精品解析：贵州省贵阳市清华中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

贵阳市清华中学12月份数学试题 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知函数奇函数，若则（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（ ） A B. 27 C. D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. B. 若，则 C. D. 函数的零点是 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，值域为 B. 当时，的定义域为 C. 的图象关于直线对称 D. 若的定义域为R，则实数的取值范围 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的图象与直线有无数个交点 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=ax+b的图象不经过第___象限． 13. 已知函数是定义域上的减函数，则实数的取值范围是______ 14. ，用表示中的最小者，记为.给定函数，，若对于，都有，则的取值范围_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知集合， （1）当时，求； （2）已知，，若是的充分条件，求的取值范围. 16. 已知. （1）求的最小值 ， （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围 17. 已知函数在上单调递减，在上单调递增 （1）求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 （2）利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 18. 已知函数是定义在上的奇函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明. （3）若求实数的取值范围. 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： （1）已知定义上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）运用第（2）问的结论，求的值，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市清华中学12月份数学试题 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式直接求解. 【详解】特称命题的否定是全称命题， 即命题“”的否定是“”. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的运算使用数轴法求出. 【详解】，， ，， 即. 故选：D. 3. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断出的大小关系. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以，，， 所以， 故选：A. 5. 设函数，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算得解. 【详解】函数，则，因此， 所以. 故选：C 6. 已知函数为奇函数，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为奇函数，即进行求解即可. 【详解】已知，即：，解得：， 又因为为奇函数，可得：. 故选：C 7. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】依题意列出不等式再由对数运算法则计算，解不等式可得结果. 【详解】设至少过滤的次数为， 则依题意可得，即， 即，所以， 可得， 所以至少过滤3次才能满足要求. 故选：B 8. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（ ） A. B. 27 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求出的值，由此可计算出的值. 【详解】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出， 又函数的图象过原点，则，可得， 因此. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 函数的零点是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用自然数集的定义可判断A；举反例可判断B；利用对数的换底公式计算可判断C；由函数零点的定义可判断D. 【详解】选项 A：根据自然数集的定义可知，选项 A 正确； 选项 B： 反例：，，，， ， ，有 ，满足条件， 但 ， ，有 ， 不成立， 因此，选项 B错误； 选项 C：， 因此，选项 C 正确； 选项 D： 函数的零点是使  的  值， 令，得 ，所以 ， 故的零点为 ，因此选项D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的值域为 B. 当时，的定义域为 C. 的图象关于直线对称 D. 若的定义域为R，则实数的取值范围 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据二次函数的值域及对数函数的单调性可判断，对于B直接根据对数函数的定义域可得，对于C根据函数对称性判断可得，对于D由函数的定义域转化为二次函数的恒成立问题可得. 【详解】对于A：时，，所以的值域为，故A错误； 对于B：时，要使函数有意义，，解得或，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D：因为的定义域为R，所以的解集是R，得，解得，故D正确. 故选：BCD. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的图象与直线有无数个交点 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的定义分析函数的性质，再利用函数的性质分析判断各选项． 【详解】实数，符号表示不超过最大整数， 函数表示实数的小数部分， 设，则，； 选项A：，故A错误； 选项B：，的最小值为0，故B正确； 选项C：对于任意整数，取，都有， 图象与有无数个交点，故C正确； 选项D：，，故D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=ax+b的图象不经过第___象限． 【答案】一 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案. 【详解】函数y=ax（0＜a＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=ax+b的图象由函数y=ax的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=ax+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=ax+b的图象过二、三、四象限． 故答案为:一． 【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换． 13. 已知函数是定义域上的减函数，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数单调性，结合对数型函数和一次函数的单调性列出不等式组求解即得. 【详解】函数是定义域上的减函数， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. ，用表示中的最小者，记为.给定函数，，若对于，都有，则的取值范围_________ 【答案】 【解析】 【分析】确定函数的单调性，结合函数的定义得当时恒有，再利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由函数在R上单调递增，得当时，，则当时，， 当时，，由对恒成立，得当时，恒成立， 则当时，恒成立， ， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知集合， （1）当时，求； （2）已知，，若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入的值，先求解出，然后根据交集概念可求解出结果； （2）先判断出的关系，然后根据进行分类讨论，列出不等式组求解出结果即可. 【小问1详解】 当时，，所以或， 因，解得，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，， 当时，满足，此时，则； 当时，只需满足，解得， 综上所述，的取值范围是. 16. 已知. （1）求的最小值 ， （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可； （2）根据恒成立可得：，进而通过解绝对值不等式求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 ， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. 【小问2详解】 若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 17. 已知函数在上单调递减，在上单调递增 （1）求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 （2）利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域 （2） 【解析】 【分析】(1)利用构造法可得到一个对勾型函数，再利用单调性来求值域； (2)利用分离参变量法，再利用对勾函数的单调性求最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由， 令，则，因为，所以， 再结合已知可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值， 因为当时，，当时，， 所以当时，取到最大值， 即的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域； 【小问2详解】 由不等式，结合，可变形为， 由原不等式有解转化为， 再由已知可得在区间上单调递增， 所以，即， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明. （3）若求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上为增函数，证明见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 小问1详解】 函数是定义在上奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 【小问2详解】 函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； 【小问3详解】 函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，则解得， 所以t的取值范围是． 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： （1）已知定义上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）运用第（2）问的结论，求的值，其中． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性可计算出和的值，根据时的解析式可求，则结果可求； （2）根据条件可得，将的解析式代入化简可计算出的值，则对称中心可知； （3）利用对称性直接进行计算即可. 【小问1详解】 由在上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ， 【小问2详解】 若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立， ， 有，整理得：， 为了使等式对所有成立，系数必须分别等于零， ，解得， 是中心对称图形，且对称中心是. 【小问3详解】 由（2）知，，， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $