精品解析：湖北省武汉市华中科技大学附属中学2025-2026学年高三上学期强基班数学综合试卷（周测6）

华科附中2026届强基班高三数学综合试卷（6） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合要求. 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值. 【详解】由题设， 而. 故选：B 2. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 3. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【详解】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 4. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：过点作，，垂足分别是、，根据已知得且，即可得；法二：构建合适的平面坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得. 【详解】法一：如图①，过点作，，垂足分别是，， 因为，所以， 又，所以四边形为正方形，所以， 又，所以，则，故； 法二：以，所在直线分别为，轴，建立如图②所示的平面直角坐标系， 设，则， 因为，所以，， 由，得，解得，故. 故选：A 5. 已知是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念判断A的真假；根据虚数单位的概念，判断B的真假；举例说明C是错误的；根据复数的乘法运算判断D的真假. 【详解】对A：根据共轭复数的概念，若，则，互为共轭复数，所以成立，故A为真命题； 对B：根据虚数单位的定义，由，可得，故B为真命题； 对C：取，，则，且，，所以不成立，故C为假命题； 对D：因为，，所以可得，即，故D为真命题. 故选：C 6. 的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出的值，根据平面向量的线性表示求出，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值. 【详解】解：中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 又， ∴， ∴， ∴； ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查了解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量基本定理应用问题，属于基础题. 7. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. (0，2) B. (0，2] C. (2，+∞) D. [2，+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，是函数的一个零点，故问题转化为当时， 与图象必有一个交点，再根据导数研究性质，数形结合求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数恰有两个零点 由于当时，，故是函数的一个零点， 所以当时， 与图象必有一个交点， 由于， 当时，，，故函数在上单调递增， 当时，，，所以当时，函数单调递减，当是单调递增； 所以 函数图象如图， 由图可知，若与图象必有一个交点，则. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查数形结合思想与化归转化思想，是中档题. 8. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的对称性，求出数列的通项公式，再利用数列性质及函数对称性求和可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数的图象关于点成中心对称， 所以，若，则. 由，得当时，， 两式相减得，整理得，即， 因为，，所以，即， 所以对任意正整数，都有， 所以数列为常数列，故，即， 由得数列是等差数列， 所以， 故， 所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面判断的判定定理即可判断A；根据线面垂直的判定定理即可B；根据线面平行的性质即可C；根据面面垂直的性质即可判断D. 【详解】A：若，有可能，故A错误； B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确； C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确； D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确. 故选：BCD 10. 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若成等差数列，则 D. 若成等比数列，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A项由零点个数可知单调区间至少三个，求导函数，转化为二次函数判别式求解可得；B项利用三次函数三根式表达形式，求导后赋值通分化简可得；C项将三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；D项由根与系数的关系消元转化，用分别表示即可判断. 【详解】A项，由题意得有三个零点， 则至少有三个单调区间，故有两个不等实根， 所以，解得，故A错误； B项，由题意可知， 则， ， 同理 ，故B正确； C项， ， 若成等差数列，则， 则，，则， 所以，即，故C正确； D项，若成等比数列，则，， 故，， 则，由，可知，故D错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用.问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如CD项的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B项中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. (为坐标原点) D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线，，，根据题意求出和的坐标，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】 依题意，设直线，，， 联立得，则，， 则，解得或，则，或，， 则直线的斜率为.故A正确；， 当且仅当时等号成立.故B正确； 因为，所以，故C错误； ，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，， 当且仅当时取等号，此时，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】每轮中甲投中为事件，每轮中乙投中为事件，根据概率乘法公式求解即可. 【详解】每轮中甲投中为事件，每轮中乙投中为事件，则，， 因为甲和乙投中与否互不影响， 则每轮比赛中，共投中一球的概率； 均未投中一球的概率； 所以“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为：. 故答案为： 13. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求剩余数据的中心点，再代入回归直线方程求，再代入求，即可求残差值. 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可表示出，，，四点坐标，再结合圆的定义计算即可得. 【详解】由题意可设，，则， ，，， 则、中点与、中点均为，， 由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，， 则，， 即有，则，又，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共13+15+15+17+17分． 15. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，的面积为，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算将函数的解析式化简，即可求解； （2）首先求出角，再利用三角形的面积公式及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 向量，， ， 函数的最小正周期为； 令，则， 函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 是直角三角形.理由如下： ，，， ，，，， 的面积为，，， ，， 由余弦定理得，， ，是直角三角形. 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，． （1）当平面时，求实数的值； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行，得到线线平行，可确定点位置. （2）先利用体积法求点到平面的距离，在根据与平面所成角的正弦值为求解. 【小问1详解】 如图： 连接交与点，连接. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 因为底面为矩形，所以为中点， 所以为中点，所以.所以. 【小问2详解】 当时，取中点，连接，. 因为，. 所以，，. . 在中，由余弦定理得：. 所以，所以. 设到平面的距离为， 由，得：，又. 所以. 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求、、的值． （2）求数列的通项． （3）求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式代入计算求解； （2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式； （3）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由条件知， ，． 【小问2详解】 当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列 【小问3详解】 由题可知，所以， 所以数列的前项和为 18. 已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . （1）求的方程； （2）证明：直线MH过定点. 【答案】（1） （2）由题意双曲线C的右焦点，直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为， 因为直线与双曲线左，右两支分别交于两点， 所以， 设，将直线的方程代入中， 得到， 则，，所以， 直线的方程，又直线 ，联立可得， 所以直线的方程为 ， 又直线的方程是，联立可得 ， 又，所以H的坐标是， 所以直线的方程是： 令，由，， 得， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由条件及点到直线的距离公式求，由左顶点的坐标求，进而得到的方程即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与曲线方程可得，的值，由给定条件求的坐标，从而得到直线的方程，进而得到定点即可. 【小问1详解】 因为C的一条渐近线方程为， 所以点A到渐近线的距离为， 所以，所以双曲线C的方程是 . 【小问2详解】 略 19. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华科附中2026届强基班高三数学综合试卷（6） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合要求. 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 3. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 4. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. (0，2) B. (0，2] C. (2，+∞) D. [2，+∞) 8. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若成等差数列，则 D. 若成等比数列，则 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. (为坐标原点) D. 当取最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为_______. 13. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 14. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共13+15+15+17+17分． 15. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，的面积为，判断的形状，并说明理由． 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，． （1）当平面时，求实数的值； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求、、的值． （2）求数列的通项． （3）求数列的前项和． 18. 已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . （1）求的方程； （2）证明：直线MH过定点. 19. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $