贵州省黔西南州顶兴高级中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

黔西南州顶兴高级中学高三上学期第三次月考 数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证 号填写在答题卡上。 2.回答第】卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效， 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1.已知命题p:“vx≥0，e≥cosx”,则p为() A.Vx≥0，e2<cosx B.3x≥0，e2≥cosx C.3x≥0，e<cosx D.x≥0，e2cosx 2.已知全集U={x-1<x<5),集合A满足CwA={x0≤x<3),则() A.0∈A B.1A C.2EA D.3A 3.已知复数z=2+1,则复数在复平面内对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知a>0,b>0,且时+片=1，则4a+9b的最小值是（) A.23 B.26 C.22 D.25 5.在等差数列a,J冲，1=33，则as+ag-=（) A.5 B.4 C.3 D.2 6.己知an0=h+3cos0 地0co0 0<0<克则tan20=（） A-月 B. c.-月 D.月 7.已知某圆锥的轴裁面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为() A.9n B.16m C.12π D.163m 8.函数f(x)=lnx-mx+1,若存在xe(0,+o),使f(x)≥0有解，则m的取值范围为() A.(-∞，1] B.(-o,2] C.[1,+o) D.2,+o) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分 9.己知函数f(x)=Asn(aωx+p)(A>0,仙>0，lpl<)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(） A.函数y=f(x)的最小正周期为2m B.函数划=f)的图象关于直线x=一对称 C.函数y=f)在票，-月单调递减 D.该图象向右平移个单位可得y=2sin2x的图象 10.已知平面a,B满足a⊥B,anB=l,直线m,n满足mSa,nSB,且m,n与l不重合，则下列结论正确的是 A.若m/m,则m/几 B.若mnn=P,则P∈l C.若m⊥l,则m⊥n D.若m⊥n,则m⊥l 11.已知函数f(x)=xn(1+x),下列说法正确的是（) A.f(x)是奇函数 B.f(x)有两个零点 c.y=f)在点(L,f1)处切线的斜率为1n2+片 D.f(x)在(0，+o)单调递增 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知t是实数，设向量a=(3,4),向量5=(2,1)，若a1(a-t),则的值为一 13.记5n为数列(an)的前n项和，满足2Sn=nan,且a4=6,则a2=_ 14。一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该图锥内有一个体积为V的球，则该球的 体积V的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分， 15.(本题满分13分)已知函数=cos(x+pu>0,0<p<)的最小正周期为n,且f0)=受 (1)求f(x)的解析式： (2)设函数g()=f)+f(x+》,求g(x)的值域和单调区间. 16.(本题满分15分)在aABC中，内角AB,C的对边分别是a,b,c,且csinB+V3 bcosC=V3a,b=V3 (I)求角B: (2)若a+c=2,求边AC上的角平分线BD长. 17.(本题满分15分)已知(an为等差数列，（亿n)为等比数列，a1=1,b1=2,a4=2a2,b4=4(bg-b2). (I)求(aJ和bnJ的通项公式 (2)求数列份}的前n项和， 18.(本题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD,E为棱PD上一点， 且PE=2ED (I)证明：平面PAC⊥平面PBD: (2)设直线PC与平面ABE交于点F,证明：EF/CD: (3)若AB=4,LBAD=5,PD=3,求平面ABE与平面AEC的夹角的余弦值. 19.(本题满分17分）已知函数f)=lx-m,9()=x2- (1)若m=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)已知h()=f(x)+g,若h(x)有两个极值点，求m的取值范围. 第4页共4页黔西南州顶兴高级中学高三上学期第三次月考数学参考答案 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 C B C D A C C A BD ABC 题号 11 答案 ACD 1.C 【分析】根据含有全称量词命题的否定进行判断即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以“Vx≥0，ex≥c0sx”的否定是]x≥0，e*<cosx'. 故选：C. 2.B 【分析】根据全集和集合A在全集中的补集易得集合A,逐一判断选项即可 【详解】由U={x|-1<x<5),CuA={x|0≤x<3},可得A={x-1<x<0或3≤x< 53 则0A,1庄A,2A,3∈A,故B项正确，A,C,D项均是错误的. 故选：B. 3.C 【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算法则，可得=-1-2i,根据复数的几何意 义，即可得答案 【详解】由题意得，z=2-i,所以==22=-1-2i, 在复平面内对应的点为(-1，-2)，故该点在第三象限。 故选：C 4.D 【分析】根据已知将4a+9b变为（侣+）(4a+9b),展开后结合基本不等式，即可求得答案 【详解】由题意得a>0,b>0,+号1， 故4a+96=C+)4a+90)=兽+号+13≥22号+13=25， 当且仅当曾=台结合+1，即a=b=时取等号， a a 3 故4a+9b的最小值是25， 答案第1页，共9页 故选：D 5.A 【分析】根据等差数列求和公式得到a1+5d=3,进而由等差数列通项公式基本量计算出 答案 【详解】设公差为d,S=33,即1a1+0d=33,故a1+5d=3, as+ae-a,=a1+4d+a1+7d-a1+8d=a1+5d=×3=5. 1 故选：A 6.C 【分析】将弦化切，即可求出tan6,再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为am6=e二所以am0-二号解得am9=3或a0=-1 又0<日<所以tan0>0,则tan9=3, 所以an20=。=经=-是 故选：C 7.C 【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即 可求解 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为P,半径为r, 球P切该圆锥的母线AB于点F,C为该圆锥底面圆的圆心， 则PF1AB,AC1BC,因为∠PAF=30°，所以AP=2PF,又AC=6sin60°=3V3, PC=PF=r,则AP+PC=3r=3V3,解得r=V3, 故该圆锥的内切球的表面积为42=12π 故选：C B 答案第2页，共9页 8.A 【分析】构造函数g()=,利用导数求最值，进而得m的取值范围， 【详解】若存在xE0,+,使得f)≥0有解，即m≤(） 设g)=1,x>0),则g)=1-回- x2 x2 令g(x)=0,解得x=1, 当x∈(0,1)时，g(x)>0,g(x)单调递增； 当x∈(1，+o)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)mx=g(1)=1. 故m的取值范围为(-∞，1]. 故选：A 9.BD 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可： 【详解】由图象得A=2,:告-子解得T=元，所以f()的最小正周期为，故A错： T=惩=，则w=2,将（侣，2）代入f)=2sin(2x+p)中得2=2sim(低+9）， 则5+p=艺+2k,k∈Z,解得p=+2km,k∈Z, 因为ol<受所以p=子f)=2sim(2x+)f(-9=2sim(-g+)=-2, 所以x=-是f()的对称轴，故B正确： 当x∈[-时，2x+号c【0],因为y=2six在[-元o]上不单调， 所以fx)在[至，-上不单调，故C错： 该图象向右平移g个单位可得y=2sim[2(x-)+到=2sin2x,故D正确， 故选：BD 10.ABC 【分析】对于A,根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理即可判断： 对于B,根据平面与平面的位置关系即可判断： 对于C,D,根据面面垂直的性质定理即可判断： 【详解】对于A,因为m/m,n≤β， 假设m∈B,又mc,则mEanB=l,这与题设m与l不重合矛盾，所以m车B, 答案第3页，共9页 所以m/B,又mca,anB=l, 所以由线面平行的性质定理得m/儿，故A正确： 对于B,因为anB=l,m∈a,n∈B,m∩n=P, 所以根据平面与平面的位置关系可得P∈L,故B正确； 对于C,因为a1β，anB=l,m∈a,m1l, 所以根据面面垂直的性质定理可得m1β， 又n二B所以m1n,故C正确： 对于D,根据面面垂直的性质定理可知，当m1n时，可能m1L,也可能m/儿，也可能相 交，故D错误； 故选：ABC. 11.ACD 【分析】根据奇函数的定义、零点的求解、导函数和函数的单调性进行逐一判断即可. 【详解】对于A: 函数f(x)=xn(1+x)的定义域为R,关于原点对称， 而f(-x)=-xn(1+-x)=-xn(1+x)=-f(x),所以函数为奇函数，A正确： 对于B: 令f(x)=0,则xn(1+x)=0,则x=0或1+x=1, 所以x=0,所以函数只有一个零点，B错误； 对于C: 当x>0时，f(x)=xn(1+x),对函数求导得 f)=血(1+)+齐那么f)=l2+2 所以函数在点(1，f(1)处切线的斜率为ln2+子C正确： 对于D: 当x>0时，f()=ln(1+)+本>0，所以函数在(0，+o)上单调递增，D正确. 故选：ACD 12.月 【解析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出a和·万的值，由元1(a一t)得a·(a一 t=0,由此可计算出实数t的值. 答案第4页，共9页 【详解】a=(3,4,万=(2,1)，则a2=32+42=25,a·万=3×2+4×1=10， a1(a-切，则t:(位-t切)=2-t垃：万=25-10t=0,解得t= 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能 力，属于基础题 13.2 【分析】利用a,与Sn的关系，代入n=2,3,4解方程即可. 【详解】因为2Sn=na,且a4=6, 所以当n=4时，2S4=2(a1+a2+a3+a4)=4a4' 则a1+a2+a3+a4=12,结合a4=6,即a1+a2+3=a4=6①： 当n=3时，2S3=2(a1+a2+a3)=3ag→2a1+2a2=a3②； 当n=2时，2S2=2(a1+a2)=2a2→2a1+2a2=2a2→a1=0③： 将③代入②可得a3=2a2,结合a1=0代入①可得3a2=6→a2=2. 故答案为：2. 14.9m 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径， 进而由球的体积公式求出答案， 【详解】解：由题意得，扇形的弧长1=3×号=2， 所以该圆锥的底面圆的半径一云=1， 所以该圆锥的高h=V32-rz=2V2】 设该圆锥内的球的最大半径为R,圆锥的轴截面如图所示： R B D 则依题意得SaAc=×2×2V2=×(3+3+2)×R,所以R=要 答案第5页，共9页 所以该球的体积V的最大值是R3=(图π=号π， 故答案为：π 3 15.(1)f()=cos(2x+) (2)值域为[-V3,V夙，递增区间为[-牙+km-:+k,递减区间为[-+km,+m,k∈Z 【分析】(1)先由周期求仙，再由f0)=求出即可求解： (2)由诱导公式得f(x+)=-sin2x,利用三角恒等变换得g()=V3cos(2x+),利用 三角函数的性质求出值域和单调区间即可. 【详解】(1)由T=g=,得w=2.f(0)=csp=复，且0<p<m,所以0=名 所以f)=cos(2x+8): (2)由f(x+月=cos(2x+习=-sin2x, g(x)=f(x)+fx+=cos2xcos-sin2xsin-sin2x cos2xsinzx cos2xcos-sin2xsim-Vcos(x) 所以g(x)的值域为[-V3,V3, 因为y=cosx在[-π+2kL,2k可上单调递增，在[2kπ，π+2kπ(k∈Z)上单调递减， 由-π+2m≤2x+5≤2km得-+km≤x<-元+kπ， 由2km≤2x+号≤2km+π得-石+km≤x≤号+km,keZ, 所以g()的递增区间为[号+m-+k,递减区间为[+k+k,k∈z 16.(1)B= 2BD=9 【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简即可求出 B (2)利用余弦定理及已知求出ac,然后利用三角形面积公式列方程求解即可. 【详解(1)在△ABC中，由正弦定理及csinB+V3 bcosC=V3a,得sinBsinC+√3 sinBcosC= √3sinA 答案第6页，共9页 =V3sin(B+C)=V3sinBcosC +V3cosBsinC,sinBsinC V3cosBsinC, 而sinC≠0，解得tanB=V3,又B∈(O,m), 所以B= (2)由B=及余弦定理得3=c2+a2-ac=(c+a)2-3ac,又a+c=2,解得ac= 由SAABC=SAABD+Snc得acsinB=c,BD:sin号+a~BD·sin2 即acsin号=BD·(e+o)sing则时×号=BD×2x号 3 3 2 所以BD=兽 17.(1)an=n,bn=2m (2r.=;(份”，neN 【分析】(1)由等差等比数列项之间的关系建立等式，求得公比和公差的值，从而写出通项 公式： (2)由题得到新数列通项，利用错位相减即可得到新数列的前项和. 【详解】(1)设等差数列{an的公差为d,等比数列{bmn}的公比为q 由a1=1,a4=2a2,可得d=1,所以am=n 由b1=2,b4=4(b3-b2),又q≠0，可得q2-4q+4=0,解得q=2, 从而b的通项公式为bn=2m。 (2)设数列二}的前n项和为T因为二=京 所以7.=1×（)'+2x()+3×(Θ)°++元x()”, 打.=1×)+2×()°++0m-1)×(份+n×份， 两式相减得， .-+份+份++-x0 -×Θ-专+目， 1-1 即T,=专g(份”，neN 18.(1)证明见解析： (2)证明见解析； 答案第7页，共9页 3)v05 130 【分析】(1)根据给定条件，利用线面垂直性质判定、面面垂直的判定推理得证， (2)利用线面平行的判定、性质推理得证 (3)令AC∩BD=O,以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABE与平面AEC的法向量， 再利用面面角的向量法求解。 【详解】(I)在四棱锥P-ABCD中，由PDI平面ABCD,ACc平面ABCD,得PD L AC, 由四边形ABCD为菱形，得AC⊥BD,又PD,BDC平面PBD,且PD∩BD=D, 因此AC⊥平面PBD,而ACC平面PAC,所以平面PACI平面PBD. (2)由四边形ABCD为菱形，得AB/CD,又ABC平面ABE,CD￠平面ABE, 则CD/平面ABE,又CDc平面PCD,平面ABEn平面PCD=EF, 所以EF/ICD (3)设ACnBD=O,以O为原点，直线0A,OB分别为x,y轴， 过O垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(23,0,0),B(0,2,0),C(-23,0,0),E(0,-2,1), AE=(-23,-2,1),AB=(-23,2,0),AC=(-4W3,0,0) 设平面ABE的应该法向量元=(x,y,Z), 则Bm=-23x+2y=0 AE.mi=-2v3x-2y+z=0 ,令x=1,得m=(1,3,4W3) 设平面AEC的应该法向量元=(a,b,c) 则AC.i=-4W3a=0 4正.元=-2N3a-2b+c=0’令b=1,得元=(01,2y 设平面ABE与平面AEC的夹角为0， 则co0=1kos成=哥= 2v13x 发=网， 130 所以平面ABE与平面AEC的夹角的余弦值为 130 19.(1y=-1 答案第8页，共9页 (2)答案见解析 (3)m>2 【分析】(1)由条件求f(1),f'(1),结合导数的几何意义及点斜式可求切线方程， (2)求导可得f()-,分m≤0，m>0两种情况，结合导数与单调性的关系求结论： (3)条件可转化为方程x2-mx+1=0有两个正根，结合根于系数关系列不等式求结论. 【详解】(1)由m=1,得f(x)=lnx-x,则f(1)=-1, 又f()=是-1，所以f(1)=0, 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-1. (2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，又f(w)=1-m=1m, 当m≤0时，f'(x)>0在x>0时恒成立，此时f(x)在(0，+oo)单调递增； 当m>0时，令f)=0,得x=品 当x∈(0，)时，f()>0,函数f)单调递增； 当x∈（怎，+∞）时，f()<0,函数f)单调递减。 综上所述，当m≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增： 当m>0时，函数f()在(0，)上单调递增，在（怎，+∞）上单调递减。 (3)h)=f)+gx)=nx+2x2-mx-2(cx>0), 则h()=是+x-m=2-m+1 因为hx)的两个极值点为x,x2,所以x2-mx+1=0的两根为x1,x2,且x1,x2>0, 4=(-m)2-4>0 所以x+x2=m>0,解得m>2. (x1x2=1>0 答案第9页，共9页