全等三角形的判定复习讲义-2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学全等三角形判定复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，将SSS、SAS、ASA/AAS、HL等判定定理按“基础判定-综合应用”递进组织，用表格呈现考点目录，清晰分布重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“真题情境化”练习设计，如动态平移证明（例1（2））、多条件综合证明（例3），结合变式训练分层提升，培养推理意识与几何直观。每个考点附书写规范指导，帮助学生掌握逻辑表达，教师可据此实施精准分层教学，支持学生自主复习与能力进阶。

全等三角形的判定复习讲义 全等三角形的判定复习讲义 考点目录 用证明三角形全等 用证明三角形全等 用或证明三角形全等 用证明三角形全等 全等的性质与综合 全等的性质与（）综合 考点一 用证明三角形全等 【知识点解析】 1. （边边边）定理：如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等. 2.核心条件 （1）两个三角形需满足 “三条边对应相等”：即△ABC 和△A'B'C' 中，AB = A'B'、BC = B'C'、AC = A'C'，三者缺一不可. （2）“对应边” 是关键：必须是两个三角形中相对应的边（如△ABC 的最长边对应△A'B'C' 的最长边，最短边对应最短边），而非任意三条边相等. 3.符号表示与书写规范 （1）符号：△ABC ≌ △A'B'C'（SSS），括号内标注判定依据 “SSS”. （2）书写顺序：对应顶点需按顺序写（如 AB 对应 A'B'，则 A 对应 A'、B 对应 B'、C 对应 C'），避免混淆. 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，B，D，C，F四点在同一直线上，，，，与是否全等？为什么？ 【答案】，理由见解析． 【详解】解：，理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 例2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ∴． 例3．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，已知D是上一点，；求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ， 又， ， 在与中， ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）（1）已知等腰三角形的一边长为7，一边长为3，求它的周长． （2）如图，已知，求证：． 【答案】（1）17；（2）见详解 【详解】（1）解：当7为腰时，三边分别是7，7，3，周长为； 当7为底边时，三边分别是7，3，3， ∵， ∴不存在； （2）证明：∵在和中， ， ． 变式2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，点是线段的中点，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：点是线段的中点， ． 在和中， ， ． 变式3．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由． 如图，已知，，，，求的度数． 解：∵，（已知）， ∴_______（等式的性质），即． 在和中，， ∴______________， ∴（________）． 【答案】，，，，，全等三角形的对应角相等． 【详解】由等式的性质得， ． 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）． 考点二 用证明三角形全等 【知识点解析】 1. （边角边）定理：如果两个三角形的两条对应边相等，且这两条边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等. 2.必备条件（三者缺一不可） （1）两条对应边相等（如△ABC 的 AB 与△A'B'C' 的 A'B' 相等，AC 与 A'C' 相等）； （2）这两条边的夹角对应相等（即∠A = ∠A'，夹角是两条边的公共顶点处的角，而非其中一条边的对角）； （3）“对应” 原则：边和角必须一一对应（边 AB 对应 A'B'，边 AC 对应 A'C'，则夹角必须是∠A 和∠A'）. 3.关键区别：夹角 vs 对角SAS 定理的核心是 “夹角”，如果是两条边和其中一条边的对角相等（即 “边边角”，简称 SSA），不能判定三角形全等（因为这种情况可能出现两个不同形状的三角形）. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图1，A，B，C，D在同一直线上，，，且． (1)求证：； (2)如果将沿着边的方向平行移动，如图2时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∴， ∴． 又∵ ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴． 例2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，并且，，．求证：． 【答案】证明见详解 【详解】证明：∵，点B，F，C，E在同一直线上， ∴，即， 在和中， ， ∴． 例3．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）已知：如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知点，在线段上，，，．问与全等吗？请说明理由． 【答案】全等，见解析 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 变式2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：点分别为的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：， ． 变式3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ∴， ， ， ； （2）解：∵， ， 设与交于点O， ， ， ， ． 考点三 用或证明三角形全等 【知识点解析】 1. （角边角）定理： （1）定理内容：如果两个三角形的两个对应角相等，且这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等. （2）关键条件（三者缺一不可） ①两个对应角相等（如△ABC 的∠A=△A'B'C' 的∠A'，∠B=△A'B'C' 的∠B'）； ②这两个角的夹边对应相等（即∠A 和∠B 的夹边 AB=∠A' 和∠B' 的夹边 A'B'）； ③“对应” 原则：角与夹边必须一一对应（角对的是夹边，而非其他边）. 2. （角边角）定理： （1）定理内容：如果两个三角形的两个对应角相等，且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等. （2）关键条件（三者缺一不可） ①两个对应角相等（如△ABC 的∠A=△A'B'C' 的∠A'，∠B=△A'B'C' 的∠B'）； ②其中一个角的对边对应相等（如∠C 的对边 AB=∠C' 的对边 A'B'，或∠A 的对边 BC=∠A' 的对边 B'C'）； ③本质：由三角形内角和为 180°，两个角相等则第三个角必然相等，因此 AAS 可看作 ASA 的 “推论”（将对边转化为夹边）。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，，，．求证． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， ． 在和中 ． 例2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：，，理由如下： ， ， ∴． 例3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且．全等吗？请说明理由． 【答案】见解析 【详解】解：全等．理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 变式2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作，，连接，且交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：，， ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）证明：在和中， ． ． 变式3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点在同一直线上，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 考点四 用证明三角形全等 【知识点解析】 1.HL（斜边、直角边）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等. 2.必备条件（三者缺一不可） （1）两个三角形都是直角三角形（即∠C=∠C'=90°，需明确直角顶点）； （2）斜边对应相等（如 Rt△ABC 的斜边 AB = Rt△A'B'C' 的斜边 A'B'）； （3）一条直角边对应相等（如 Rt△ABC 的直角边 AC = Rt△A'B'C' 的直角边 A'C'，或 BC = B'C'）. 3.HL 与其他判定定理的关系 （1）HL 本质是 SSS 的特例 直角三角形中，由勾股定理（a²+b²=c²）可知，若斜边 c 和一条直角边 a 对应相等，则另一条直角边 b=√(c²-a²) 必然相等，因此 HL 等价于 “斜边 + 两条直角边对应相等”（SSS），但 HL 更简洁，无需计算另一条直角边. （2）直角三角形的全等判定选择 ①若已知斜边 + 直角边：用 HL； ②若已知两条直角边：用 SAS（直角是两条直角边的夹角）； ③若已知直角 + 一条直角边 + 一个锐角：用 ASA 或 AAS. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：在和中， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ． 例2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，点D是BC的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)写出图中一对全等的三角形：______； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：全等的三角形有； 故答案为：； （2）证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， 在和中， ， ． ． 例3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. (1)求证：≌； (2)若，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， . 变式2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）证明：， 和是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 变式3．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 考点五 全等的性质与综合 【知识点解析】 1.核心逻辑：“判定→性质” 的推导链 （1）SAS 判定（前提）：找到两个三角形中 “两条对应边相等 + 夹角相等” 的条件，证明△ABC ≌ △A'B'C'； （2）全等性质（结论）：由全等直接得出 ①剩余一组对应边相等（AB=A'B'、BC=B'C'、AC=A'C' 中未用作判定的边）； ②所有对应角相等（∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'）； ③延伸推导：结合其他几何性质（如平行线、角平分线、中线），进一步证明线段平行、垂直或图形全等。 2.解题通用步骤 （1）定位目标三角形：明确需要证明全等的两个三角形（通常由待证结论反推，如要证某条线段相等，先看该线段属于哪两个三角形）； （2）梳理 SAS 条件： ①找相等的边：已知条件、公共边、中点 / 中线性质、角平分线性质、平行线性质推导的边相等； ②找相等的夹角：已知条件、公共角、平行线的内错角 / 同位角、角平分线性质推导的角相等； （3）用 SAS 证明全等：严格按照 “边→角→边” 的顺序书写证明过程，标注判定依据（SAS）； （4）用全等性质得结论：根据待证目标，提取全等三角形的对应边 / 角相等，完成证明. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，，，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． ． （2）， ， 又， ． 例2．（20-21八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，延长到点E，使，连接、．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知．求的度数． 【答案】 【详解】解：在与中 ∵ ∴ ∴． ∵， ∴． 变式2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，与交于点，连结． (1)求证：； (2)过点作于点，于点，求证：； (3)若，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）得，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得，，由（）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 变式3．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在和中，，，，点B、D、E在同一条直线上，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 考点六 全等的性质与（）综合 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知：，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，点D在的延长线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：点D是延长线上一点，， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，过点作，过点作，两条垂线和相交于点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：（1）证明：， ， ， ． 在和中， （）． （2）， ， ． 变式2．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！ (1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：． (2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不成立；；证明见解析 【详解】（1）证明：因为，， 所以． 所以，． 所以． 在和中， 所以． （2）证明：因为， 所以． 所以，． 所以． 在和中， 所以． 所以，． 因为， 所以． （3）解：结论不成立，．理由如下： 因为，， 所以． 又， 在和中， 所以． 所以，． 因为， 所以． 变式3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上的一道题进行深入研究后，尝试将其结论推广到更一般的情形．请你和他们一起完成探究． (1)如图1，在中，，，直线过点C，且，，垂足分别为D，E．试探究，，之间的数量关系，并加以证明． (2)小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1中直线位置的变化，，，之间的数量关系也会变化.当直线在内部位于图2所示的位置时，请直接写出，，之间的数量关系：_____； (3)小组同学进一步思考：如图3，若不变，，直线过点C且经过外部，D在E的左侧，且，若，，则的长为_____． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1），理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． 故答案为： （3）∵，，， ∴． 又∵，， ∴． ∴，． ∵， ∴． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $全等三角形的判定复习讲义 全等三角形的判定复习讲义 考点目录 用证明三角形全等 用证明三角形全等 用或证明三角形全等 用证明三角形全等 全等的性质与综合 全等的性质与（）综合 考点一 用证明三角形全等 【知识点解析】 1. （边边边）定理：如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等. 2.核心条件 （1）两个三角形需满足 “三条边对应相等”：即△ABC 和△A'B'C' 中，AB = A'B'、BC = B'C'、AC = A'C'，三者缺一不可. （2）“对应边” 是关键：必须是两个三角形中相对应的边（如△ABC 的最长边对应△A'B'C' 的最长边，最短边对应最短边），而非任意三条边相等. 3.符号表示与书写规范 （1）符号：△ABC ≌ △A'B'C'（SSS），括号内标注判定依据 “SSS”. （2）书写顺序：对应顶点需按顺序写（如 AB 对应 A'B'，则 A 对应 A'、B 对应 B'、C 对应 C'），避免混淆. 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，B，D，C，F四点在同一直线上，，，，与是否全等？为什么？ 例2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 例3．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，已知D是上一点，；求证：． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）（1）已知等腰三角形的一边长为7，一边长为3，求它的周长． （2）如图，已知，求证：． 变式2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，点是线段的中点，，，求证：． 变式3．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由． 如图，已知，，，，求的度数． 解：∵，（已知）， ∴_______（等式的性质），即． 在和中，， ∴______________， ∴（________）． 考点二 用证明三角形全等 【知识点解析】 1. （边角边）定理：如果两个三角形的两条对应边相等，且这两条边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等. 2.必备条件（三者缺一不可） （1）两条对应边相等（如△ABC 的 AB 与△A'B'C' 的 A'B' 相等，AC 与 A'C' 相等）； （2）这两条边的夹角对应相等（即∠A = ∠A'，夹角是两条边的公共顶点处的角，而非其中一条边的对角）； （3）“对应” 原则：边和角必须一一对应（边 AB 对应 A'B'，边 AC 对应 A'C'，则夹角必须是∠A 和∠A'）. 3.关键区别：夹角 vs 对角SAS 定理的核心是 “夹角”，如果是两条边和其中一条边的对角相等（即 “边边角”，简称 SSA），不能判定三角形全等（因为这种情况可能出现两个不同形状的三角形）. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图1，A，B，C，D在同一直线上，，，且． (1)求证：； (2)如果将沿着边的方向平行移动，如图2时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 例2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，并且，，．求证：． 例3．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）已知：如图，，，．求证：． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知点，在线段上，，，．问与全等吗？请说明理由． 变式2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 考点三 用或证明三角形全等 【知识点解析】 1. （角边角）定理： （1）定理内容：如果两个三角形的两个对应角相等，且这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等. （2）关键条件（三者缺一不可） ①两个对应角相等（如△ABC 的∠A=△A'B'C' 的∠A'，∠B=△A'B'C' 的∠B'）； ②这两个角的夹边对应相等（即∠A 和∠B 的夹边 AB=∠A' 和∠B' 的夹边 A'B'）； ③“对应” 原则：角与夹边必须一一对应（角对的是夹边，而非其他边）. 2. （角边角）定理： （1）定理内容：如果两个三角形的两个对应角相等，且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等. （2）关键条件（三者缺一不可） ①两个对应角相等（如△ABC 的∠A=△A'B'C' 的∠A'，∠B=△A'B'C' 的∠B'）； ②其中一个角的对边对应相等（如∠C 的对边 AB=∠C' 的对边 A'B'，或∠A 的对边 BC=∠A' 的对边 B'C'）； ③本质：由三角形内角和为 180°，两个角相等则第三个角必然相等，因此 AAS 可看作 ASA 的 “推论”（将对边转化为夹边）。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，，，．求证． 例2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 例3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且．全等吗？请说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 变式2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作，，连接，且交于点． (1)求证：； (2)求证：． 变式3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点在同一直线上，．求证：． 考点四 用证明三角形全等 【知识点解析】 1.HL（斜边、直角边）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等. 2.必备条件（三者缺一不可） （1）两个三角形都是直角三角形（即∠C=∠C'=90°，需明确直角顶点）； （2）斜边对应相等（如 Rt△ABC 的斜边 AB = Rt△A'B'C' 的斜边 A'B'）； （3）一条直角边对应相等（如 Rt△ABC 的直角边 AC = Rt△A'B'C' 的直角边 A'C'，或 BC = B'C'）. 3.HL 与其他判定定理的关系 （1）HL 本质是 SSS 的特例 直角三角形中，由勾股定理（a²+b²=c²）可知，若斜边 c 和一条直角边 a 对应相等，则另一条直角边 b=√(c²-a²) 必然相等，因此 HL 等价于 “斜边 + 两条直角边对应相等”（SSS），但 HL 更简洁，无需计算另一条直角边. （2）直角三角形的全等判定选择 ①若已知斜边 + 直角边：用 HL； ②若已知两条直角边：用 SAS（直角是两条直角边的夹角）； ③若已知直角 + 一条直角边 + 一个锐角：用 ASA 或 AAS. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 例2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，点D是BC的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)写出图中一对全等的三角形：______； (2)求证：． 例3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. (1)求证：≌； (2)若，求的度数. 变式2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，相交于点．求证： (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 考点五 全等的性质与综合 【知识点解析】 1.核心逻辑：“判定→性质” 的推导链 （1）SAS 判定（前提）：找到两个三角形中 “两条对应边相等 + 夹角相等” 的条件，证明△ABC ≌ △A'B'C'； （2）全等性质（结论）：由全等直接得出 ①剩余一组对应边相等（AB=A'B'、BC=B'C'、AC=A'C' 中未用作判定的边）； ②所有对应角相等（∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'）； ③延伸推导：结合其他几何性质（如平行线、角平分线、中线），进一步证明线段平行、垂直或图形全等。 2.解题通用步骤 （1）定位目标三角形：明确需要证明全等的两个三角形（通常由待证结论反推，如要证某条线段相等，先看该线段属于哪两个三角形）； （2）梳理 SAS 条件： ①找相等的边：已知条件、公共边、中点 / 中线性质、角平分线性质、平行线性质推导的边相等； ②找相等的夹角：已知条件、公共角、平行线的内错角 / 同位角、角平分线性质推导的角相等； （3）用 SAS 证明全等：严格按照 “边→角→边” 的顺序书写证明过程，标注判定依据（SAS）； （4）用全等性质得结论：根据待证目标，提取全等三角形的对应边 / 角相等，完成证明. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，，，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求． 例2．（20-21八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，，，求证：． 例3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，延长到点E，使，连接、．求证：． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知．求的度数． 变式2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，与交于点，连结． (1)求证：； (2)过点作于点，于点，求证：； (3)若，求的度数（直接写出答案）． 变式3．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在和中，，，，点B、D、E在同一条直线上，，，求的度数． 考点六 全等的性质与（）综合 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 例2．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知：，．求证：． 例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，点D在的延长线上，，，．求证：． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，过点作，过点作，两条垂线和相交于点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 变式2．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！ (1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：． (2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程． 变式3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上的一道题进行深入研究后，尝试将其结论推广到更一般的情形．请你和他们一起完成探究． (1)如图1，在中，，，直线过点C，且，，垂足分别为D，E．试探究，，之间的数量关系，并加以证明． (2)小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1中直线位置的变化，，，之间的数量关系也会变化.当直线在内部位于图2所示的位置时，请直接写出，，之间的数量关系：_____； (3)小组同学进一步思考：如图3，若不变，，直线过点C且经过外部，D在E的左侧，且，若，，则的长为_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $