专题10 分式及分式方程十大题型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题10 分式及分式方程十大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：利用分式有无意义的条件求参数……………………………………… 2 题型2：利用分式值为0的条件求参数………………………………………… 3 题型3：利用分式的其他条件求参数…………………………………………… 3 题型4：分式的化简求值………………………………………………………… 5 题型5：利用分式方程增根的情况求参数……………………………………… 6 题型6：利用分式方程根的其他情况求参数…………………………………… 7 题型7：分式方程的实际应用——工程………………………………………… 9 题型8：分式方程的实际应用——行程………………………………………… 11 题型9：分式方程的实际应用——销售与利润………………………………… 13 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 18 知识梳理 1、分式有无意义及分式值为0： 分式有意义的条件 分式 中分母B≠0 分式无意义的条件 分式 中分母B＝0 分式值为0的条件 分式 中分子A＝0，分母B≠0 2、分式的基本性质： （其中A，B，C（C≠0）是整式） 3、分式的运算： 分式的乘法 分式的除法 分式的乘方 同分母分式加减 异分母分式加减 重难点题型分类 【题型1：利用分式有无意义的条件求参数】 【例1】使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若分式有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．或 D．且 【变式1-3】使式子有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【变式1-4】使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】当 时，在实数的范围内有意义． 【例2】若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若式子无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】当 时，分式无意义． 【题型2：利用分式值为0的条件求参数】 【例1】如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若分式的值为0，则应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若分式的值为0，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．16 【变式1-3】若分式的值为0，则a满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式1-4】若，则 ． 【题型3：利用分式的其他条件求参数】 【例1】当的值为 时，分式的值为非正数． 【变式1-1】若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【变式1-2】填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【变式1-3】已知，当为何值时，的值为正数？ 【变式1-4】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【例2】为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式2-1】若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且使得分式的值是一个整数，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．6 B．13 C．15 D．21 【变式2-2】我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【变式2-3】阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【题型4：分式的化简求值】 【例1】先化简，再求值，其中． 【变式1-1】先将化简，然后选一个自己喜欢的值，求原代数式的值． 【变式1-2】先化简，再求值：，其中是从，0，…，2中选取的一个合适的数． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中． 【变式1-4】先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【题型5：利用分式方程增根的情况求参数】 【例1】已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式1-1】若关于x的分式方程 无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1 ③ ④6（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．①②④ 【变式1-2】如果关于的分式方程有增根，则 ． 【变式1-3】在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则 ． 【变式1-4】小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【变式1-5】下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【题型6：利用分式方程根的其他情况求参数】 【例1】已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【变式1-1】若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【变式1-2】已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是 ． 【变式1-3】要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【变式1-4】（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【例2】如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【变式2-2】若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【变式2-3】若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 【变式2-4】若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，求实数m的取值范围． 【题型7：分式方程的实际应用——工程】 【例1】某市新区为美化环境，计划对面积为3600平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过16万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【变式1-1】某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【变式1-2】新冠病毒对全球的发展造成了极大的影响，口罩已经成为预防新冠病毒的主要工具，根据相关数据统计：新冠病毒携带者与对方都未戴口罩，传染率；新冠病毒携带者未戴口罩、对方戴口罩，传染率；新冠病毒携带者戴口罩、对方未戴口罩，传染率；新冠病毒携带者与对方均戴口罩，传染率；双方都戴口罩，距离保持1.8米以上，传染率为，为供应市场对口罩的需求，某口罩生产公司，增加了口罩的生产线，增加生产线后每小时比增加生产线前多生产1000包口罩，没有增加生产线前生产600包口罩的时间与增加生产线后生产1000包口罩的时间相同． (1)求该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产多少包口罩． (2)请根据你对新冠病毒的了解，写出个人预防新冠病毒的两条有效措施． 【变式1-3】合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． (1)求B队单独完成这项工程需要多少天？ (2)已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 【题型8：分式方程的实际应用——行程】 【例1】年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分． 【变式1-1】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了两次球，浪费了13秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为85秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.4倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 【变式1-2】铁路检修工人小张在隧道里检修，所在位置与入口处的距离为隧道全长的，他听到一列火车向隧道入口驶来，如果他尽力奔跑，无论向哪一头跑，火车到达他跟前时，他都刚好离开隧道．设火车速度是每小时60千米，求小张奔跑的速度是每小时是多少千米？ 【变式1-3】甲、乙两个码头相距200海里，某轮船从甲出发去乙码头送货，然后原路返回．若该轮船顺水行驶150海里与轮船逆水行驶100海里所用的时间相同．已知船在静水中的速度为每小时25海里，那么水的流速为每小时多少海里？ 【变式1-4】根据所给信息解决问题： 信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁，景色怡人，是市民散步、跑步的好地方． 信息2 一天，甲、乙两人同时从绿道上的地出发，经两地到达地，其中两地相距米． 信息3 已知甲从地到地的速度是米/分钟，用时分钟；从地到地的速度是100米/分钟，用时分钟． 信息4 乙以米/分钟的速度从地跑到地后，在地休息了分钟，在此期间，甲跑过乙的身边，此时甲恰好跑了分钟．乙休息结束后，立刻以米/分钟的速度追赶，最终与甲同时到达地． 问题： (1)试确定的值，及两地间的路程； (2)求的值． 【题型9：分式方程的实际应用——销售与利润】 【例1】某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 【变式1-1】某商厦进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用8万元购进这种T恤衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元． (1)求第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ (2)商厦销售该款式T恤衫时每件定价都是58元，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元，剩余的T恤衫每件售价至少多少元？ 【变式1-2】列方程（组）解下列问题： 近期“渝超”联赛火热进行中，全重庆掀起一股足球热潮．我校为鼓励学生参与足球运动，决定花费10800元购进一批足球．已知学校计划采购120个入门款足球供体育课使用，20个专业款足球供足球队训练，且专业款足球单价是入门款单价的3倍． (1)求入门款足球和专业款足球的单价分别是多少元？ (2)考虑到体育器材的损耗，学校计划再次采购，恰逢供应商降价酬宾，其中入门款足球每个降价a元，专业款足球每个降价3a元．经计算，学校花费5500元购进入门款足球的数量比花费4950元购进专业款足球数量的3倍多10个，求a的值． 【变式1-3】某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40 000元 花费：30 000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量 【变式1-4】为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200元购进乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本； (2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案． 【变式1-5】某学校去年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)今年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了，乙种足球售价是第一次购买时的9折．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【变式1-6】综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 能力提升 一、单选题 1．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 2．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·模拟预测）对分式进行如下操作：将与相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果减去，结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果与相加，结果记为，称为第三次操作；…，以此类推，下列说法： ①第七次操作的结果． ②若成立，则的值有且只有1个； ③若存在唯一的值使得（，且为整数）成立，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24八年级下·重庆·期末）已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 8．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 9．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 10．（2025·重庆永川·模拟预测）关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 11．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）对于正数，规定，例如：，则式子的值为 ． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为 ． 三、解答题 13．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 14．（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 15．（2025·江西·模拟预测）下面是小红同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小红同学的化简过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择合适的数作为的值代入求值． 16．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值：，其中是不等式组 的整数解． 17．（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 19．（25-26七年级下·全国·单元测试）关于的方程． (1)若方程的解为，求的值； (2)若此方程有增根，求的值． 20．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 21．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 22．（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 23．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 24．（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克． (1)若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． (2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克 25．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 26．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 27．（2025·重庆·模拟预测）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 28．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为 ．经测量，每间教室的长度为 ，前后门的宽度为 ． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为 ．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为 ，第二次学生间隔为 ，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题10 分式及分式方程十大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：利用分式有无意义的条件求参数……………………………………… 2 题型2：利用分式值为0的条件求参数………………………………………… 5 题型3：利用分式的其他条件求参数…………………………………………… 8 题型4：分式的化简求值………………………………………………………… 15 题型5：利用分式方程增根的情况求参数……………………………………… 18 题型6：利用分式方程根的其他情况求参数…………………………………… 23 题型7：分式方程的实际应用——工程………………………………………… 30 题型8：分式方程的实际应用——行程………………………………………… 34 题型9：分式方程的实际应用——销售与利润………………………………… 38 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 48 知识梳理 1、分式有无意义及分式值为0： 分式有意义的条件 分式 中分母B≠0 分式无意义的条件 分式 中分母B＝0 分式值为0的条件 分式 中分子A＝0，分母B≠0 2、分式的基本性质： （其中A，B，C（C≠0）是整式） 3、分式的运算： 分式的乘法 分式的除法 分式的乘方 同分母分式加减 异分母分式加减 重难点题型分类 【题型1：利用分式有无意义的条件求参数】 【例1】使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件为，即可求得x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义，   ∴， 解得：． 故选：B． 【变式1-1】若分式有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件．要使分式有意义，分式的分母不能为0，即，解得的取值范围． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故选：C． 【变式1-2】要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，判断一个分式是否有意义，应考虑分母上字母的取值，字母的取值不能使分母为零． 要使分式有意义，则分母不能为0，据此条件解得x的取值． 【详解】解：要使分式有意义，则，且， 即且， 的取值范围是且， 故选：D． 【变式1-3】使式子有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题的关键．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出不等式求解即可得． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得：且． 故选：A． 【变式1-4】使有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：． 【变式1-5】当 时，在实数的范围内有意义． 【答案】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握：当函数表达式是分式时，分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数大于或等于．据此列式求解即可． 【详解】解：由在实数的范围内有意义， 得：，即， 解得：． 故答案为：． 【例2】若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分式无意义分母等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2-1】若式子无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件． 根据分式无意义的条件，即分母为0，进行求解即可． 【详解】解：分式无意义的条件是分母为零，由，得， 故选：C． 【变式2-2】当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式2-3】当 时，分式无意义． 【答案】0或1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 【题型2：利用分式值为0的条件求参数】 【例1】如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-1】若分式的值为0，则应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题要求找出使分式值为0的条件，需要满足分子为0且分母不为0，由此进行分析．本题主要考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0时分子为0且分母不为0这一性质是解题的关键． 【详解】解：要使分式的值为， 则分子， 解得． 同时分母， ． 综上，． 故选：A． 【变式1-2】若分式的值为0，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．16 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：由，解得，即或． 又∵分母，即． 故选：A 【变式1-3】若分式的值为0，则a满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由分式的值为0的条件可得：，再解方程与不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为0， 由①得： 由②得：且 ∴ 故选B 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键． 【变式1-4】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的值为的条件，分子等于，且分母不等于．熟练掌握分式的值为的条件是解题的关键． 根据分式的值为的条件，先求出的值，再代入中计算即可． 【详解】解：由， 得， ∴， 由①得， 由②得， 综上，， ∴． 故答案为：． 【题型3：利用分式的其他条件求参数】 【例1】当的值为 时，分式的值为非正数． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，求不等式组的解集，根据分式的值为非正数，得到或，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为非正数， ∴， ∴或， 解得：； 故答案为： 【变式1-1】若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 【变式1-2】填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 【变式1-3】已知，当为何值时，的值为正数？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式的性质、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 由分式的性质：分式的值大于0，则分子分母同号，据此可得到两个不等式组求解即可． 【详解】解：要使的值为正数，即，则．根据分式的性质，分式的值大于0，则分子分母同号，可得到两个不等式组： 不等式组一：， 解，得； 解，得． 取两者的交集，此不等式组的解集为． 不等式组二：， 解，得； 解，得． 取两者的交集，此不等式组的解集为． 综上，当或时，的值为正数． 【变式1-4】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 【例2】为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案． 【详解】解：当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，或； 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键． 【变式2-1】若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且使得分式的值是一个整数，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．6 B．13 C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式的值，先解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，求得a的取值范围；再化简分式，结合a的取值找出满足条件的所有整数，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为： ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴不等式组的整数解为：2，3，4， ∴， ∴， 又， ∵分式的值是一个整数，即的值是一个整数， ∴或7， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：B． 【变式2-2】我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】 2或6 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 【变式2-3】阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 【题型4：分式的化简求值】 【例1】先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简与求值，根据分式的运算法则正确地对分式进行化简是解题关键． 首先根据分式的运算法则进行化简，然后把代入化简后的算式计算即可得到解答． 【详解】解：∵原式= = =， ∴当时，原式=． 【变式1-1】先将化简，然后选一个自己喜欢的值，求原代数式的值． 【答案】， 当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式化简求值，先括号内式子进行通分，然后把分式分子分母能分解因式的分解因式，然后约分化简，最后再代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴可取时，原式（答案不唯一）． 【变式1-2】先化简，再求值：，其中是从，0，…，2中选取的一个合适的数． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．根据分式的加减乘除运算法则进行运算化简，然后选择代入求值即可． 【详解】解： ， ∵且， ∴， 当，原式． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查了分式的化简求值，算术平方根和负整数指数等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简，再把化简后的a的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【变式1-4】先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着解不等式组求出不等式组的解集，进而得到x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵x是整数， ∴， ∴原式． 【题型5：利用分式方程增根的情况求参数】 【例1】已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解法，首先去分母，把分式方程转化为整式方程，可得：，可知当时，方程无解，当时，方程的解为，因为分式方程的解为增根，所以可得：，解方程求出的值即可，本题中需要注意无解和增根的区别． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程无解， 此时； 当时， 可得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 检验：当时，原方程的增根为，符合题意； 当时，分式方程有增根． 故选：C． 【变式1-1】若关于x的分式方程 无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1 ③ ④6（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】分式方程无解的情况有两种：1. 化简后的整式方程无解；2. 解为增根（使分母为0的值）．通过通分将原方程转化为整式方程，分析不同a值对应的解是否为增根或方程是否矛盾． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得． 展开整理为． 解得 ()． 分析无解条件： 当： 方程变为，即， 矛盾，方程无解． 当：解为． 若此解使分母为0（即或），则原方程无解． 若， 则． 解得． 若， 则． 解得． 综上，a可取②③④． 应选项：B． 【变式1-2】如果关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握分式方程增根的产生原因，增根的求法．分式方程去分母，化成整式方程，求出，再根据分式方程有增根，得到，求出的值，进而求出m值即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得：， 整理得， 解得， 关于的分式方程有增根， ， 或， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上可知，或， 故答案为：或． 【变式1-3】在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．先将分式方程化为整式方程，再由分式方程有增根，可得，再代入整式方程，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘得：， 解得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：， 将代入方程， 解得：． 故答案为：4 【变式1-4】小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，即可解答； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得， 展开，得， 解方程，得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的根是． （2）解： 方程两边同时乘以，得． ∵方程的增根是， ∴， 解得， 所以，原分式方程中“”代表的数是． 【变式1-5】下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【答案】四，见解析 【分析】本题考查了实解分式方程． 观察解分式方程的步骤，找出错误，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：小虎是从第四步开始出现错误， ①若，则方程无解，此时 ②若， ， 若方程无解，则为增根，即 综上，或． 【题型6：利用分式方程根的其他情况求参数】 【例1】已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解求解参数，解一元一次不等式，正确解出分式方程是求解此题的前提． 先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是非负数”即可求出的取值范围． 【详解】解：原式去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， 解得， 综上：且， 故选：A． 【变式1-1】若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 【变式1-2】已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含k的式子表示出x，再根据解是正数列不等式，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 分式方程的解是正数， 且， 解得：且 故答案为：且 【变式1-3】要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解一元一次不等式，解分式方程得出，结合原分式方程的解为负数即可得出，解不等式即可得出的取值范围，再根据分式方程的增根情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， 解得：， ∵原分式方程的增根为或， 又∵方程的解为负数，故增根不符合题意， 为使原方程有解，还需满足， ∴， 解得：， 综上所述，且． 【变式1-4】（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1）或6；（2）且 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． （1）先解方程可得，再根据这个分式方程有增根可得或，由此即可得； （2）先解方程可得，再根据这个分式方程的解是正数可得，然后根据方程有解可得，由此即可得． 【详解】解：（1）， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵这个分式方程有增根， ∴或，即或， ∴或， 解得或， 所以的值为或6． （2）， ， 解得， ∵这个方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵这个方程有解， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围为且． 【例2】如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求解分式方程，得出，再求解一元一次不等式组，结合题意可得，或，分别代入求解计算即可． 【详解】解：， 去分母：， 解得：，为正整数，且， 解不等式， 可得：， 解不等式：， 可得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 又∵，为正整数，且， ∴或， 若，则， 得， 若，则， 得， ∴所有满足条件的整数的和为：， 故选：D． 【变式2-1】如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 【变式2-2】若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 【变式2-3】若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程与求不等式组的整数解，解题的关键是掌握分式方程和不等式组的解法．解分式方程得到，进而得到，且，解不等式组得到，进而得到，求出，且，且，即可求解． 【详解】解：， 解得， 整数使得关于的分式方程的解为正数，且， ，且， ， 解得， 不等式组有且只有个整数解， ， ， ∵，且， 可取和， 满足条件的和为． 【变式2-4】若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，求实数m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，由不等式组解集的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理不等式组，得，因为不等式组的解集为，故，结合关于y的分式方程有非负数解，即且，故，且，再解得实数m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵ ∴解得：， ∵不等式组的解集为， ∴； ∵ ∴去分母得：， 解得：y， ∵由分式方程有非负数解， ∴且， 即，且， 解得：，且， 综上所述：满足条件的m的取值范围是． 【题型7：分式方程的实际应用——工程】 【例1】某市新区为美化环境，计划对面积为3600平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过16万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【答案】(1)甲每天能完成绿化的面积为100平方米，乙队每天能完成绿化的面积为50平方米 (2)20 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系和不等关系． （1）假设乙队每天能完成绿化的面积为平方米，则甲每天能完成绿化的面积为平方米，根据完成400平方米的绿化天数，列出方程求解即可； （2）设安排甲队工作天，则乙队工作的天数为天，根据花费钱数列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：假设乙队每天能完成绿化的面积为平方米，则甲每天能完成绿化的面积为平方米，根据题意得， 解得， 经检验，是分式的方程的解，并符合题意， ∴， 答：甲每天能完成绿化的面积为100平方米，乙队每天能完成绿化的面积为50平方米； （2）解：设安排甲队工作天，则乙队工作的天数为天，根据题意得， ， 解得， ∴至少应安排甲队工作20天． 【变式1-1】某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】(1)甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套 (2)甲车间每天生产套“穿楼积木” 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套，结合题意列式求解即可； （2）设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套， ∴， 解得，， ∴（套）， ∴甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套； （2）解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴甲车间每天生产套“穿楼积木”． 【变式1-2】新冠病毒对全球的发展造成了极大的影响，口罩已经成为预防新冠病毒的主要工具，根据相关数据统计：新冠病毒携带者与对方都未戴口罩，传染率；新冠病毒携带者未戴口罩、对方戴口罩，传染率；新冠病毒携带者戴口罩、对方未戴口罩，传染率；新冠病毒携带者与对方均戴口罩，传染率；双方都戴口罩，距离保持1.8米以上，传染率为，为供应市场对口罩的需求，某口罩生产公司，增加了口罩的生产线，增加生产线后每小时比增加生产线前多生产1000包口罩，没有增加生产线前生产600包口罩的时间与增加生产线后生产1000包口罩的时间相同． (1)求该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产多少包口罩． (2)请根据你对新冠病毒的了解，写出个人预防新冠病毒的两条有效措施． 【答案】(1)2500包 (2)可以通过戴口罩、保持社交距离等来预防新冠病毒（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产x包口罩，则该口罩生产公司增加生产线前每小时能生产包口罩，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合没有增加生产线前生产600包口罩的时间与增加生产线后生产1000包口罩的时间相同，可列出关于x的分式方程，解方程，经检验后，即可得出结论； （2）根据题意，找出个人预防新冠病毒的两条有效措施即可． 【详解】（1）解：设该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产x包口罩，则该口罩生产公司增加生产线前每小时能生产包口罩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：该口罩生产公司增加生产线后每小时能生产2500包口罩； （2）解：根据题意得：可以通过戴口罩、保持社交距离等来预防新冠病毒（答案不唯一）． 【变式1-3】合肥市2025年城市更新与道路品质提升工程招标，有A、B两家施工队参与投标．经测算：A队单独完成工程需要60天；若A队先施工30天，再由A、B两队合作12天，共完成总工程量的． (1)求B队单独完成这项工程需要多少天？ (2)已知A队施工一天需付工程款万元，B队施工一天需付工程款2万元．该工程由A、B两队先合作若干天，剩余工程由B队单独完成，若要求总工程款不超过195万元，求A、B两队最多可合作多少天？ 【答案】(1)90天 (2)20天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量的三分之二，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工，根据总工程款甲队工作时间乙队工作时间，结合工程款不超过195万元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要90天； （2）解：设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工， 依题意得：， 解得：． 答：甲、乙两队最多合作30天． 【题型8：分式方程的实际应用——行程】 【例1】年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分． 【答案】所用时间为分秒，能拿到满分 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该女生的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程求出速度，进而求出跑步时间，并与满分标准比较做出判断，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该女生的平均速度为米/秒， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵(秒)分秒分秒， ∴这名女生本次测试能拿到满分， 答：该女生本次测试所用时间为分秒，本次测试能拿到满分． 【变式1-1】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了两次球，浪费了13秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为85秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.4倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 【答案】乙同学获胜 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程=速度×时间，应算出甲乙两人所用时间． 【详解】解：设甲同学用时x秒，则乙同学用时秒，根据题意，得 ， 解得． 经检验，是方程的解，且符合题意． ∴ 乙同学所用的时间为：（秒）． ∵43＞42， ∴乙同学获胜． 答：乙同学获胜． 【变式1-2】铁路检修工人小张在隧道里检修，所在位置与入口处的距离为隧道全长的，他听到一列火车向隧道入口驶来，如果他尽力奔跑，无论向哪一头跑，火车到达他跟前时，他都刚好离开隧道．设火车速度是每小时60千米，求小张奔跑的速度是每小时是多少千米？ 【答案】12 【分析】本题考查分式方程实际应用．根据题意画图根据小张向两个方向跑时所用时间相同，火车行驶路程不同，利用速度比等于路程比列出比例式，求出火车到入口的距离，再根据时间相等求出小张的速度． 【详解】解：如图，设隧道为，小张检修于处，为入口，火车在处向隧道驶来： ， 设千米，隧道全长千米，千米，千米，小张奔跑的速度为千米每小时， ∴，， ∴两式相除得：，去分母得：， 经检验是所列方程组的解， ∴千米每小时， 答：小张奔跑的速度每小时是12千米． 【变式1-3】甲、乙两个码头相距200海里，某轮船从甲出发去乙码头送货，然后原路返回．若该轮船顺水行驶150海里与轮船逆水行驶100海里所用的时间相同．已知船在静水中的速度为每小时25海里，那么水的流速为每小时多少海里？ 【答案】每小时5海里 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设水的流速为每小时海里，则轮船顺水行驶速度为每小时海里，逆水行驶速度为每小时海里，根据该轮船顺水行驶150海里与轮船逆水行驶100海里所用的时间相同建立方程，解方程，并进行检验即可得． 【详解】解：设水的流速为每小时海里，则轮船顺水行驶速度为每小时海里，逆水行驶速度为每小时海里， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， 答：水的流速为每小时5海里． 【变式1-4】根据所给信息解决问题： 信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁，景色怡人，是市民散步、跑步的好地方． 信息2 一天，甲、乙两人同时从绿道上的地出发，经两地到达地，其中两地相距米． 信息3 已知甲从地到地的速度是米/分钟，用时分钟；从地到地的速度是100米/分钟，用时分钟． 信息4 乙以米/分钟的速度从地跑到地后，在地休息了分钟，在此期间，甲跑过乙的身边，此时甲恰好跑了分钟．乙休息结束后，立刻以米/分钟的速度追赶，最终与甲同时到达地． 问题： (1)试确定的值，及两地间的路程； (2)求的值． 【答案】(1)的值为，两地间的路程为米； (2)的值为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程，和分式方程． （1）利用路程=速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出t的值；设两地间的路程，利用路程=速度时间，结合两地间的路程不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用路程=速度时间，可求出的长，利用时间=路程速度，结合甲、乙同时到达地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 的值为， 设两地间的路程为米， 根据题意得：， 解得：， 答：的值为，两地间的路程为米； （2）解：（米）， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：的值为． 【题型9：分式方程的实际应用——销售与利润】 【例1】某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 【答案】(1)一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； (2)该校至少需要租用辆大型客车； 学校有种租车方案：方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案花费最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用. （1）设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元，根据用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，师生共人，列出一元一次不等式，解不等式即可； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据租车费用的预算为元，运用（1）的结论，列出一元一次不等式，再结合的结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； （2）设至少租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 答：该校至少需要租用辆大型客车； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 由得：，且为正整数， 或， 当时，，费用为：； 当时，，费用为：； 学校有种租车方案： 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； ， 方案花费最低． 【变式1-1】某商厦进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用8万元购进这种T恤衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元． (1)求第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ (2)商厦销售该款式T恤衫时每件定价都是58元，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元，剩余的T恤衫每件售价至少多少元？ 【答案】(1)第一批T恤衫每件进价是40元 (2)第二批剩余的T恤衫每件售价至少50元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设第一批T恤衫每件进价是元，根据“第二批这种T恤衫所购数量是第一批购进量的2倍，但单价提高了4元”，列出方程，可求得第一批T恤衫每件进价； （2）设第二批剩余的T恤衫每件售价元，根据“要使第二批T恤衫的销售利润不低于49600元”可列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设第一批T恤衫每件进价是元， 根据题意，得：， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：第一批T恤衫每件进价是40元； （2）解：由（1）知，第一批购进（件），第二批购进4000件， 设第二批剩余的T恤衫每件售价元， 根据题意，得， 解得， 答：第二批剩余的T恤衫每件售价至少50元． 【变式1-2】列方程（组）解下列问题： 近期“渝超”联赛火热进行中，全重庆掀起一股足球热潮．我校为鼓励学生参与足球运动，决定花费10800元购进一批足球．已知学校计划采购120个入门款足球供体育课使用，20个专业款足球供足球队训练，且专业款足球单价是入门款单价的3倍． (1)求入门款足球和专业款足球的单价分别是多少元？ (2)考虑到体育器材的损耗，学校计划再次采购，恰逢供应商降价酬宾，其中入门款足球每个降价a元，专业款足球每个降价3a元．经计算，学校花费5500元购进入门款足球的数量比花费4950元购进专业款足球数量的3倍多10个，求a的值． 【答案】(1)入门款足球单价为60元，专业款足球的单价为180元 (2) 【分析】题目主要考查一元一次方程及分式方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键 （1）设入门款足球单价为x元，专业款足球的单价为元，根据题意列出方程，然后求解即可； （2）根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设入门款足球单价为x元，专业款足球的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：入门款足球单价为60元，专业款足球的单价为180元， （2）根据题意得： 解得：， 检验：当时，， ∴． 【变式1-3】某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40 000元 花费：30 000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过35500元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元/个)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了， 则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过35500元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 【变式1-4】为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用200元购进乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本； (2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案． 【答案】(1)甲种30元/本，乙种50元/本 (2)该班共有6种购买方案．分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本； 方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本； 方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本； 方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本； 方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本； 方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设甲种图书的单价为元/本，则乙种图书的单价为元/本，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该班计划购进甲种图书本，则计划购进乙种图书本，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，进而即可找出方案. 【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元/本，则乙种图书的单价为元/本． 根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为50元/本． （2）解：设该班计划购进甲种图书本，则计划购进乙种图书本． 根据题意，得 解得． ∵a为正整数， ∴a的值为10，11，12，13，14，15， ∴该班共有6种购买方案． 分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本； 方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本； 方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本； 方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本； 方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本； 方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本． 【变式1-5】某学校去年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)今年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了，乙种足球售价是第一次购买时的9折．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】(1)购买一个甲种足球需 50 元，购买一个乙种足球需 70 元 (2)最多可购买 18 个乙种足球 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种足球需要元，根据数量总价单价结合购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可购买个乙种足球，则购买个甲种足球，根据总价单价数量结合此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，即可得出关于 y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一个甲种足球需元，则购买一个乙种足球需元， 根据题意，可得：． 解得：， 经检验是原方程的解， 答：购买一个甲种足球需 50 元，购买一个乙种足球需 70 元． （2）解：设这所学校再次购买个乙种足球，则购买个甲种足球， 根据题意，可得：， 解得：， 由题意可得，最多可购买 18 个乙种足球． 【变式1-6】综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 能力提升 一、单选题 1．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 2．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 3．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 5．（2025·重庆·模拟预测）对分式进行如下操作：将与相加，结果记为，称为第一次操作；将第一次操作的结果减去，结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果与相加，结果记为，称为第三次操作；…，以此类推，下列说法： ①第七次操作的结果． ②若成立，则的值有且只有1个； ③若存在唯一的值使得（，且为整数）成立，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法运算，根据题意找出数字的变化规律式解题的关键． 根据题意找规律，再进行分式的运算求解． ①通过计算前七次操作的结果，发现每次操作所添加x系数绝对值递增1，符号交替变化，第七次操作结果正确． ②若所有操作结果相等，可由，得，解得唯一解． ③当k为偶数时，设（n正整数），由，得，，得，由存在唯一的值，得，得，；当k为奇数时，设，得，得，，n不存在，k不存在； 题目中不满足，故③错误． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ， 正确． ②若，则每次操作后结果不变． 由，得，即， 解得时成立． 代入验证所有， 唯一解成立． ③当k为偶数时，设（n正整数）， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵存在唯一的值， ∴， ∴， ∴（舍去）， 或， ∴， ∴； 当k为奇数时，设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）， 或， ∴（舍去）， ∴n不存在，k不存在； 综上，， 不正确， 故③错误． 综上，正确说法为①和②，共2个， 故选：C． 6．（23-24八年级下·重庆·期末）已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，， 第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x， 第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，， 第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1， 第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：， 第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误； 综上可知，正确的个数是1， 故选B． 二、填空题 7．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得，根据分式方程有增根可得，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过分式的运算化简代数式，再代入已知条件求值． 先对括号内的分式进行通分相加，再将分子因式分解，通过约分简化代数式；最后将已知条件整体代入化简后的式子计算结果． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式的值为． 故答案为：． 9．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键． 首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． ∵分式方程分母不能为，即，， ∴，． 又∵方程的解为非负数， ∴，． 综上，且． 故答案为：且． 10．（2025·重庆永川·模拟预测）关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解．先解不等式组得出，再根据不等式组的解集为，得出，解得．再解分式方程得，根据分式方程的解为正整数，确定出符合题意的a值，进而得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 解分式方程， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为0，4，6，8， ∴满足条件的整数a的值之和为：． 故答案为：18． 11．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）对于正数，规定，例如：，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据题意可得，，进而根据所得规律解答即可求解，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴原式 ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解与应用． 分别求出不等式组有解时的取值范围和分式方程的解为正数时的取值范围，再取交集确定满足条件的的整数值． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 因为不等式组有解，所以（根据“大小小大中间找”，且有解，则要大于）， 解分式方程， 解得， 因为分式方程的解为正数，所以，解得． 又因为分母不能为0，即，解得． 结合不等式组得到的和分式方程得到的且，满足条件的整数为， 将这些整数相加：， 综上，满足条件的所有整数的值的和为． 故答案为：． 三、解答题 13．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 14．（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 15．（2025·江西·模拟预测）下面是小红同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小红同学的化简过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，，，中选择合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1)一； (2)，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． 根据平方差公式可知，所以第一步中除式的分母分解因式错误； 根据分式的运算法则计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可知只能选，把代入化简后的分式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 第一步中除式的分母分解因式错误， 小红同学的化简过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解： ， 分式的分母不为，除式不为， ，，， ，，， ， 当时， 原式 ． 16．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值：，其中是不等式组 的整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值和不等式组的求解，通过分式有意义的条件得出字母的值代入计算是解题的关键． 先对分式的分子和分母进行因式分解，再对括号内的两个分式通分，最后乘以，即可得到最简的式子，再求出不等式组的解集，再根据分式有意义的条件判断出具体的的值，代入计算即可． 【详解】原式 ， 解不等式，得， 为整数，且，，， ， 当时，原式． 17．（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值是． (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【详解】（1）解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． （2）解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． 【详解】（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 19．（25-26七年级下·全国·单元测试）关于的方程． (1)若方程的解为，求的值； (2)若此方程有增根，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或． 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题，解题关键是熟练掌握解分式方程的方法． （1）先将分式方程化为整式方程得，再把代入整式方程即可求出； （2）由分式方程有增根，得到，解出，将的值代入整式方程求出即可． 【详解】（1）解：原方程整理，得， 把代入整式方程得， 解得． （2）解：由分式方程有增根，得到， 解得或， 把代入整式方程得； 把代入整式方程得． 综上，的值为或． 20．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【答案】模型A每小时能处理数据 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，根据“模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：模型A每小时能处理数据． 21．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 22．（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 【答案】(1)精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元 (2)最少要购进普通果67 箱 【分析】本题考查了分式方程的实际应用与一元一次不等式的实际应用，理解题意，正确列出方程与不等式是关键； （1）设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元，根据等量关系：用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，列出分式方程并求解，最后检验即可． （2）设购进普通果m箱，则购进精品果箱，根据不等关系：购进精品果与普通果共花费不超过5000元，列出不等式，解不等式，求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元． 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元； （2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱． 根据题意得，， 解得 ∴符合题意的m的最小值为67， 答：最少要购进普通果67 箱． 23．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【分析】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 24．（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克． (1)若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． (2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克 【答案】(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22毫克和40毫克 (2)最多种植棵国槐树 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）设种植棵国槐树，则种植银杏树棵，根据题意列出一元一次不等式，求得最大正整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克． 由题意，得 解得： 经检验，是该分式方程的解，且符合题意 ∴(毫克) 答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为毫克和毫克 （2）毫克千克，毫克千克 设种植棵国槐树，则种植银杏树棵 由题意，得 解得 ∵为正整数， ∴最大取． 答：最多种植棵国槐树． 25．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 26．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 27．（2025·重庆·模拟预测）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 28．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣． 数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设： ①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼； ②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进； ③队列中学生间隔（单位：）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为（单位：）； ④队列匀速地撤出教学楼； ⑤疏散队伍行进速度ν（单位：）受队列密集程度的影响，队列越密集，行进的最大速度越慢； ⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计． 设化学实验室内的学生数为，其中为正整数，每间教室的长度为（单位：），前后门的宽度均为（单位：）． (1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间； (2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度为 ．经测量，每间教室的长度为 ，前后门的宽度为 ． ①在一次疏散演练中，化学实验室内有名学生，其中名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为 ．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由； ②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有名学生，且均有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为 ，第二次学生间隔为 ，第一次的行进速度比第二次的一半多，两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同，求第一次疏散演练队伍的行进速度； (3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示） 【答案】(1)； (2)①从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待，理由见解析；② (3)当时，时间；当时，时间． 【分析】本题主要考查了行程问题中的时间、路程、速度的关系，分式方程的应用，列代数式，以及分情况讨论的数学思想．熟练掌握行程问题的基本公式时间路程速度时间路程速度，并能根据实际情况分情况讨论是解题的关键． （1）确定第一个学生从教室前门到安全出口所经过的路程，根据速度公式时间路程速度时间路程速度来计算时间． （2）①要判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，需分别计算从后门撤离的第一个学生到达前门的时间和从前门撤离的学生全部撤出教室的时间，然后比较这两个时间的大小．②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，根据两次演练中化学实验室最后一名学生撤离到安全出口所用的时间相同这一条件，列出方程求解． （3）化学实验室内有名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，需要分情况讨论，根据不同的情况计算全部学生撤离到安全出口所用的时间． 【详解】（1）解：∵ 从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所走的路程为教室的长度，行进速度为， ∴时间； （2）解：①化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，从前门撤离的学生队列长度为． 从前门撤离的学生全部撤出教室的路程是队列长度加上学生身体的总厚度，学生身体的总厚度为， ∴总路程为． 从后门撤离的第一个学生到达前门的路程是教室的长度． ∵速度相同，路程， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门的时间小于从前门撤离的学生全部撤出教室的时间， ∴从后门撤离的第一个学生到达前门时需要等待． ②设第一次疏散演练队伍的行进速度为，则第二次的行进速度为． 第一次演练中，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生有名，队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为．后门的第一名撤离学生到前门的时间是， ∵， ∴第一次演练时间为． 第二次演练中，学生间隔为，从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为，从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，后门的第一名撤离学生到前门的时间是． ∵， ∴第二次演练时间为． 由两次时间相同 ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴第一次疏散演练队伍的行进速度为． （3）解：化学实验室内有名学生，名学生从前门撤离，名学生从后门撤离． 从前门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从前门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 从后门撤离的学生队列长度为，学生身体总厚度为， ∴从后门撤离的学生全部撤出教室的路程为，时间为． 当时，时间． 当时，时间． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $