1.3 全等三角形的判定 讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学讲义以“核心判定定理-易错点辨析-结构化解题流程”为主线构建全等三角形判定知识体系，通过框架图呈现5个判定定理的文字表述、符号表示及关键要点，用对比列表明确SSA、AAA等不能判定的情况，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，从SAS、ASA(AAS)基础证明到综合应用，如“测量池塘距离”实际问题培养数学眼光，通过“观察-选择-验证-书写”四步流程强化推理能力。基础题巩固定理应用，综合题提升逻辑思维，助力学生自主复习，也为教师提供精准教学支持。

专题1.3全等三角形的判定 题型梳理 [题型一 用SAS证明(或间接证明)三角形全等]................................................................3 [题型二 全等的性质和SAS综合(SAS)].............................................................................7 .[题型三 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或AAS)]..................................................15 [题型四 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或AAS)]...................................................19 [题型五 全等的性质和HL综合(HL)]................................................................................28 [题型六 全等三角形综合问题]............................................................................................36 . 一、核心判定定理（5 个） 1. SSS（边边边） 文字表述：三边对应相等的两个三角形全等。 符号表示：若△ABC 和△A'B'C' 中，AB=A'B'、BC=B'C'、AC=A'C'，则△ABC≌△A'B'C'（SSS）。 关键要点：无需考虑角的大小，仅三边对应相等即可判定，适用于已知三边长度的场景。 2. SAS（边角边） 文字表述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 符号表示：若△ABC 和△A'B'C' 中，AB=A'B'、∠A=∠A'、AC=A'C'，则△ABC≌△A'B'C'（SAS）。 易错提醒：“夹角” 必须是两已知边的夹角，而非其中一边的对角（避免误判为 “SSA”，SSA 不能判定全等）。 3. ASA（角边角） 文字表述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 符号表示：若△ABC 和△A'B'C' 中，∠A=∠A'、AB=A'B'、∠B=∠B'，则△ABC≌△A'B'C'（ASA）。 核心逻辑：夹边是连接两个已知角的公共边，确定两角及夹边即可固定三角形形状和大小。 4. AAS（角角边） 文字表述：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 符号表示：若△ABC 和△A'B'C' 中，∠A=∠A'、∠B=∠B'、BC=B'C'，则△ABC≌△A'B'C'（AAS）。 推导关系：由三角形内角和为 180°，可从 ASA 推导出 AAS（两角确定则第三角必相等，转化为 ASA 判定）。 5. HL（斜边、直角边） 文字表述：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号表示：若 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°、AB=A'B'（斜边）、BC=B'C'（直角边），则 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）。 适用范围：仅针对直角三角形，是直角三角形特有的判定方法（无需再证第三边或另一个角相等）。 二、不能判定全等的情况（易错点） SSA（边边角）：两边和其中一边的对角对应相等，无法确定三角形形状（可能存在两种不同的三角形）。 AAA（角角角）：三角对应相等，仅能判定三角形相似，不能确定边长相等（形状相同但大小可能不同）。 三、判定步骤（结构化解题流程） 1.观察图形：识别三角形类型（普通三角形 / 直角三角形），标注已知的边、角相等条件。 2.选择定理： 已知三边→SSS； 已知两边→找夹角（SAS），直角三角形可看斜边 + 直角边（HL）； 已知两角→找夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）； 直角三角形优先考虑 HL，再考虑其他定理。 3.验证条件：确保对应边、对应角准确（避免混淆 “对应” 关系，可通过图形旋转、平移、翻折找对应元素）。 4.书写格式： *先说明 “在△ABC 和△A'B'C' 中”； *列出相等的条件（按定理顺序排列，如 SAS 需先写两边，再写夹角）； *结尾标注判定定理（如 “∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）”）。 四、典型应用场景 1.证明线段相等（通过全等三角形的对应边相等推导）； 2.证明角相等（通过全等三角形的对应角相等推导）； 3.解决实际问题（如测量池塘两端距离、确定物体位置等，利用全等三角形 “等量代换” 转化未知量）。 （练习题） [题型一 用SAS证明(或间接证明)三角形全等 1．如图，和相交于O点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，“”需满足两边及夹角相等，由此可解． 【详解】解：和中，，， 用“”证明还需， 故选：B． 2．如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 3．根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．据此解答即可． 【详解】解：根据题意得， 在和中， ， ， 故选：C． 4．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 5．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据可得，然后再加上条件，可根据定理判定． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式性质）， 即， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 在和中，（已知），（已证），（已证）， ∴． 6．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 7．如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解决此题的关键是熟练掌握的判定方法；根据等边三角形得到两边相等，根据平行得到两角相等，进而即可解决问题； 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ [题型二 全等的性质和SAS综合(SAS)] 8．如图，，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及两个三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 先由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合表示出的长求值即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，平分，的延长线交于点E．    (1)图中哪两个三角形全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，即可； （2）根据全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴．     在和中， ， ∴； （2）由（1）知：，     ∴．     ∵， ∴， ∴． 10．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出间的距离．为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案： 方案如图，选定点； 连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使； 连接，测量的长度即可． 方案如图，选定点； 连接，并分别延长到点，，使； 连接，测量的长度即可． 对于方案和方案，下列说法正确的是（   ） A．都不可行 B．不可行、可行 C．可行、不可行 D．都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用“”证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：方案， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长度即可，故说法正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长度即可，故说法正确； 综上可得：都可行， 故选：． 11．如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走 时与全等． 【答案】1或3 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情况：①若，，则；②若，，则即可得出结果． 【详解】解：∵于A，于B， ∴， 设P点每分钟走， ①若，此时，， ， ， ②若，，， ， ． 故答案为：1或 12．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______； (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的计算，线段关系的转化，作出对应的辅助线发现其中包含的关系是解此题的关键． （1）通过构造辅助线的方式证明和全等，得到，，从而推导，再证明和全等得到，最终通过已知条件转化线段关系得到； （2）通过构造辅助线的方式先得出，再证明和全等，得到，，随后证明和全等，得到，最终根据条件转化可得到． 【详解】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如图，在，中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论中：①；②；③；④．正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，①由，利用等式的性质得到角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项不正确；②由，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①不正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 则，故③正确； ④∵， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 14．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，结合全等三角形的角度性质，推导的度数． 【详解】解：设小正方形的边长为，如图， ∵，，， ∴（）． ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． [题型三 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或AAS)] 15．能判定的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，选项B满足角角边条件，据此解题即可． 【详解】解：在和中， ，，， 且是的对边，是的对边， ∴则由判定定理，证得， 其他选项均不满足全等判定条件： 选项A和C为，不符合全等三角形判定方法，不能判定全等； 选项D中边不是已知两角的夹边或对边，不能判定全等， 故选：B． 16．图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅱ完全相同的三角形，其依据是（    ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形判定定理．根据“”可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅱ可以根据“”可作出完全相同的三角形． 故选：B． 17．一块三角形玻璃样板不慎被摔成了四块碎片（如图），小勤观察后认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以换回一块与以前一样的玻璃样板．则考虑最全面的方案是（    ） A．带其中的任意两块去都可以 B．带①②或②③去就可以了 C．带①④或③④去就可以了 D．带①④或②④或③④去均可 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形． 【详解】解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，带①、④可以用“角边角”确定三角形，带②④可以延长还原出原三角形． 故选：D． 18．如图，的边和的边共线，并且，和交于G点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． 根据，得到，根据得到，根据全等三角形的判定定理即可推出． 【详解】证明：， ， ， ， 在和中， ， ． 19．小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)合理，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，进而可得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点到距离为，于点，， 由（1）得， ， ， ， ， 小丽所在公园的秋千高度设置合理． .[题型四 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或AAS)] 20．如图，在中，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等判定与性质是解决问题的关键． 先由两个三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，，，即可确定答案． 【详解】解：， ， 在和中， ， ，，， 综上所述，A，B，C均是正确的，不正确的是D， 故选：D． 21.如图，玲玲想要测量池塘的长度，但点，之间的距离不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，聪明的她想了一个办法：先在直线的一边取一点，再在直线的另一边取一点，使得，且，同时，若测得，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，点C在第四象限内，，，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标的象限． 过点C作轴于点E，根据证明，进而可得出结果． 【详解】解：过点C作轴于点E， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ∵，， ，， 点C在第四象限， 点C的坐标为， 故答案为：． 23．如图，在中，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．已知，，则的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再根据，，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：B． 24．如图，在中，，，点D在上，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，证明是关键． （1）根据同角的余角相等求出，根据证明，根据全等三角形的性质即可证明． （2）根据全等三角形的性质得出，结合与即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，（已知）， ∴， ∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， 又， 故． 25．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析    （2），证明见解析    （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，即可； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． [题型五 全等的性质和HL综合(HL)] 26．如图，，，垂足分别为点，，，若，则的大小为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质．根据“”可判定，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ∴， 故选：A． 27．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若左边滑梯梯脚到墙脚的距离米，则右边的滑梯梯顶到墙脚的距离长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据可以证明，根据全等三角形对应边相等可知米． 【详解】解：由题意可知：，，， 在和中，， ， 米． 故选：B． 28．如图，于点，于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据先证明，得到，再利用补角和余角的性质，即可求解． 【详解】解：，， ． ， ． 在与中， ， ， ． ， ． 故选A． 29．如图，在中，，，有以下结论： ①； ②为边的中点； ③； ④是的一条角平分线． 其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键． 利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴，，， ∴为边的中点，是的一条角平分线，故②③④正确． 综上所述：正确的结论有①②③④共4个. 故选：D． 30．如图，在中，，，，点D在上，，垂足为E，且，则与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的全等判定，熟练掌握“”证明三角形全等是解决本题的关键. 根据得到，进而即可求得的值，根据同底的两个直角三角形的面积的比等于它们的高的比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 31．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为多少秒时，和全等． 【答案】4秒或秒 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．分和两种情况，根据定理推出和全等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 32．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当 秒时，与全等． 【答案】2或8或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或8或10秒时，与全等． 故答案为：2或8或10． 33．在和中，，高，则和的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分图①②和图①③两种情况，利用可证明得到，再根据角之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，当和如图①②所示时， ∵分别是和的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 如图，当和如图①③所示时， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； 综上所述，和的关系是相等或互补． 故选：C． 34．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等． 【答案】0，4，12，16 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段上，时，；当E在上，时，；当E在线段上，时，；当E在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ①当E在线段上，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时， ∵， ∴， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E经过0秒，或4秒，12秒，16秒时，与全等． 故答案为：0，4，12，16． [题型六 全等三角形综合问题] 35．为了测量水池两边，间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（   ） 方案1 方案2       ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得． ④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点，，使得． ②再作的垂线，使点，，在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1、2都可行 D．方案1、2都不可行 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的应用，方案1利用得到，得到；方案2利用得到，得到，即可． 【详解】解：方案1：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴； 方案2：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴； 故两种方案均可行； 故选C． 36．如图所示是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据“画与有一条公共边且全等的格点三角形”条件进行分类讨论且作图，即可作答． 【详解】解：如图所示： 当与有一条公共边且全等的格点三角形时，即图中的和和 当与有一条公共边且全等的格点三角形时，即图中的； 但都在同一个格点上， ∴画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画4个， 故选：BB故选：b 37．如图，于A，于B，且，P点从B向A运动，每分钟走，Q点从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动 分钟后与全等． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分当时和当时，两种情况进行讨论，求得和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】解：于A，于B，且， 当时，， 则， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 当时，，， 则P运动的时间是：（分钟）， Q运动的时间是：（分钟）， 故不能成立． ∴运动4分钟后，与全等， 故答案为：4． 38．如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，， 同理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 39.．如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设运动运动的时间为时，则，，根据题意，得，，根据三角形全等，分类解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为时，则，， ∵，， ∴，， 当点到达终点时，运动时间为：， 点Q到达C的运动时间为：， ∵以、、三点为顶点的三角形与全等， 得到， 故， ∴或， 解得或， 故选：D． 40．如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 41．如图，为的角平分线，，，，，则线段 ． 【答案】 【分析】根据题意证明，可得出即可得出结论． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，得出是解题的关键． 42.．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证： (2)当时，求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得到，根据三角形的中线的性质得到，即可得出结论； （2）如图，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，先证明，得到，同理，得到，进而得到，证明，得到，同理，进而得到，再利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵、分别为、中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， 在和中， ，     ， ， 同理， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3全等三角形的判定 题型梳理 [题型一 用SAS证明(或间接证明)三角形全等]................................................................3 [题型二 全等的性质和SAS综合(SAS)].............................................................................7 .[题型三 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或AAS)]..................................................15 [题型四 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或AAS)]...................................................19 [题型五 全等的性质和HL综合(HL)]................................................................................28 [题型六 全等三角形综合问题]............................................................................................36 . 一、核心判定定理（5 个） 1. SSS（边边边） 文字表述：三边对应相等的两个三角形全等。 符号表示：若△ABC 和△A'B'C' 中，AB=A'B'、BC=B'C'、AC=A'C'，则△ABC≌△A'B'C'（SSS）。 关键要点：无需考虑角的大小，仅三边对应相等即可判定，适用于已知三边长度的场景。 2. SAS（边角边） 文字表述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 符号表示：若△ABC 和△A'B'C' 中，AB=A'B'、∠A=∠A'、AC=A'C'，则△ABC≌△A'B'C'（SAS）。 易错提醒：“夹角” 必须是两已知边的夹角，而非其中一边的对角（避免误判为 “SSA”，SSA 不能判定全等）。 3. ASA（角边角） 文字表述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 符号表示：若△ABC 和△A'B'C' 中，∠A=∠A'、AB=A'B'、∠B=∠B'，则△ABC≌△A'B'C'（ASA）。 核心逻辑：夹边是连接两个已知角的公共边，确定两角及夹边即可固定三角形形状和大小。 4. AAS（角角边） 文字表述：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 符号表示：若△ABC 和△A'B'C' 中，∠A=∠A'、∠B=∠B'、BC=B'C'，则△ABC≌△A'B'C'（AAS）。 推导关系：由三角形内角和为 180°，可从 ASA 推导出 AAS（两角确定则第三角必相等，转化为 ASA 判定）。 5. HL（斜边、直角边） 文字表述：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号表示：若 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°、AB=A'B'（斜边）、BC=B'C'（直角边），则 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）。 适用范围：仅针对直角三角形，是直角三角形特有的判定方法（无需再证第三边或另一个角相等）。 二、不能判定全等的情况（易错点） SSA（边边角）：两边和其中一边的对角对应相等，无法确定三角形形状（可能存在两种不同的三角形）。 AAA（角角角）：三角对应相等，仅能判定三角形相似，不能确定边长相等（形状相同但大小可能不同）。 三、判定步骤（结构化解题流程） 1.观察图形：识别三角形类型（普通三角形 / 直角三角形），标注已知的边、角相等条件。 2.选择定理： 已知三边→SSS； 已知两边→找夹角（SAS），直角三角形可看斜边 + 直角边（HL）； 已知两角→找夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）； 直角三角形优先考虑 HL，再考虑其他定理。 3.验证条件：确保对应边、对应角准确（避免混淆 “对应” 关系，可通过图形旋转、平移、翻折找对应元素）。 4.书写格式： *先说明 “在△ABC 和△A'B'C' 中”； *列出相等的条件（按定理顺序排列，如 SAS 需先写两边，再写夹角）； *结尾标注判定定理（如 “∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）”）。 四、典型应用场景 1.证明线段相等（通过全等三角形的对应边相等推导）； 2.证明角相等（通过全等三角形的对应角相等推导）； 3.解决实际问题（如测量池塘两端距离、确定物体位置等，利用全等三角形 “等量代换” 转化未知量）。 （练习题） [题型一 用SAS证明(或间接证明)三角形全等 1．如图，和相交于O点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 3．根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 4．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：． 6．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． [题型二 全等的性质和SAS综合(SAS)] 8．如图，，，，，，则的长为 ． 9．如图，平分，的延长线交于点E．    (1)图中哪两个三角形全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 10．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出间的距离．为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案： 方案如图，选定点； 连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使； 连接，测量的长度即可． 方案如图，选定点； 连接，并分别延长到点，，使； 连接，测量的长度即可． 对于方案和方案，下列说法正确的是（   ） A．都不可行 B．不可行、可行 C．可行、不可行 D．都可行 11．如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走 时与全等． 12．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______； (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 13．如图，在，中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论中：①；②；③；④．正确的是 （填序号） 14．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（   ） A． B． C． D． [题型三 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或AAS)] 15．能判定的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 16．图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅱ完全相同的三角形，其依据是（    ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 17．一块三角形玻璃样板不慎被摔成了四块碎片（如图），小勤观察后认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以换回一块与以前一样的玻璃样板．则考虑最全面的方案是（    ） A．带其中的任意两块去都可以 B．带①②或②③去就可以了 C．带①④或③④去就可以了 D．带①④或②④或③④去均可 18．如图，的边和的边共线，并且，和交于G点，，．求证：． 19．小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 水平距离的处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点处时，小丽距离地面的高度为，已知， 于点， 于点 ． (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度 设置是否合理？为什么？ .[题型四 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或AAS)] 20．如图，在中，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 21.如图，玲玲想要测量池塘的长度，但点，之间的距离不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，聪明的她想了一个办法：先在直线的一边取一点，再在直线的另一边取一点，使得，且，同时，若测得，求的长． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，点C在第四象限内，，，则点C的坐标是 ． e 23．如图，在中，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．已知，，则的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 24．如图，在中，，，点D在上，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． [题型五 全等的性质和HL综合(HL)] 26．如图，，，垂足分别为点，，，若，则的大小为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若左边滑梯梯脚到墙脚的距离米，则右边的滑梯梯顶到墙脚的距离长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 28．如图，于点，于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，，有以下结论： ①； ②为边的中点； ③； ④是的一条角平分线． 其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图，在中，，，，点D在上，，垂足为E，且，则与的面积之比为 ． 31．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为多少秒时，和全等． 32．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当 秒时，与全等． 33．在和中，，高，则和的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对 34．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 秒时，与全等． [题型六 全等三角形综合问题] 35．为了测量水池两边，间的距离，两名同学提供了如下间接测量方案．对于方案1，2，说法正确的是（   ） 方案1 方案2       ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得． ④测量的长即可． ①在水池外取的垂线上的点，，使得． ②再作的垂线，使点，，在同一条直线上． ③测量的长即可． A．方案1可行、方案2不可行 B．方案1不可行、方案2可行 C．方案1、2都可行 D．方案1、2都不可行 36．如图所示是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 37．如图，于A，于B，且，P点从B向A运动，每分钟走，Q点从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动 分钟后与全等． 38．如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 39.．如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A． B． C．或 D．或 40．如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 41．如图，为的角平分线，，，，，则线段 ． 42.．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证： (2)当时，求证： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $