家超市销售这种饮料的原价是每瓶2元 【分析】本题考查分式方程的应用，设这家超市销售这种饮料的原价是每瓶元，则五一期间对这种瓶装饮料进行促销价是每瓶元，根据五一期间对这种瓶装饮料进行促销，买一箱送两瓶，列出分式方程，解方程即可. 【详解】解：设这家超市销售这种饮料的原价是每瓶元，则五一期间对这种瓶装饮料进行促销价是每瓶元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：这家超市销售这种饮料的原价是每瓶元． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，正确理解“十字分式方程”的定义是解题的关键． （1）根据“十字分式方程”的定义进行求解即可； （2）根据题意得，、，通过提公因式和完全平方公式进行化简计算即可； （3）关于x的“十字分式方程”转换为关于的 “十字分式方程”，再进行化简求值即可． 【详解】（1）解：可化为， 则， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，的两个解分别为，， 则、， ； （3）解：可化为， 设，则原方程可化为， 令的解为、， 由于可得，， 则、， ， 由于， 则， 解得、， ∵， 即、， 则、， 因此，． 15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $