专题02 分式的加减乘除运算重难点题型专训（6个知识点+14大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题02 分式的加减乘除运算重难点题型专训 （6个知识点+14大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型二 还原用科学记数法表示的小数 题型三 分式乘法 题型四 分式除法 题型五 分式乘除混合运算 题型六 分式乘方 题型七 同分母分式加减法 题型八 异分母分式加减法 题型九 整式与分式相加减 题型十 分式加减混合运算 题型十一 负整数指数幂 题型十二 整数指数幂的运算 题型十三 分式化简求值 题型十四 已知分式恒等式，确定分子或分母 拓展训练一 分式加减乘除混合运算 拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算 拓展训练三 分式加减的实际应用 拓展训练四 利用整数指数幂的性质求值 知识点一：负整数指数幂 负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·月考）（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的定义，一个数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，根据负整数指数幂的运算法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）计算：的值是 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再相加即可． 【详解】解： 故答案为：． 知识点二：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，毫米用科学记数法表示为（   ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：毫米， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）用科学记数法表示：记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点三：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【即时训练】 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加法，根据同分母分式的加法进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2025·湖南长沙·三模）计算： ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2． 知识点四：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【即时训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加法． 先将两分式通分，再相加即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·湖北·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 知识点五：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东威海·期中）计算的结果是（    ）． A．1 B．xy C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是把除法转化成乘法、以及约分． 先把除法转化成乘法，再进行约分计算即可． 【详解】解：原式， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题先将除法统一成乘法，然后化为最简分式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是将除法一定要先统一成乘法再进行运算． 知识点六：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【即时训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方； 分式的分子、分母分别进行乘方运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【经典例题一 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例1】（24-25八年级上·河北保定·期中）一张纸的规格为，它的面积约为平方千米，该数据用科学记数法表示为平方千米，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可．也考查了一元一次方程的应用． 【详解】解：∵数据用科学记数法表示为平方千米， ∴， 解得：， 故选：C． 1．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： ； 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 ． 【答案】克 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：克克， 故答案为：克． 3．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）日前我国宣布，中国已实现14纳米制程芯片设计、制造、封装测试全产业链自主可控，14纳米毫米，0.000014用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）用四舍五入的方法，按要求对下列各数取近似值，其中（3）（4）用科学记数法表示． (1)（精确到千分位）； (2)（精确到）： (3)8263（精确到1000）； (4)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，科学记数法，正确求出对应的近似数是解题的关键． （1）精确到千分位，那么对万分位上的数字进行四舍五入即可； （2）精确到，那么对千分位上的数字进行四舍五入即可； （3）精确到1000，那么对百位上的数字进行四舍五入，并将近似数用科学记数法表示即可； （4）精确到，那么对千万分位上的数字进行四舍五入，并将近似数用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：精确到千分位为； （2）解：精确到为； （3）解：8263精确到1000为； （4）解：精确到为． 【经典例题二 还原用科学记数法表示的小数】 【例2】（2025·山东潍坊·模拟预测）将用小数表示为（　　）. A．0.000 000 005 62 B．0.000 000 056 2 C．0.000 000 562 D．0.000 000 000 562 【答案】B 【分析】本题科学记数法的知识，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式：，其中，为整数；当时，还原成原数时，把的小数点向左移动位，即可． 【详解】∵用小数表示为：， 故选：B． 1．（2025·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2025八年级上·安徽·模拟预测）将下列用科学记数法表示的数还原： （1） ；      （2） ； （3） ；      （4） ． 【答案】 6200000 【分析】本题主要考查了将用科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数还原的方法：将中，当为正数，将小数点向右移动n为移动的位数即可还原；当为负数，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：6200000；；；． 3．（2025·广东韶关·三模）某微生物的直径用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 【答案】5 【分析】把“还原”成原数，即可求解． 【详解】解：， ∴原数中“0”有5个． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了绝对值较小的科学记数法，熟练掌握（其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数是解题的关键． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把的形式还原成原数，在中，当时，则小数点向左移动位，当时，则小数点向右移动位，即可． （1）根据题意，，小数点向左移动位，即可； （2）根据题意，，小数点向右移动位，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【经典例题三 分式乘法】 【例3】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的乘法，利用分式的乘法法则解答即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1） ；       （2） ． 【答案】 【分析】（1）先将每一个分子分母分别分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可求得答案； （2）先将分子分母中能分解因式的分别分解因式，再利用分式的除法法则计算即可求得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了分式的乘除法运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·课堂例题）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式． 【详解】解：由题意得：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了分式的乘法，正确掌握分式的乘法运算法则是解题关键． 4．（24-25八年级下·河北张家口·期中）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【答案】(1)， (2)甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为 【分析】本题考查了列分式及分式运算，读懂题目，列出式子是解题关键． （1）根据路程速度和时间，列出方程即可求解； （2）由甲这次往返队伍的过程中队伍行进的时间为，结合路程速度和时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴，； （2）， ． 所以甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为． 【经典例题四 分式除法】 【例4】（24-25八年级上·湖北随州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法运算法则进行运算即可求解，掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数的除法，根据题意分别求得总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤，进而根据溶质除以溶液，即可求解． 【详解】解：浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤，浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤． 总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤． 混合后的浓度为： 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先化为分式的乘法，然后约分为最简分式即可； （2）先化为分式的乘法，然后约分为最简分式即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：，，， ． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键． 先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量即可． 【详解】解：由题意得： “丰收1号”的面积为； “丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为； “丰收2号”的单位面积产量为 因此，所求的倍数为 故答案为：， ，． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的除法，掌握算理是解决问题的关键． （1）先化为乘法，然后约分即可； （2）先因式分解，化为分式的乘法，约分即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【经典例题五 分式乘除混合运算】 【例5】（2025·山东济宁·三模）有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算．解题的关键在于探究分式的规律． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的乘除混合运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 【答案】该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右，正确解答过程见解析 【分析】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式乘除法运算法则是解题的关键．先判断分式乘除法混合运算的运算顺序是否正确，再按照从左到右的顺序依次进行运算． 【详解】该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右． 正确的解答过程如下： ． 【经典例题六 分式乘方】 【例6】（24-25八年级上·山东·课后作业）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】得 【点睛】此题考查了幂的乘方，熟练掌握法则是解本题的关键． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【详解】解： ． 3．（2025八年级上·江西南昌·模拟预测）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 【答案】 两 【分析】（1）根据分式的基本性质解答； （2）根据分式的加减法计算法则解答； （3）根据分式的乘除法计算法则解答； （4）根据分式的乘方法则解答． 【详解】解：（1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：． 故答案为：两； （2）分式的加减法： 同分母相加减：； 异分母相加减：． 故答案为：，； （3）分式的乘除法： ；． 故答案为：，； （4）分式的乘方： （n为正整数） 故答案为：． 【点睛】此题考查分式的基本性质，分式的加减、乘除、乘方运算法则，熟记法则是解题的关键． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据分式的乘法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【经典例题七 同分母分式加减法】 【例7】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式加减法的知识，掌握以上知识是解答本题本题的关键； 本题根据同分母分式加减法的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 1．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）对于正数规定，例如：，，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．2023 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，分式的加法计算，通过计算可得（其中 ），将求和式中的项配对，利用该性质简化计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）如果记 并且表示当时y的值， 即 那么 （结果用含n的代数式表示， n为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题，正确根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵， 故． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据同分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【经典例题八 异分母分式加减法】 【例8】（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 【详解】解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下面是小亮同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 ． 在化简过程中，第___________步开始出现错误．（    ） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 【答案】C 【分析】本题考查了化简分式，平方公式与平方差公式的运用，检查分式化简各步骤，发现第③步通分时分子计算错误． 【详解】解：第①步，将分母分解为，分子分解为，正确； 第②步，约分为，正确； 第③步，通分时，第一个分式应化为，但误写为，导致分子错误为，正确应为：， 第④步，因第③步错误，后续化简结果错误， 综上，错误始于第③步， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东·期中）已知，其中m，n，p，q为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先对等式右边进行通分化简，然后对照等式左右两边的分式即可列出方程组进行求解． 【详解】解：等式右边通分得到： ， 由于左边等于右边，且分母相同，所以有： 解得：，，，； 所以； 故答案为10． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 【答案】 分式的基本性质 五 【分析】（1）明确分式通分的基本原理，即分式的基本性质，通过找到最简公分母来进行通分． （2）仔细检查每一步的运算过程，找出错误步骤，然后按照正确的运算规则重新化简分式得到正确结果． 本题主要考查了分式的基本性质以及分式的化简运算．熟练掌握分式的基本性质，并能够准确运用其进行通分和分式运算，同时具备检查运算过程中错误的能力是解题的关键． 【详解】解：（1）通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的基本性质． （2） ， 第五步开始出现错误，该分式化简后的正确结果为． 故答案为：五；． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）异分母分式相加，先通分，然后计算即可； （2）根据分式乘法法则计算即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . 【经典例题九 整式与分式相加减】 【例9】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 1．（24-25八年级下·河南·阶段练习）一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．求出前几个数值，找到规律，进行判断即可． 【详解】解：，则： ， ， ， ∴的值，以，，，三个为一组，进行循环， ∵， ∴的值为，即：； 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∵当时，随着的不断增大而减小，的值无限接近0， ∴的值无限接近2， 故答案为2． 4．（24-25八年级上·山西·期末）小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 【经典例题十 分式加减混合运算】 【例10】（2025·浙江杭州·模拟预测）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 1．（2025·河南南阳·一模）在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 【答案】D 【解析】根据分式的运算法则求解． 【详解】解：∵ = =， ∴甲乙两人都做错了， 故选：D ． 【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 2．（2025·湖北武汉·一模）计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】先化简，再进行分式的加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 4．（24-25八年级下·四川巴中·期末）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，…，；在此变化过程中，记，（为正整数） (1)当，此时的值为______ (2)填空：化简并猜想______，_____，_____；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1)1 (2)，， (3)或 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出关于k的表达式，再将代入的表达式，得出k的值． （2）先求得的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到，最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出k的值． 【详解】（1）解：由已知得，， 将代入可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：1； （2）解：， ， ， ⋯⋯， ； ∴， ∵， ∴， 将代入得， ， 故答案为：，，； （3）解：由（2）知，， ， ∴， ∵为整数，且， ∴或， ∴或． 【经典例题十一 负整数指数幂】 【例11】（2025·福建·模拟预测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法法则计算判断即可． 本题考查了同底数幂乘法和负整数指数幂，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：D． 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知：、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是有理数的比较大小，掌握乘方的意义、负指数幂的性质和零指数幂的性质是解题关键．根据乘方的意义、负指数幂的性质和零指数幂的性质求出、、的值，比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，，, ∵ ∴ ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）计算： ．（结果只含正整数指数幂） 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的乘方运算，根据负整数指数幂，分式的乘方运算以及除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏·期末）计算题： (1)． (2) ． (3)． (4)． (5)先化简再求值：，其中． (6)已知，．求下列各式的值： ； ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， (6)； 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的化简求值，提公因式、平方差公式、完全平方公式因式分解，整式的混合运算． （1）根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘的运算法则计算即可得解． （2）根据零次幂、负整指数幂、积的乘方逆运算，以及实数的混合运算法则计算即可得解． （3）根据积的乘方、同底数幂相乘的运算法则计算即可得解． （4）根据零次幂、负整指数幂，以及实数的混合运算法则计算即可得解． （5）根据整式的混合运算法则、平方差公式先进行化简，再代入的值即可得解． （6）根据提公因式、完全平方公式因式分解，多项式乘多项式运算法则对所求代数式进行变形整理，再整体代入已知代数式的值即可得解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ， 当时， 原式 ． （6）解： ； ． 【经典例题十二 整数指数幂的运算】 【例12】（2025·江苏南京·二模）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则，幂的乘方的运算法则为，同底数幂相乘的运算法则为，灵活运用这两个法则是解答本题的关键． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方法则将原式分解为系数和字母分别进行负指数幂运算，再将结果相乘即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（2025·河北邯郸·二模）（1）当时，如果，则 ．（2）计算，则 ． 【答案】 5 4 【分析】（1）根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，同底数幂的乘除法法则先化简，再得出指数相等即可求解； （2）根据同底数幂的乘方先化简，再得出指数相等即可求解； 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：①5；②4． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方等知识，掌握相关法则或公式是解题的关键． 4．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）计算： (1) (2) (3) (4)(运用乘法公式) 【答案】(1)2 (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，负整数指数幂，零指数幂，利用平方差公式计算，解题关键是熟练掌握相关运算公式，以及运算的顺序． （1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再计算加减； （2）利用同底数幂相乘，幂的乘方运算法则计算，再降次排列； （3）先将后面的用平方差公式计算，再作加减； （4）先将式子调整为平方差公式形式，再利用平方差公式展开计算； 【详解】（1） ， ． （2） ， ． （3） ， ， ， ． （4） ， ， ， ． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过取已知等式的倒数，得到关于 、、 的方程组，求和后得到它们的和，再求倒数即得所求． 【详解】解： ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， 即 ， 又 ， ． 故选：B． 1．（25-26八年级上·山东东营·期中）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴有 ， 即， ， ， ， ， 这样的组合共有 对， 又 ， ∴ 原式 = ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知 则分式 的值是 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知条件 得出 与的关系，再代入所求分式化简求值． 【详解】解：由，得 ，即， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解：， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 4．（25-26八年级上·山东东营·期中）先化简，再求值 (1)先把代数式化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适数字代入求值． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)，当时，值为 (2)， 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． （2）先整理分式，再运算乘法，然后运算减法，化简得，因为，得，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； ∵ ∴ 依题意，当时，则； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例14】（2025八年级上·湖南怀化·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查异分母分式加法，解二元一次方程组．熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据异分母分式加法运算法则计算出，结合题意得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：． 故选：B． 1．（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 2．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ． 【答案】 1 3 【分析】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可． 【详解】解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 4．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“典雅分式”，这个常数称为关于的“典雅值”． 如分式，，，则是的“典雅分式”，A关于B的“典雅值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“典雅分式”？如果是，请求出C关于的“典雅值”；如果不是．请说明理由； (2)已知分式，（E是用表示的代数式），是的“典雅分式”，关于的“典雅值”是1． ①求E所代表的代数式． ②若为正整数，且分式Q的值为为正整数，则满足条件的的值为________． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①；②5或6或8 【分析】本题主要考查了分式的加减运算． （1）根据新定义计算，通过通分计算进行判断； （2）①根据新定义列出等式，求解E的代数式即可； ②根据Q为正整数，求解x可取的正整数值即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ， ∴C不是D的“典雅分式”； （2）解：①由新定义可知： ， ∴， ∴， ∴； ②， ∵x和Q是正整数， ∴或6或8． 故答案为：5或6或8． 【拓展训练一 分式加减乘除混合运算】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）化简与求值： (1)； (2)； (3)已知，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先计算括号里的加减，再计算乘除即可； （3）先化简原分式，再根据求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∵ ∴， ∴原式 ． 2．（25-26八年级上·山东·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，分式有意义的条件，解题的关键是正确理解“和谐分式”的定义． 对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），先将原式化简为，再根据和谐分式的定义整理为，然后讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式． 故答案为：①③④． （2）， 故答案为∶． （3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 3．（25-26八年级上·河北沧州·阶段练习）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了分式的化简， 对于（1），将化成，即可得出整数和分式和的形式； 将化成，即可得出整式和分式的和的形式； 对于（2），先把M，N化成整数和分式的和的形式，再根据，可得， 然后令，，可得，再讨论a，b的值可得答案. 【详解】（1）解：． ； （2）解：，， 因为，所以， 即， 令，，则， ， ， ， ， ，均为正数，，均为正整数， ，为正整数， 或或 当时，则，； 当时，则，（舍） 当时，则，（舍）． ，， ，，经检验，符合题意， ，． 【拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． （1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）按照分式乘除运算法则，结合因式分解进行计算即可； （3）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （4）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 2．（25-26八年级上·全国·周测）下面是斌斌同学的一道作业题，请仔细观察他的解题过程，然后按要求回答问题． 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)上述变形过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；负数的奇数次幂是负数，漏掉了负号 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了分式的乘方运算． （1）根据负数的奇次幂是负数可找出错误之处； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法，约分化简后再乘即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，错误的原因是负数的奇数次幕是负数，漏掉了负号． 故答案为：一；负数的奇数次幂是负数，漏掉了负号． （2）解：原式． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【分析】（1）利用多项式乘法进行计算即可； （2）根据（1）中的结果确定答案； （3）逆运用新公式，把变形为，再化简分式． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：，； （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则及分式的化简等知识，掌握和理解新运算的公式，是解决本题的关键． 【拓展训练三 分式加减的实际应用】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 2．（24-25八年级下·全国·期中）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是奇奇和嘉嘉的对话，请根据对话内容回答问题． 奇奇：“如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的采光条件会不会更好？” 嘉嘉：“我们可以具体算一下：假设某住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好．” (1)请你通过计算，验证嘉嘉的说法． (2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好吗？请说明理由． 【答案】(1)窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会变好 (2)如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 【分析】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键． （1）根据题意计算出窗户面积和地板面积同时增加1平方米时窗户面积与地板面积的比值，与原比值进行比较即可； （2）根据题意表示出窗户面积和地板面积同时增加1平方米是窗户面积与地板面积的比值，利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米， ． 窗户面积和地板面积同时增加1平方米， ． ， 窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会变好． （2）解：如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 理由：住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米， ． 窗户面积和地板面积同时增加1平方米，．， 又， ，． ． ． 如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似的，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：，． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 2 1 … 从表格可以看出，当x的取值大于0时，随着x的增大，的取值减小，当x的取值小于0时，随着x的减小，的取值增大． 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； __________，_________． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是__________． 【答案】(1)， (2)当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大． (3)2 【分析】本题主要考查了分式的加减法，分式的变化，分式的值，本题是阅读型题目，理解题干值的定义并熟练应用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）将分式转换成形式，利用的变化情况解答即可； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）根据表格可知，当或时，随着x的增大，的值逐渐减小，随着x的减小，的值逐渐增大， ∵， ∴当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大． （3）∵， 当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0， ∴分式的值无限趋近于一个数，这个数是2， 故答案为：2． 【拓展训练四 利用整数指数幂的性质求值】 1．（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算． (1) (2)利用整式乘法公式简便求值： 【答案】(1)13 (2)40804 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，整式乘方公式等知识，解题的关键是： （1）根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，乘方法则等计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了整式的运算及分式的化简求值，掌握0次幂、负指数幂的意义及分式的运算法则是解决本题的关键． （1）先计算整式的乘法运算，再合并即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （3）先化简分式，再选取合适的数代入求值． 【详解】（1）解： （2） （3） = = 当时，原式． 3．（2025·山西朔州·三模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 下面是小颖同学的解题过程，请你思考并完成下列任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 当时，原式． 任务一：以上解题过程中，第______步是通分得到的． 任务二：以上解题过程中，从第______步开始出现了错误．错误的原因是：______ 任务三：请你直接写出该分式正确的化简结果，并代入求值． 【答案】（1）；（2）任务一：一；任务二：二，分式加减时，没有把看作一个整体，应该为；任务三：， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可得到答案； （2）任务一：根据解题过程可得第一步是通分得到的；任务二：观察解题过程可知，第二步开始出现错误，错误原因为分式加减时，没有把看作一个整体；任务三：先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：任务一：观察解题过程可知，第一步是通分得到的； 任务二：观察解题过程可知，第二步开始出现错误，错误原因为分式加减时，没有把看作一个整体，应该为 任务三：原式 当时，原式． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：由题意，1纳米米， 纳米米米米， 故选C． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算除法，即可． 【详解】解： 故选：B 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的化简，熟练掌握分式的化简是解决本题的关键． 由题意列出盖住部分的代数式，然后进行化简． 【详解】解：盖住部分化简的结果为： ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）对一组代数式：a，b，c（a，b，）进行如下操作：任意相邻的两个代数式，都用右边的代数式除以左边的代数式，所得之商写在这两个代数式之间，可以产生一个新的代数式列：a，，b，，c，记为代数式列1；将代数式列1按上述方法再做一次操作，可以得到代数式列2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论： ①代数式列2为：a，，，a，b，，，b，c； ②代数式列3供18个代数式； ③代数式列3的所有代数式的积是代数式列2的所有代数式积的倍； ④代数式列2023的所有代数式的积为． 上述四个结论正确的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据产生代数式列的方法，得出代数式列2，即可判定①；得出代数式列3，即可判定②；计算出代数式列3的所有代数式的积与代数式列2的所有代数式积的倍数，即可判定③；总结归纳出代数式列n的所有代数式的积规律，即可得出代数式列2023的所有代数式的积，则可判定④． 【详解】解：∵代数式列1为：a，，b，，c， ∴代数式列2为：a，，，a，b，，，b，c； 故①正确； ∴代数式列3为：a，，，a，，，a，，b，，，b，，，b，，c； 共有17个代数式； 故②错误； 代数式列2的所有代数式积， 代数式列3的所有代数式的积， ∴， ∴代数式列3的所有代数式的积是代数式列2的所有代数式积的倍， 故③正确； … ∴代数式列n的所有代数式的积 当时，代数式列2023的所有代数式的积； 故④正确； 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：D． 【点睛】本题考查数式规律探究，理解新代数式列，总结归纳出代数式列n的所有代数式的积规律，掌握分式乘除运算法则是解题的关键． 5．（2025·重庆永川·模拟预测）已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的运算，通过计算前几次运算结果，发现规律，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：， ， ， 故①错误； 同理可求出，， ∴ ∴，故②正确； 通过递推得 ，故③错误； 由递推关系 ，，得 ，与题目中的不符，故④错误。 综上，仅结论②正确，正确个数为1个， 故选：A． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂相除，同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则化简原式，将已知条件整体代入，计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 8．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的化简求值，根据，得到，将代数式化简后，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ； 故答案为：1． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题被墨污染了（如图所示），■表示被墨污染的部分．则被墨污染部分的式子可能是 化简： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．根据题意残损部分的式子为，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键． 先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量即可． 【详解】解：由题意得： “丰收1号”的面积为； “丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为； “丰收2号”的单位面积产量为 因此，所求的倍数为 故答案为：， ，． 11．（24-25八年级上·四川自贡·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除混合运算，先算乘方，然后把除法转化为乘法，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25八年级上·四川达州·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算．熟练掌握运算法则是解题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先利用零指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方进行计算，然后再进行加减运算即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可； （3）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则可以将式子展开，然后合并同类项即可； （4）根据平方差公式和多项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）化简分式：，并求值．（请从如图嘉嘉和淇淇的对话中确定的值） 【答案】当时原式 【分析】此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则化简，代入符合条件的a的值计算即可． 【详解】原式. ∵a是绝对值小于的整数，且，， ∴当时，原式． 15．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】(1) (2)乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析 【分析】本题考查了不等式： （1）用“作差法”来比较两个式子的大小即可； （2）分别计算甲和乙的单价再用“作差法”比较即可． 【详解】（1）解： （2）乙款礼盒的苹果单价更合算． 设包装盒的重量为 甲款礼盒的苹果单价：（元/千克） 乙款礼盒的苹果单价：（元/千克） 即： 答：乙款礼盒的苹果单价更合算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式的加减乘除运算重难点题型专训 （6个知识点+14大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型二 还原用科学记数法表示的小数 题型三 分式乘法 题型四 分式除法 题型五 分式乘除混合运算 题型六 分式乘方 题型七 同分母分式加减法 题型八 异分母分式加减法 题型九 整式与分式相加减 题型十 分式加减混合运算 题型十一 负整数指数幂 题型十二 整数指数幂的运算 题型十三 分式化简求值 题型十四 已知分式恒等式，确定分子或分母 拓展训练一 分式加减乘除混合运算 拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算 拓展训练三 分式加减的实际应用 拓展训练四 利用整数指数幂的性质求值 知识点一：负整数指数幂 负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·月考）（   ） A． B． C． D．3 2．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）计算：的值是 ． 知识点二：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，毫米用科学记数法表示为（   ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）用科学记数法表示：记为 ． 知识点三：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【即时训练】 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 2．（2025·湖南长沙·三模）计算： ． 知识点四：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【即时训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）计算的结果是 ． 知识点五：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东威海·期中）计算的结果是（    ）． A．1 B．xy C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： ． 知识点六：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【即时训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）计算：的结果是 ． 【经典例题一 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例1】（24-25八年级上·河北保定·期中）一张纸的规格为，它的面积约为平方千米，该数据用科学记数法表示为平方千米，则a的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 ． 3．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）日前我国宣布，中国已实现14纳米制程芯片设计、制造、封装测试全产业链自主可控，14纳米毫米，0.000014用科学记数法表示为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）用四舍五入的方法，按要求对下列各数取近似值，其中（3）（4）用科学记数法表示． (1)（精确到千分位）； (2)（精确到）： (3)8263（精确到1000）； (4)（精确到）． 【经典例题二 还原用科学记数法表示的小数】 【例2】（2025·山东潍坊·模拟预测）将用小数表示为（　　）. A．0.000 000 005 62 B．0.000 000 056 2 C．0.000 000 562 D．0.000 000 000 562 1．（2025·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 2．（2025八年级上·安徽·模拟预测）将下列用科学记数法表示的数还原： （1） ；      （2） ； （3） ；      （4） ． 3．（2025·广东韶关·三模）某微生物的直径用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【经典例题三 分式乘法】 【例3】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1） ；       （2） ． 3．（24-25八年级上·全国·课堂例题）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 4．（24-25八年级下·河北张家口·期中）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【经典例题四 分式除法】 【例4】（24-25八年级上·湖北随州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【经典例题五 分式乘除混合运算】 【例5】（2025·山东济宁·三模）有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 【经典例题六 分式乘方】 【例6】（24-25八年级上·山东·课后作业）的值是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 2．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ． 3．（2025八年级上·江西南昌·模拟预测）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题七 同分母分式加减法】 【例7】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）对于正数规定，例如：，，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．2023 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）如果记 并且表示当时y的值， 即 那么 （结果用含n的代数式表示， n为正整数）． 4．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）计算 (1) (2) 【经典例题八 异分母分式加减法】 【例8】（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下面是小亮同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 ． 在化简过程中，第___________步开始出现错误．（    ） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 2．（24-25八年级上·山东·期中）已知，其中m，n，p，q为常数，则 ． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) 【经典例题九 整式与分式相加减】 【例9】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 1．（24-25八年级下·河南·阶段练习）一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 4．（24-25八年级上·山西·期末）小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【经典例题十 分式加减混合运算】 【例10】（2025·浙江杭州·模拟预测）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 1．（2025·河南南阳·一模）在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 2．（2025·湖北武汉·一模）计算的结果是 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么 ， ． 4．（24-25八年级下·四川巴中·期末）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，…，；在此变化过程中，记，（为正整数） (1)当，此时的值为______ (2)填空：化简并猜想______，_____，_____；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【经典例题十一 负整数指数幂】 【例11】（2025·福建·模拟预测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知：、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）计算的结果是 ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）计算： ．（结果只含正整数指数幂） 4．（24-25八年级上·江苏·期末）计算题： (1)． (2) ． (3)． (4)． (5)先化简再求值：，其中． (6)已知，．求下列各式的值： ； ． 【经典例题十二 整数指数幂的运算】 【例12】（2025·江苏南京·二模）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 3．（2025·河北邯郸·二模）（1）当时，如果，则 ．（2）计算，则 ． 4．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）计算： (1) (2) (3) (4)(运用乘法公式) 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·山东东营·期中）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D． 2．（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知 则分式 的值是 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 4．（25-26八年级上·山东东营·期中）先化简，再求值 (1)先把代数式化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适数字代入求值． (2)先化简，再求值：，其中． 【经典例题十四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例14】（2025八年级上·湖南怀化·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）若，则 ． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ． 4．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“典雅分式”，这个常数称为关于的“典雅值”． 如分式，，，则是的“典雅分式”，A关于B的“典雅值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“典雅分式”？如果是，请求出C关于的“典雅值”；如果不是．请说明理由； (2)已知分式，（E是用表示的代数式），是的“典雅分式”，关于的“典雅值”是1． ①求E所代表的代数式． ②若为正整数，且分式Q的值为为正整数，则满足条件的的值为________． 【拓展训练一 分式加减乘除混合运算】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）化简与求值： (1)； (2)； (3)已知，求的值； 2．（25-26八年级上·山东·课后作业）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 3．（25-26八年级上·河北沧州·阶段练习）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 【拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 2．（25-26八年级上·全国·周测）下面是斌斌同学的一道作业题，请仔细观察他的解题过程，然后按要求回答问题． 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)上述变形过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请你写出正确的解题过程． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 【拓展训练三 分式加减的实际应用】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 2．（24-25八年级下·全国·期中）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是奇奇和嘉嘉的对话，请根据对话内容回答问题． 奇奇：“如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的采光条件会不会更好？” 嘉嘉：“我们可以具体算一下：假设某住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好．” (1)请你通过计算，验证嘉嘉的说法． (2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，那么住宅的采光条件会变好吗？请说明理由． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似的，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：，． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 2 1 … 从表格可以看出，当x的取值大于0时，随着x的增大，的取值减小，当x的取值小于0时，随着x的减小，的取值增大． 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； __________，_________． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是__________． 【拓展训练四 利用整数指数幂的性质求值】 1．（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算． (1) (2)利用整式乘法公式简便求值： 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中． 3．（2025·山西朔州·三模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 下面是小颖同学的解题过程，请你思考并完成下列任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 当时，原式． 任务一：以上解题过程中，第______步是通分得到的． 任务二：以上解题过程中，从第______步开始出现了错误．错误的原因是：______ 任务三：请你直接写出该分式正确的化简结果，并代入求值． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（   ） A． B． C．2 D．1 4．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）对一组代数式：a，b，c（a，b，）进行如下操作：任意相邻的两个代数式，都用右边的代数式除以左边的代数式，所得之商写在这两个代数式之间，可以产生一个新的代数式列：a，，b，，c，记为代数式列1；将代数式列1按上述方法再做一次操作，可以得到代数式列2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论： ①代数式列2为：a，，，a，b，，，b，c； ②代数式列3供18个代数式； ③代数式列3的所有代数式的积是代数式列2的所有代数式积的倍； ④代数式列2023的所有代数式的积为． 上述四个结论正确的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·重庆永川·模拟预测）已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果等于 ． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则的值是 ． 8．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题被墨污染了（如图所示），■表示被墨污染的部分．则被墨污染部分的式子可能是 化简： 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 11．（24-25八年级上·四川自贡·期末）计算： 12．（24-25八年级上·四川达州·期末）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 14．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）化简分式：，并求值．（请从如图嘉嘉和淇淇的对话中确定的值） 15．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $