精品解析：安徽省合肥市第五十中天鹅湖校区2025-2026学年九年级上学期数学期中试题

2025-2026学年五十中天鹅湖五十中九年级上期中 一、选择题（本大题共10小题，每小题4 分，满分40 分） 1. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、里含有分式，故C不符合题意； D、是二次函数，故D符合题意． 故选：D． 2. 下列图形中，一定相似的一组是（　　） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是厘米和厘米的两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定． 根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵菱形的四边相等，且对角相等，邻角互补， ∴如果一个内角为，则其余内角分别为、、， ∴两个有一个内角为的菱形，所有对应角相等，且对应边成比例（因边长比恒定）， ∴它们一定相似． 对于A：两个直角三角形，锐角不一定相等，故不一定相似； 对于B：两个等腰三角形，顶角不一定相等，故不一定相似； 对于D：两个菱形仅边长给定，但内角不一定相等，故不一定相似； 故选：C． 3. 如果，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例，设，（其中），再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，（其中）， 则． 故选：A． 4. 已知抛物线，下列结论中错误的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，取最大值 D. 抛物线的对称轴为直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，抛物线开口向下，故A正确； 对称轴为直线，故D正确； 顶点为，当时，取最大值2，故C正确； ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，故B错误； 故选：B． 5. 如图，在中，，．利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规作图，根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，求出，进而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：B． 6. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 7. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，首先求出如果反比例函数经过点、时，的值，从而可得的取值范围，根据的取值范围确定的值． 【详解】解：如下图所示，点的坐标为，点的坐标为， 设反比例函数的解析式为， 当抛物线经过点时， 可得：， 解得：； 当抛物线经过点时， 可得：， 解得：， ， 的值可能是．   故选： C． 8. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（　　） …… …… …… …… …… …… A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过表格数据发现二次函数图像关于直线对称，进而结合表格作答即可． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，，    方程的负数解的取值范围是， ∵由表格数据，当和时，y值均为， ∴对称轴为直线， ∴方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是． 9. 如图，，，则图中的相似三角形共有（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先根据，得出，，然后根据相似三角形的判定方法，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，共有4对相似三角形． 故选：C． 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的顶点坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点式 ，直接读出顶点坐标 即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 已知线段是线段的比例中项，，则______________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据线段的比例中项的定义，列出方程，进而即可求解． 【详解】∵线段是线段的比例中项，， ∴a2=b×c=3×12=36， 又∵a＞0， ∴a=6， 故答案是：6． 【点睛】本题主要考查线段的比例中项定义，根据比例中项的定义，列出方程，是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 14. 如图，在中，，，，，分别是边，的中点，F为边上一动点，于G，交于H． （1）________； （2）当与相似时，________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于交于，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理得到，，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； 根据相似三角形的性质分类讨论即可得到结论． 【详解】解：过作于交于， 在中，，，， ， ，分别是边，的中点， ，， ，∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，当和相似时， ∽， ， ． ∽， ， ， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象． x … … y … … 【答案】 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3 图象如下． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的绘制．解题的关键是通过配方或公式法确定二次函数的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等关键特征点，再列表描点连线画出图象． 将二次函数解析式配方为顶点式，确定顶点坐标为，对称轴为直线；求出函数与x轴交点、和与y轴交点；根据对称性选取对称点列表，再描点连线画出图象． 【详解】解：先将二次函数配方：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 求与坐标轴交点：令，则， 因式分解得，解得， 即与x轴交点为． 令，则，即与y轴交点为． 16. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示. （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）在该过程中，水温不低于的时间有多长? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度可得加热时间为4分钟，进而得到，点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用（1）中的函数解析式即可求得． 【小问1详解】 解：开始加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是； 【小问2详解】 解：在加热过程中，水温为时，所需时间为， 即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都高于， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 18. 如图，和的顶点A重合，，． （1）若，，求的长； （2）连接，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等证明，再由对应边成比例即可求解； （2）由，得到，变形为，再由夹角相等，即可证明相似． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴; 【小问2详解】 略 19. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，连接． （1）求，的值； （2）若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，请求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围． （1）把代入正比例函数，可求得的值，然后代入反比例函数解析式，可求得的值； （2）根据图象观察可得正比例函数的图象在反比例函数图象的下方，即可写出的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入中，得， 即， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：， ， 、B关于原点对称， ， 到的距离为， ， ， 设点坐标为，则到的距离为， ，解得或， 点坐标为或. 20. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． （1）直接写出点、的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）根据图象求的解集． 【答案】（1）点坐标为，点坐标为 （2）二次函数的解析式为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，待定系数法求抛物线的解析式，根据交点确定不等式的解集． （1）先根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴为，求出点的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点的坐标； （2）将、代入，解方程组即可求出抛物线的解析式； （3）根据抛物线与一次函数的交点横坐标，结合图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于、两点， ∴的对称轴为直线， 令，得， 故点的坐标为， ∵点、是二次函数图象上一对对称点， 故点的坐标为． 【小问2详解】 解：将、代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象与一次函数的图象过点、．且，， ∴的解集为：或． 六、（本题满分12分） 21. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度/（cm/s） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离/cm 0 19 36 51 64 75 … 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度（单位：）与小球运动时间（单位：）满足关系式．小球滑行距离（单位：）与运动时间（单位：）满足关系式； （1）________，________，________，________ 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑动距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1），（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的待定系数法求解析式，以及利用函数解决实际问题．解题关键在于熟练运用待定系数法准确求出函数解析式，再根据实际问题的条件建立方程或不等式求解． （1）对于，可根据表格中两组与的值代入方程，利用待定系数法求出和；对于，同样根据表格中两组与的值代入方程，用待定系数法求出和 ． （2）先根据求出小球停下来（）时的时间，再将该时间代入求出滑行距离． （3）分别表示出小球滑行距离和小车行驶距离，根据小球不能撞上小车的条件列出不等式求解的取值范围． 【详解】解：（1）当时，；把，，代入得， 解得． ∵时，； ，， ∴ 解得． 故答案为：， （2）由，当时，，解得． 把代入，得． （3）小球滑行距离，小车行驶距离． ∵球不能撞上小车， ∴恒成立，即恒成立． ∵于二次函数，，要使其恒小于， ∴， 解得． 七、（本题满分 12 分） 22. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线在这一段位于轴下方，在这一段位于 x 轴上方，求满足的条件； （3）当时，若、是抛物线上两点，记抛物线在、之间的部分为图象（包含、两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为，直接写出的值． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴公式计算即可； （2）由题意可知，当时，，当时，，据此列出不等式组，求出答案即可； （3）根据的取值范围分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为：直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向上， ∵抛物线在这一段位于x轴下方，在这一段位于x轴上方， ∴当时，，当时，， ∴ 解得， 【小问3详解】 解：当时，， 当，即时， 在时取最小值，即， 在时取最大值，即， 由题意可得， 解得，符合题意； 当即，在顶点处取最小值， ①当时，最高点在处取得，纵坐标为， 由题意得，解得，均不在此范围内，舍去， ②当时，最高点在处取得，纵坐标为， 由题意得，解得，均不在此范围内，舍去， 当时， 在时取最大值，即， 在时取最小值，即， 由题意可得， 解得，符合题意； 综上可知，或． 八、（本题满分14分） 23. 在四边形中，点为的中点，分别连接． （1）如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； （2）如图2，若，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据点为的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得，再由可得，进而得出，可得，即证得结论； （2）过点作，连接，，根据全等三角形的判定与性质，构造，再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五十中天鹅湖五十中九年级上期中 一、选择题（本大题共10小题，每小题4 分，满分40 分） 1. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，一定相似的一组是（　　） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是厘米和厘米的两个菱形 3. 如果，那么的值为（　　） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列结论中错误的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，取最大值 D. 抛物线的对称轴为直线 5. 如图，在中，，．利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（　　） …… …… …… …… …… …… A. B. C. D. 9. 如图，，，则图中的相似三角形共有（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的顶点坐标是___． 12. 已知线段是线段的比例中项，，则______________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 14. 如图，在中，，，，，分别是边，的中点，F为边上一动点，于G，交于H． （1）________； （2）当与相似时，________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象． x … … y … … 16. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示. （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）在该过程中，水温不低于的时间有多长? 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 18. 如图，和的顶点A重合，，． （1）若，，求的长； （2）连接，求证：． 19. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，连接． （1）求，的值； （2）若点是反比例函数图象上的一点，且满足与的面积相等，请求点的坐标． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． （1）直接写出点、的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）根据图象求的解集． 六、（本题满分12分） 21. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度/（cm/s） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离/cm 0 19 36 51 64 75 … 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度（单位：）与小球运动时间（单位：）满足关系式．小球滑行距离（单位：）与运动时间（单位：）满足关系式； （1）________，________，________，________ 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑动距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 七、（本题满分 12 分） 22. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线在这一段位于轴下方，在这一段位于 x 轴上方，求满足的条件； （3）当时，若、是抛物线上两点，记抛物线在、之间的部分为图象（包含、两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为，直接写出的值． 八、（本题满分14分） 23. 在四边形中，点为的中点，分别连接． （1）如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； （2）如图2，若，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $