精品解析：广东省中山市广东博文学校2024-2025学年高三9月考试数学试卷

2024年广东省中山市广东博文学校高三数学9月考试 一、单选题 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，集合，， 所以，，因此，. 故选：B. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，结合复数的几何意义解题. 【详解】根据复数的运算法则，可得， 故在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对已知条件化简变形可得，然后由结合余弦的二倍角公式可求得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以. 故选：C. 4. 函数在R上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则； 当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即； 又由在上递增，可得，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. 60 B. 45 C. 30 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可． 【详解】由命题否定的定义可知，命题“”的否定是 “”． 故选：D． 7. 已知函数f（x）=asinx+cosx的一条对称轴为则函数g（x）=sinx-acosx的一条对称轴可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简，其中，由的一条对称轴是求出，再根据辅助角公式化简，其中，利用，求出和的关系，即可求出的一条对称轴. 【详解】由题意，，其中， 因为的一条对称轴是，所以， 解得， 函数，其中， 所以的对称轴是， 因为，所以， 即， 所以， 所以， 所以的一条对称轴， 当时，. 故选：B 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，两角和差的余弦公式和三角函数的性质，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 8. 已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为时，对应的点分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，令，利用导数可得函数为增函数，即得. 【详解】设，则， 令，则， 设，则 所以在上为增函数， 故，即， ∴在上为增函数， ∴，即. 故选：D. 二、多选题 9. 设，为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，， 对于选项A，因为， 所以， 且，所以，故A正确； 对于选项B，因为，，， 则，， 所以，故B正确； 对于选项C，若，例如，，满足， 但，，即，故C错误； 对于选项D，因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 该图像向右平移个单位长度可得图象 B. 函数的图像关于点对称 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】由图象知，，函数的周期，则， 则，由得，而， 则，因此. 对于A，函数图象向右平移个单位长度，得， 即的图象，故A正确， 对于B，，则的图象关于点对称，故B正确； 对于C，，则函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，当时，， 当，即时，取得最小值， 所以函数在上不单调，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知定义域为R的函数，对任意x，，都有，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，可判断A；令得，结合偶函数的定义可判断B；令，，可得，从而得，即可判断C；由题意可得4是的周期，再结合，，，，，即可判断D． 【详解】令，得， 又，所以，故A错误； 令得，， 所以，，所以为偶函数，故B正确； 令，，得，所以， 又， 所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； ，所以， 所以，故4是的周期， 又，，， 所以，， ， ， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在判断抽象函数的奇偶性、单调性时常采用赋值法. 三、填空题 12. 集合中的所有元素中最小的元素为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，当时，最小元素. 故答案为:. 13. 与曲线和都相切的直线l的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，根据点斜式求解直线方程，即可得，进而求解，代入即可求解. 【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点， 又，，且，. 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为. 故解得，， 故 故，故直线的方程为. 故答案为：. 14. 方程的根的个数是______. 【答案】6 【解析】 【分析】方程的根的个数即函数和图象交点的个数，分别在同一直角坐标系下作出两个函数的图象即可求解. 【详解】设函数和， 由为偶函数，周期， ，，，，， ，，， 可作出函数和的大致图象，如图， 由图可得，两个函数的图象共有6个交点，即方程的根有6个， 故答案为：6. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值，并求出取得最大值时自变量x的值. 【答案】（1），. （2）最大值为2， . 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式可得，即可利用整体法求解单调性， （2）根据函数图象的变换可得，即可求解， 【小问1详解】 ， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到； 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到， 因为，则，可得，即， 所以在区间上的最大值为2，此时，即. 16. 函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数. （1）若，求的值和函数的单调区间； （2）若，讨论的零点个数. 【答案】（1），单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）当时，有三个零点；当时，有两个零点；当时，有一个零点. 【解析】 【分析】（1）先得，，根据得，进而利用导函数求单调区间； （2）先由得，进而得函数的极小值为，极大值为，进而根据极小值与零比较可判断零点个数. 【小问1详解】 由题可知，，， ，解得. 所以，. 令，得或；令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）可知，，，，所以. 令，解得或；令，解得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为，的极大值为. 当时，，当时，， 故当，即时，有三个零点； 当，即时，有两个零点； 当，即时，有一个零点. 17. 已知函数. （1）设，且为常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； （2）集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）注意到， . 由在上是增函数，则. 故. （2）由，得. 又，则，即当时，不等式恒成立. 从而，. 因， ， 所以，. 18. 已知函数的定义域. （1）求的取值范围； （2）当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 【答案】（1） （2）偶函数， 【解析】 【分析】（1）由题意知恒成立，利用换元法将不等式转化为一元二次函数恒成立问题进行求解； （2）求出函数的定义域，根据即可判断函数的奇偶性，换元法求出函数在上的单调性，再根据函数的奇偶性可得函数在定义域上的单调性，从而根据单调性判断与的关系. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 所以恒成立， 令，则，所以在上恒成立， 即当时，恒成立， 根据对勾函数性质知函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 【小问2详解】 当时，，易知的定义域为， 因为， 所以为偶函数. 当时，， 令， 因为函数在上单调递增，且在定义域上为增函数， 所以函数在上单调递增， 又因为函数在定义域上为偶函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以，即，解得. 19. 若函数在区间上有定义，在区间上的值域为，且，则称是的一个“值域封闭区间”. （1）已知函数，区间且是的一个“值域封闭区间”，求的取值范围； （2）已知函数，设集合. （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素.证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“值域封闭区间”. 【答案】（1） （2）（i）2； （ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“值域封闭区间”， 则对， 当时，由（i）得在单调递增， ，即，不满足要求； 当时，由（i）得在）单调递增， ， 即，也不满足要求； 当时，闭区间，而显然在单调递增， 由（i）可得， ，满足要求. 综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“值域封闭区间”. 【解析】 【分析】（1）求导，确定在上单调递增，求得值域，再由集合间的关系构造不等式求解即可. （2）（i）构造，求导，确定其单调性，再结合零点存在性定理即可求解；（ii）由（i）得，再通过讨论，和即可求证. 【小问1详解】 由题意，，当时， 恒成立，所以在上单调递增， 的值域为，所以， 即可得，解得， 则的取值范围为. 【小问2详解】 （i）记函数， 则， 由得或；由得； 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 其中，因此当时，，不存在零点； 由在单调递减，易知，而， 由零点存在定理可知存在唯一的使得； 当时，，不存在零点. 综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2. （ii）略 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且， 还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省中山市广东博文学校高三数学9月考试 一、单选题 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在R上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 60 B. 45 C. 30 D. 15 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数f（x）=asinx+cosx的一条对称轴为则函数g（x）=sinx-acosx的一条对称轴可以为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为时，对应的点分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设，为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 该图像向右平移个单位长度可得图象 B. 函数的图像关于点对称 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数在上单调递减 11. 已知定义域为R的函数，对任意x，，都有，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 三、填空题 12. 集合中的所有元素中最小的元素为__________. 13. 与曲线和都相切的直线l的方程为__________. 14. 方程的根的个数是______. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值，并求出取得最大值时自变量x的值. 16. 函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数. （1）若，求的值和函数的单调区间； （2）若，讨论的零点个数. 17. 已知函数. （1）设，且为常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； （2）集合，，若，求实数的取值范围. 18. 已知函数的定义域. （1）求的取值范围； （2）当时，判断的奇偶性，并解关于的不等式. 19. 若函数在区间上有定义，在区间上的值域为，且，则称是的一个“值域封闭区间”. （1）已知函数，区间且是的一个“值域封闭区间”，求的取值范围； （2）已知函数，设集合. （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素.证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“值域封闭区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $