精品解析：江西省南昌市南昌中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区12月份考试 高一数学 命题人：刘启凤 审题人：张志明 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 函数（且）的图像可能是（　　） A. B. C. D. 3. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：，） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1 6. 若在区间上递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设为偶函数，当时，，则（    ）． A. B. C. D. 8. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（   ） A. B. C. D. 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的有（   ） A. B. C. 若，则 D. 10. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A. 若实数满足，则 B. 设都是正数，且，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是. 11. 已知函数若对任意的，存在，使得成立，则实数a的取值可以为（   ） A. B. 0 C. 3 D. 7 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为_____. 13. 已知，则的取值范围为______. 14. 已知正实数，满足，则的最大值为_________. 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知，，设集合，． （1）若，请用区间表示； （2）若，且，求的取值范围． 16. 计算： （1）； （2）； （3）若，求的值. 17. 已知是奇函数. （1）求的值及的定义域； （2）求不等式的解集. 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； 19. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区12月份考试 高一数学 命题人：刘启凤 审题人：张志明 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由， 可得， 解得， 所以； 又因为， 所以. 故选：D. 2. 函数（且）的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【详解】当时，在定义域上单调递减，， ，所以，则A、B均不符合题意； 当时，在定义域上单调递增，， ，所以，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C 3. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数以及指数函数的单调性，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】因为，即， ，即， ，即， 所以. 故选：B 4. 已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义得为奇函数，再由基本初等函数的单调性可得为增函数，从而得，即可求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 易知在定义域上单调递增， 由，得到， 所以，解得， 故选：A. 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：，） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1 【答案】A 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数即可. 【详解】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，得到， 两边同时取自然对数得， ， 则， 则给氧时间至少还需要小时. 故选：A 6. 若在区间上递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，则函数在上单调递减以及函数值总大于零，由此联立不等式组求解． 【详解】令，其对称轴方程为，对数函数是增函数， 要使函数在上递减，则， 解得，实数的取值范围是． 故选：B. 7. 设为偶函数，当时，，则（    ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将和代入中，即可求得，结合偶函数性质可求得结果. 【详解】当时，，，， 即，， 为偶函数，. 故选：C. 8. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得出，可求出的值，推导出函数是以为周期的周期函数，结合周期性可得出的值. 【详解】因为函数为上的奇函数，则， 当时，，则，解得， 故当时，， 对任意的，，可得， 故，所以函数是以为周期的周期函数， 因为，， 所以，， 所以. 故选：C. 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的有（   ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数的运算及指数与对数的转化判断各选项即可. 【详解】对于A，无意义，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 10. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A. 若实数满足，则 B. 设都是正数，且，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对数函数与幂函数的单调性即可判断选项A；设，则，运算求解即可判断选项B；由对数型函数的性质结合一元二次方程根与系数的关系即可判断选项C ，D. 【详解】，所以，故，设， 则，故，故A错误； 设，则， 故，，所以，故B正确； 函数的值域为，所以，所以或，故C正确； 函数的定义域是，当时，函数的定义域是不合题意， 当且时，函数的定义域是，所以， 故D正确； 故选：BCD 11. 已知函数若对任意的，存在，使得成立，则实数a的取值可以为（   ） A. B. 0 C. 3 D. 7 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，进而根据二次函数的性质和指数函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，对任意的，存在，使得成立， 则， 因为函数，且 所以， 而函数在上单调递减，且， 所以， 则，即，结合选项，则实数a的取值可以为，0. 故选：AB 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数的值域问题求解即可. 【详解】令， 则原函数值域等价于函数的值域， 由指数函数性质可知，故函数的值域为. 故答案为： 13. 已知，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以由， 得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知正实数，满足，则的最大值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】结合题设由基本不等式可得，再根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，为正实数，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则的最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知，，设集合，． （1）若，请用区间表示； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，由不等式：，列出不等式组，能求出集合 由，得利用不等式，列出不等式组求出集合，由，得，根据和，利用分类讨论思想能求出m的取值范围． 【小问1详解】 当时，不等式：， ，解得 . 【小问2详解】 若，则，解得， 不等式， ，解得， 此时， ，， ①若，即，解得，成立； ②若，则， 解得， 的取值范围是 16. 计算： （1）； （2）； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算公式即可求解； （2）根据对数的运算公式即可求解； （3）根据指数的运算公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由，得，则. 17. 已知是奇函数. （1）求的值及的定义域； （2）求不等式的解集. 【答案】（1），定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列式计算可得，进而求解函数的定义域； （2）根据函数的奇偶性可将问题转化为，利用函数单调性的定义可得在上单调递增，进而求解即可. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以恒成立， 所以，则， 所以，所以， 所以，因为，解得， 所以，由，等价于，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 由，可得， 任取，且， 则， 因为，所以，所以， 则，即， 所以，即，所以在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； 【答案】（1）；证明： 令，则，所以， 当时，， 因为， 所以， 因为，所以， 故当时， （2）在上单调递减；证明： 任取，且，则， 令，则， ， 由已知可知，当时，，所以， 即，所以在上单调递减； 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论； （2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）最小值为，；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 （i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $