旋转与角度计算问题、动点与线段计算问题、几何体展开图问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

旋转与角度计算问题、动点与线段计算问题、几何体展开图问题专项训练 旋转与角度计算问题、动点与线段计算问题、几何体展开图问题专项训练 考点目录 旋转与角度计算问题 动点与线段计算问题 几何体展开图问题 考点一 旋转与角度计算问题 例1．（25-26七年级上·山东济南·期中）图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心O旋转． (1)______度； (2)在图②中，若平分，则______度； (3)在图②中，若，则______度； (4)在水车的旋转过程中，设的度数为，直接写出的度数用含x的代数式表示，所有角都小于平角 例2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 例3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 例4．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 变式1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 变式2．（24-25七年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，线段在直线上，且端点与点重合，端点在点左侧，． (1)若图1中的线段从点出发沿直线向左匀速运动，同时点从点出发沿直线向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图2，当时，，此时线段的运动速度为______，点P的运动速度为______； (2)在（1）的条件下，线段按原来的速度继续向左匀速运动，点P按原速改变方向也向左运动，再经过几秒，； (3)如图3，在直线上方作射线，使，在直线上方作射线，若射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，射线也停止运动，请直接写出经过几秒所在的直线平分． 变式3．（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 变式4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）材料阅读：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”这首词是我国数学家华罗庚先生所著，也是第一次提出“数形结合”这一说法，如何将代数式和几何图形结合一直是解决数学问题的重要思想方法．利用数形结合解决下列题目： 数轴上有两点，点表示的数为，表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______： (2)动点从点向右边运动，速度为2个单位长度/秒，动点从点向左运动，速度为1个单位长度/秒，设运动时间为秒．当点到达点时，运动同时停止，则： ①点表示的数分别是______，______（用表示）： ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)如果我们把线段和角度做类比：如图，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出的值． 考点二 动点与线段计算问题 例1．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 例2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 例3．（25-26七年级上·山东济南·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离（当时，；当时，），线段的中点表示的数． 如图，数轴上点A，点B，点C表示的数分别为，2，3，点P，Q，R分别从A，B，C出发沿数轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为每秒m个单位长度，线段的中点为D，运动时间为t． (1)当时，______； (2)试用含t的代数式表示点D表示的数； (3)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R，D两点间的距离保持不变，试求m的值和的长度； (4)当时，直接写出t的值． 例4．（25-26七年级上·重庆·月考）数轴上有、、、四个点，分别对应的数为、、、，且满足，，，与互为相反数． (1)求、、、的值； (2)若、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，并设运动时间为秒．则为何值时，的中点与的中点距离3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 变式1．（25-26七年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段，的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段，的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 变式2．（25-26七年级上·重庆·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6．点从点出发，前内以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，之后以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发的同一时刻，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)运动秒后，用含的代数式表示点表示的数（分情况讨论）． (2)设点为线段的中点，点为线段的中点，用含的代数式表示点、表示的数（点需分情况讨论）． (3)当时，求线段的长度（用含的代数式表示），并判断该代数式是几次几项式． (4)当时，若线段的中点为H，用含t的代数式表示点H，并写出该代数式的常数项． 变式3．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 变式4．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 考点三 几何体展开图问题 例1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________ （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 例2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数学实践课上，老师提供了如图1所示的长方形卡纸． (1)要求对该卡纸进行裁剪之后，能经过折叠围成一个无盖的长方体纸盒（盒口边沿用卡纸边沿做成）． ①在图1中画出制作示意图（用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，裁剪的部分涂上阴影）； ②若长方形卡纸的长为，宽为，裁剪线长用，…等字母，请在你的制作示意图中标注裁剪线长，并用代数式表示该长方体的体积为 ． (2)要求利用该卡纸制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中线段的长等于线段的长），恰好得到纸盒的展开图，该展开图可折成一个礼品盒如图3所示． ①按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸的长是48，则原卡纸的宽是 ． ②如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是______． A．B．   C．    D． 例3．（25-26七年级上·福建三明·期中）在手工制作课上，老师要求学生备了刻度尺，剪刀，粘接剂等用具，以及如图1所示的长方形卡纸．该长方形卡纸的长为，宽为．制作中，先按要求设计制作方案，在图中画出制作示意图：用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，剪除部分用斜线标注阴影． (1)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个无盖的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿参与做成长方体开口的边沿）． ①在图1中画出制作示意图； ②裁剪线长用，，……等字母，在你的制作示意图中标注裁剪线长，并列代数式表示其体积（不必化简）； (2)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个封闭的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿都参与做成长方体纸盒的棱）． ③在图2中小明同学已画好了一条折叠线所在的虚线，请你在此基础上帮小明画完制作示意图； ④若③中裁剪出的正好是底面是正方形、高为的长方体纸盒的展开图，那么该卡纸的长与宽的数量、应满足怎么的等量关系？ 例4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）年1班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （1）如图①，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （2）如图②，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，此时，表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 （3）若长方体的长、宽、高分别为4、3、6，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，画出此时的表面展开图，并求出它的周长． 变式1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某数学兴趣小组进行课题学习：用长方形硬纸板制作长方体纸盒． 材料：长方形硬纸板，长为14，长为4． (1)初步感受：如图1，在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形，将剩下的硬纸板折叠成无盖的长方体纸盒，则该长方体纸盒底面周长为______； (2)深入探究：兴趣小组为了充分利用硬纸板（硬纸板无剩余），采用新的裁剪方法：如图2所示，用把长方形ABCD分成2个长方形，将长方形ABFE折叠成纸盒的侧面，将长方形CDEF做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒，请你求这个纸盒底面的长和宽； (3)问题解决：在以上操作的启发之下，你能充分利用该长方形硬纸板（硬纸板无剩余），制作一个有盖的长方体纸盒吗？若能，请画出两种裁剪设计图并求出所做纸盒的底面边长，若不能，请说明理由． 变式2．（25-26七年级上·广东梅州·期中）【问题情境】某综合实践小组开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】（1）综合实践小组先思考怎样的展开图可以折叠成长方体，在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是 ．（填序号） （2）小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒，纸板的厚度及接缝处忽略不计）． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤：先在纸板的四个角上剪去4个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，求该无盖长方体纸盒的底面周长． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤：先在纸板的四个角上剪去2个边长为的小正方形和2个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，求该长方体纸盒的体积．    【问题进阶】(3)该小组把正方形纸板改为一张长是，宽是的长方形纸板，也要做出无盖的长方体盒子和有盖的长方体盒子． ①如图4，在四周各剪去一个同样大小且边长为的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度及接缝处忽略不计)，请用含a，b，c的代数式表示折成的长方体盒子的底面周长； ②如图5，在长方形纸板中参考如图3所示的样子，四周分别剪去2个同样大小的边长为c 的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折成一个有盖长方体盒子，请你画出一种剪折方法，用阴影表示要减去的部分，并求出该长方体盒子底面的周长．(用含a，b，c 的代数式表示)    变式3．（25-26七年级上·广东茂名·期中）综合实践： 小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图（1）、图（2）所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了 条棱； (2)动手操作：现在小明想将剪断的图（2）重新粘贴到图（1）上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图（3）），请你帮助小明在图（1）中补全图形（只需画其中一种情况）； (3)解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的6倍，求这个纸盒的表面积． 变式4．（25-26七年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【拓展探究】 （1）如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是______（填序号）． 综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）． （2）用图①的方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为_____； （3）用图②的方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，，则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （4）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为，，，它缺一个长为，宽为的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该无盖长方体表面展开图的最大外围周长是______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $旋转与角度计算问题、动点与线段计算问题、几何体展开图问题专项训练 旋转与角度计算问题、动点与线段计算问题、几何体展开图问题专项训练 考点目录 旋转与角度计算问题 动点与线段计算问题 几何体展开图问题 考点一 旋转与角度计算问题 例1．（25-26七年级上·山东济南·期中）图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心O旋转． (1)______度； (2)在图②中，若平分，则______度； (3)在图②中，若，则______度； (4)在水车的旋转过程中，设的度数为，直接写出的度数用含x的代数式表示，所有角都小于平角 【答案】(1)45； (2)15； (3)25； (4)的度数为或或或 【详解】（1）解：， 故答案为：45； （2），平分， ， ， 故答案为：15； （3）， ， ∵， ， 故答案为：25； （4）当在内部，在外部时， ， ， ， 如图，当在外部，在内部时，， ， 当都在内部时，； 如图，当都在左侧时，，则； 如图，当都在右侧时，，则 综上所述：的度数为或或． 例2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)6秒或秒或13秒 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒． 例3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 例4．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图：两个特殊三角板和三角板，， ，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)求的度数； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着O点旋转（旋转角度小于），，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴； （3）由题意可知， ∵平分，平分， ∴， ， 当旋转是顺时针时，如图（2）， 则； 当旋转是逆时针时，如图， 则； 综上，的度数为或． 变式2．（24-25七年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，线段在直线上，且端点与点重合，端点在点左侧，． (1)若图1中的线段从点出发沿直线向左匀速运动，同时点从点出发沿直线向右匀速运动，且它们的速度比为，设运动时间为，如图2，当时，，此时线段的运动速度为______，点P的运动速度为______； (2)在（1）的条件下，线段按原来的速度继续向左匀速运动，点P按原速改变方向也向左运动，再经过几秒，； (3)如图3，在直线上方作射线，使，在直线上方作射线，若射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线也绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，当射线停止运动时，射线也停止运动，请直接写出经过几秒所在的直线平分． 【答案】(1)4；8 (2)或秒 (3)或秒 【详解】（1）解：设线段的运动速度为，则点的运动速度为，根据题意列方程得， ， 解得：， ， 答：线段的运动速度为，则点的运动速度为， 故答案为：4；8； （2）由（1）可知，，， 设再经过秒，， ①当点在点的右侧时，，， ， 解得：， ②当点在点的左侧时，，， ， 解得：， 答：再经过或秒时，． （3）设经过秒所在的直线平分，则，旋转的角度为， ①若平分，， 解得：， ②若所在直线平分，， ， 解得：， 综上所述，经过或秒时，所在直线平分． 变式3．（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 变式4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）材料阅读：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”这首词是我国数学家华罗庚先生所著，也是第一次提出“数形结合”这一说法，如何将代数式和几何图形结合一直是解决数学问题的重要思想方法．利用数形结合解决下列题目： 数轴上有两点，点表示的数为，表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______： (2)动点从点向右边运动，速度为2个单位长度/秒，动点从点向左运动，速度为1个单位长度/秒，设运动时间为秒．当点到达点时，运动同时停止，则： ①点表示的数分别是______，______（用表示）： ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)如果我们把线段和角度做类比：如图，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出的值． 【答案】(1) (2)①点P表示的数为，Q表示的数为；②或 (3)t的值为4或或8 【详解】（1）解：， ， ， 点表示的数为，表示的数为， ， 点是线段的中点， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：①由题意得， 点A表示的数为，表示的数为， 点P表示的数为，Q表示的数为； ②当点P到达点B时，运动同时停止， ，即， ， 解得：或； （3）∵，平分， ∴， ∵射线到达时只需用时秒，此时射线到达， 如下图，当时，, , 显然， ∴， 则， 解得； 当时，， 如图， 若， 则， 解得 ； 如图， 若， 则， 解得； 综上所述，t的值为4或或8． 考点二 动点与线段计算问题 例1．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①,；②， (2)或 (3)不发生变化，线段的长为 【详解】（1）解：①由题意得， ， 线段的中点表示的数为：． 故答案为：,； ②由题意得，秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ． 又， ， 解得，或． 即当或时，． （3）解：不发生变化． 点为的中点，点为的中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ． 答：线段的长度不发生变化，线段的长为． 例2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【答案】(1)6，11． (2)①，，．②．③的值不变，为30． 【详解】（1）解：∵A，B，C，表示的数分别是，，7， ∴． 故答案为：6，11． （2）①∵点B表示的数是，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，点M表示的数为， ∵点C表示的数是7，动点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，N表示的数为， ∵点A表示的数是，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动， ∴t秒后，P表示的数为． 故答案为：，，． ②∵点M，N，P分别表示的数是，，，且点P在点M的左边，点N在点M的右边， ∴， 当动点M是线段的中点时，， ∴， 解得． 答：当时，动点M是线段的中点． ③∵， ∴ ． 答：的值不变，为30． 例3．（25-26七年级上·山东济南·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离（当时，；当时，），线段的中点表示的数． 如图，数轴上点A，点B，点C表示的数分别为，2，3，点P，Q，R分别从A，B，C出发沿数轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为每秒m个单位长度，线段的中点为D，运动时间为t． (1)当时，______； (2)试用含t的代数式表示点D表示的数； (3)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R，D两点间的距离保持不变，试求m的值和的长度； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)m的值为3，的长度为5 (4)t的值为或 【详解】（1）解：由题意得，当时，点表示的数：； 点表示的数：； ∴ 故答案为：4； （2）解：由（1）得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴线段的中点表示的数为：； （3）解：由题意得，点R表示的数：； ∴． ∵距离保持不变， ∴t的系数为0， ∴ 解得， 此时； （4）解：由题意得，，， ∵， ∴， 分情况讨论：当时：， 解得； 当时：， 解得； 当时：， 解得，故此情况无解． 综上所述，t的值为或． 例4．（25-26七年级上·重庆·月考）数轴上有、、、四个点，分别对应的数为、、、，且满足，，，与互为相反数． (1)求、、、的值； (2)若、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，并设运动时间为秒．则为何值时，的中点与的中点距离3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 【答案】(1)，，，． (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，． （2）解：∵、两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动， ∴运动中、两点表示的数分别为：，， ∴的中点表示的数为：， ∵、两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴运动中、两点表示的数分别为：，， ∴的中点表示的数为：， ∵的中点与的中点距离3个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为或时，的中点与的中点距离3个单位长度． （3）解：∵，， 当重合时， ∴， 解得：， 当重合时， ∴， 解得：， ∴当时，、两点都运动在线段上（不与，两个端点重合）． 变式1．（25-26七年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段，的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段，的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2)①②线段的长度不变， 【详解】（1）解：当时，， ， ， 点是线段的中点， ； （2）①由题意得， ， 点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ； ②线段的长度不变，； 由①得，； ， 线段的长度不变，． 变式2．（25-26七年级上·重庆·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6．点从点出发，前内以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，之后以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发的同一时刻，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)运动秒后，用含的代数式表示点表示的数（分情况讨论）． (2)设点为线段的中点，点为线段的中点，用含的代数式表示点、表示的数（点需分情况讨论）． (3)当时，求线段的长度（用含的代数式表示），并判断该代数式是几次几项式． (4)当时，若线段的中点为H，用含t的代数式表示点H，并写出该代数式的常数项． 【答案】(1)前内，点表示的数为；后，点表示的数为 (2)当时，点表示的数为，当时，点表示的数为；点表示的数为 (3)；一次二项式 (4)； 【详解】（1）解：前内，点表示的数为， 后，点表示的数为； （2）解：点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点表示的数为； （3）解：当时，， 该代数式是一次二项式； （4）解：当时，线段的中点为H为， 该代数式的常数项为． 变式3．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 变式4．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 考点三 几何体展开图问题 例1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________ （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥；（2）见解析 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： 例2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数学实践课上，老师提供了如图1所示的长方形卡纸． (1)要求对该卡纸进行裁剪之后，能经过折叠围成一个无盖的长方体纸盒（盒口边沿用卡纸边沿做成）． ①在图1中画出制作示意图（用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，裁剪的部分涂上阴影）； ②若长方形卡纸的长为，宽为，裁剪线长用，…等字母，请在你的制作示意图中标注裁剪线长，并用代数式表示该长方体的体积为 ． (2)要求利用该卡纸制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中线段的长等于线段的长），恰好得到纸盒的展开图，该展开图可折成一个礼品盒如图3所示． ①按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸的长是48，则原卡纸的宽是 ． ②如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是______． A．                 B．                   C．                 D． 【答案】(1)①见详解；② (2)①24；②B 【详解】（1）解：①制作示意图如图所示： ②由题意得，长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的体积为． （2）解：①如图， 由折叠和题意得，， ， ∵四边形是正方形， ，即， ， 又 ∵， ， ∵该长方形卡纸的长是48， ∴该长方形卡纸的宽是24． ②根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， 结合选项可知，只有B选项符合题意； 故选：B． 例3．（25-26七年级上·福建三明·期中）在手工制作课上，老师要求学生备了刻度尺，剪刀，粘接剂等用具，以及如图1所示的长方形卡纸．该长方形卡纸的长为，宽为．制作中，先按要求设计制作方案，在图中画出制作示意图：用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，剪除部分用斜线标注阴影． (1)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个无盖的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿参与做成长方体开口的边沿）． ①在图1中画出制作示意图； ②裁剪线长用，，……等字母，在你的制作示意图中标注裁剪线长，并列代数式表示其体积（不必化简）； (2)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个封闭的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿都参与做成长方体纸盒的棱）． ③在图2中小明同学已画好了一条折叠线所在的虚线，请你在此基础上帮小明画完制作示意图； ④若③中裁剪出的正好是底面是正方形、高为的长方体纸盒的展开图，那么该卡纸的长与宽的数量、应满足怎么的等量关系？ 【答案】(1)①见解析；② (2)③见解析；④ 【详解】（1）解：①如图，制作示意图即为所求， ②由①图可知，长方体的体积为； （2）解：③如图，制作示意图即为所求， ④如图， 由题意可知，，，， ∴， 又∵底面是正方形， ∴， ∴，即， ∴长方形卡纸的长与宽的数量、应满足． 例4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）年1班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （1）如图①，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （2）如图②，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，此时，表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 （3）若长方体的长、宽、高分别为4、3、6，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，画出此时的表面展开图，并求出它的周长． 【答案】（1） （2）， （3）图见解析，周长为 【详解】解：（1）由题意，长方体的底面是正方形，边长为：，长方体的高为， 体积为：； （2）表面展开图的外围周长为：， 盒子一边长为：，另一边长为：， 体积为： （3）如图，是该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的情形， 其周长为：． 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某数学兴趣小组进行课题学习：用长方形硬纸板制作长方体纸盒． 材料：长方形硬纸板，长为14，长为4． (1)初步感受：如图1，在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形，将剩下的硬纸板折叠成无盖的长方体纸盒，则该长方体纸盒底面周长为______； (2)深入探究：兴趣小组为了充分利用硬纸板（硬纸板无剩余），采用新的裁剪方法：如图2所示，用把长方形ABCD分成2个长方形，将长方形ABFE折叠成纸盒的侧面，将长方形CDEF做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒，请你求这个纸盒底面的长和宽； (3)问题解决：在以上操作的启发之下，你能充分利用该长方形硬纸板（硬纸板无剩余），制作一个有盖的长方体纸盒吗？若能，请画出两种裁剪设计图并求出所做纸盒的底面边长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)28 (2)4，2 (3)能，纸盒底边的边长为，2或3，． 【详解】（1）解：∵长方形硬纸板，长为14，长为4．在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形， ∴该长方体纸盒底面周长为． （2）解：设，则，而， 根据长方体纸盒的含义，得到，解得：， ∴，， ∴这个纸盒底面的长和宽分别为4，2． （3）能，如图所示的两种示意图， 如图①、②所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒即可． 图①中，设，则，， 根据，得，解得∶， 所以底面的边长为：，2． 图②中，设，而，，， 根据，得，解得， ∴ ∴底面的边长为：3，． 综上，底边的长为，2或3，． 变式2．（25-26七年级上·广东梅州·期中）【问题情境】某综合实践小组开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】（1）综合实践小组先思考怎样的展开图可以折叠成长方体，在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是 ．（填序号） （2）小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒，纸板的厚度及接缝处忽略不计）． ①按如图2所示的方案制作一个无盖的长方体纸盒，其操作步骤：先在纸板的四个角上剪去4个边长为的小正方形，再沿虚线折叠纸板．若，求该无盖长方体纸盒的底面周长． ②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤：先在纸板的四个角上剪去2个边长为的小正方形和2个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠纸板．若，求该长方体纸盒的体积．    【问题进阶】(3)该小组把正方形纸板改为一张长是，宽是的长方形纸板，也要做出无盖的长方体盒子和有盖的长方体盒子． ①如图4，在四周各剪去一个同样大小且边长为的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度及接缝处忽略不计)，请用含a，b，c的代数式表示折成的长方体盒子的底面周长； ②如图5，在长方形纸板中参考如图3所示的样子，四周分别剪去2个同样大小的边长为c 的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折成一个有盖长方体盒子，请你画出一种剪折方法，用阴影表示要减去的部分，并求出该长方体盒子底面的周长．(用含a，b，c 的代数式表示)    【答案】（1）①②④；（2）①64厘米；②1000立方厘米；（3）①；②图见解析，见解析 【详解】解：（1）能通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①②④； 故答案为：①②④ （2）①由题意得，长方体纸盒的底面边长为， 当时，， ∴底面周长为； ②由题意得，长方体的长为，宽为，高为， 当时，长方体的长为，宽为，高为， 所以该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）①根据题意得：， 则长方体盒子的底面周长为； ②如下图，    若按图1所示的方法剪折， 若按图2所示的方法剪折， 变式3．（25-26七年级上·广东茂名·期中）综合实践： 小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图（1）、图（2）所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了 条棱； (2)动手操作：现在小明想将剪断的图（2）重新粘贴到图（1）上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图（3）），请你帮助小明在图（1）中补全图形（只需画其中一种情况）； (3)解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的6倍，求这个纸盒的表面积． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)这个长方体纸盒的表面积为． 【详解】（1）解：由图1可知，未剪开的棱还有4条，所以剪开的棱有（条）， 故答案为：8； （2）解：如图，有两种情况： （3）解：这个长方体的高为， 所以表面积为， 答：这个长方体纸盒的表面积为． 变式4．（25-26七年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【拓展探究】 （1）如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是______（填序号）． 综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）． （2）用图①的方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为_____； （3）用图②的方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，，则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （4）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为，，，它缺一个长为，宽为的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该无盖长方体表面展开图的最大外围周长是______． 【答案】（1）①③④；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）根据正方体的表面展开图的特征可知，①③④可以折成无盖的正方体， 故答案为：①③④； （2）图1所折成的盒子的底面是边长为的正方形，因此长方体纸盒的底面周长， 当，， 则长方体纸盒的底面周长为 故答案为：； （3）由题意可知，所作出的长方体的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：1000； （4）要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图的周长最大， 所以最大周长为， 故答案为：58． 2 学科网（北京）股份有限公司 $