精品解析：广东省清华附中湾区学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

清华附中湾区学校2025学年第一学期高一年级期中考试试卷 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟． 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由一元二次不等式求出集合或，再利用集合交集的定义求出即可. 【详解】在集合中，由，解得或，所以或， 且集合，. 故选：B 2. 已知幂函数的图象过点,则等于（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数解析式,再计算的值. 【详解】设,因为幂函数的图象过点, 所以解得 故选：D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中间值和指数函数的图像求解. 【详解】，， ，， 故选：A. 4. 函数的大致图象为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除D；利用函数值正负排除AC，即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 而， 所以是奇函数，图象关于原点对称，排除D； 当时，，排除C； 当时，，排除A，而B满足条件． 故选：B 5. 设均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式，即可求解． 【详解】根据题意，， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为． 故选：C． 6. 如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 7. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在上单调递减，需使各段函数分别单调递减，且在分界点处的函数值左端大于等于右端，由此列不等式组求解即可. 【详解】在上单调递减等价于 ，解得 故选：C. 8. 已知函数满足，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解. 【详解】当时，（1） 在（1）中将替换为，则 （2） 在（1）中将替换为，则 （3） 可得：且 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分；全对得6分，错选得0分，部分选对得部分分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，都是正数，且，则 B. 若，，，则“”的充要条件是“” C. 命题“使得”的否定是真命题 D. “且”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A；利用不等式的性质、充分条件、必要条件、充要条件的定义判断BD；利用否命题判断C． 【详解】对于A，，都是正数，且，，，故A选项正确； 对于B，由得，但若，则推不出，如当时，，“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，命题“使得”是假命题，该命题的否定是真命题，故C正确； 对于D，由且可得，但若推不出且，例如，，且是的充分不必要条件，故D错误． 故选：AC． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义区间上的函数，规定其具有以下性质：①任意，；②；③，则关于该函数下列说法正确的是（ ） A. 在上严格单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 当时 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知抽象函数的性质，结合函数单调性、对称性定义，通过赋值法逐一分析判断各选项的正确性． 【详解】A：，， 令，则，解得， 令，可得，即， 令，可得，即， ， 在上不是严格递增，故A错误； B：，把替换为，则， ，当时，，即， 的图象关于点对称，故B正确； C：任意， 由A的分析知， 当时，， ， 令，得，即，故C正确； D：， 令，得，即， 任意， 当时，， 当时，， 当时，，，故D正确． 故选： 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若命题p：，，则命题p的否定为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案. 【详解】命题p：，的否定为：， 故答案为： 13. 若实数满足，则的取值范围为___________（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分别求得和，进而求得的取值范围. 【详解】由，可得，又由，可得， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有，若对所有，恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的定义求得，由奇函数的定义整理不等式，得到函数的单调性，从而求得在区间上，函数的最值，又不等式恒成立得到新的不等式，然后分离常数后再利用函数的单调性求得不等式一边的最值，从而得到实数的取值范围. 【详解】由题意可知， ， ∴函数在上单调递增，函数， 要想不等式恒成立，即恒成立，即， ∵，∴恒成立， 由基本不等式得，当且仅当，即取等号， ∴由双勾函数性质可知函数在上单调递减， ∴，即. 故答案为：. 四、解答题（第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分） 15. 设全集，集合，集合 （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，求得的解集，即可求解； （2）由“”是“”的充分不必要条件，得到真包含于，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由不等式，可得， 解得或，所以集合或.. 【小问2详解】 由（1）知，集合或， 因为“”是“”的充分不必要条件，可得真包含于， 又因为 当时，可得满足，解得，此时满足真包含于； 当时，则满足或，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 16. 已知函数， （1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图； （2）根据函数的图象，写出函数的单调区间； （3）若，求实数t的值． 【答案】（1） （2）增区间为，减区间为 （3）或3 【解析】 【分析】（1）根据题中分段函数解析式作图即可； （2）根据图象直接得出单调区间； （3）可知，结合单调性即可得结果. 【小问1详解】 函数的简图如下： 【小问2详解】 由图可知，函数的增区间为，减区间为； 【小问3详解】 因为，且函数在上单调递增，在上单调递减， 若，则实数t的值为或3. 17. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； （2）． 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 18. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. （1）求的值； （2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）； （3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）1 （2） （3）年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元 【解析】 【分析】（1）由已知条件代入解析式待定系数可得； （2）由题意条件，由销售额减去固定成本与另投入成本，得到函数关系式； （3）利用二次函数的性质与基本不等式分别在各段求解最值，然后比较大小即可求出分段函数的最值. 【小问1详解】 将，代入， 得，解得. 【小问2详解】 由题意得，，. 当时，由（1）知，， 则； 当时，. 则， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： . 【小问3详解】 由（2）得当时， ， 所以当时，； 当时，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，. 又，故时，利润最大，最大利润是500万元. 综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元. 19. 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数． ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则． 回答以下问题： （1）判断______（直接填“是”或“不是”）U型函数．若一次函数是型函数，求函数的解析式． （2）求证：是型函数； （3）若型函数的定义域为，解不等式． 【答案】（1）不是，； （2） 记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据型函数的定义直接判断即可；代入计算即可得到，再根据关于的不等式组即可得到解析式. （2）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （3）首先证明在上为增函数，从而得到不等式组，解出即可； 【小问1详解】 根据一次函数在上单调递减， 则，且当时，，满足条件①， 对于任意的，若，则；则其不是型函数； 若一次函数是型函数， 若要满足条件①，则，， 若要满足条件②，则， 则，又因为，则，因为，则， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，且，则. 因此 ， 若，则在上为常数函数，又因为，则， 则对于的条件②来说，，而，显然不满足条件②， 故，即故， 则在上为增函数. 若，则，解得， 则不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清华附中湾区学校2025学年第一学期高一年级期中考试试卷 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟． 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点,则等于（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ）． A. B. C. D. 5. 设均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3或 7. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分；全对得6分，错选得0分，部分选对得部分分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，都是正数，且，则 B. 若，，，则“”的充要条件是“” C. 命题“使得”的否定是真命题 D. “且”是“”的充要条件 10. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递增 11. 定义区间上的函数，规定其具有以下性质：①任意，；②；③，则关于该函数下列说法正确的是（ ） A. 在上严格单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 当时 D. 当时， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若命题p：，，则命题p的否定为________________． 13. 若实数满足，则的取值范围为___________（用区间表示） 14. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有，若对所有，恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题（第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分） 15. 设全集，集合，集合 （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 已知函数， （1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图； （2）根据函数的图象，写出函数的单调区间； （3）若，求实数t的值． 17. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 18. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. （1）求的值； （2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）； （3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 19. 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数． ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则． 回答以下问题： （1）判断______（直接填“是”或“不是”）U型函数．若一次函数是型函数，求函数的解析式． （2）求证：是型函数； （3）若型函数的定义域为，解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $