精品解析：云南省玉溪市红塔中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

玉溪市红塔中学2025-2026学年上学期初二期中考 数学学科试卷 总分：100分，考试时间：120分钟 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 未来将是一个可以预见的时代，以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键． 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合．‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：B． 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 4. 中，，则的长度是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据已知条件，是角（）的对边，利用该性质可直接求出斜边的长度． 【详解】解：在中，， 为的对边，且根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半， 得：， ∴． 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形只有一条角平分线 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 三角形的重心一定在三角形内部 D. 直角三角形只有一条高 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、外角、重心和高的概念，熟练掌握基本概念是解题关键；结合三角形的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解： 三角形每个角都有一条角平分线，共有三条，故 A错误； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，而非任意两个内角的和，故 B错误； 三角形的重心是三条中线的交点，中线均在三角形内部，故重心一定在内部，故C正确； 直角三角形有三条高（两条直角边和斜边上的高），故 D错误． 故选：C． 6. 中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得，第三边的长度大于，小于， ∴符合题意， 故选：C． 7. 如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 8. 如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，分别交AB，AC于点D，F，交CB的延长线于点E．若BD＝3cm，CD＝9cm，则AB的长为（　　） A. 14cm B. 12cm C. 10cm D. 9cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，进而即可求得的长 【详解】解： EF垂直平分AC，在上， BD＝3cm，CD＝9cm， 故选B 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 9. 如图，矩形的长，宽，的平分线交于点，则、 的长分别为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB=AE，即可求解． 【详解】∵矩形ABCD中，BE是角平分线， ∴∠ABE=∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∴∠AEB=∠ABE ∴AB=AE， ∵AB=15cm，AD=BC=20cm， ∴AE=15cm，DE=5cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识．先求出，再根据“等边三角形三线合一”得到也是等边的角平分线，即可求出，从而求出． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边的中线， ∴也是等边的角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 11. 如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（ ） ①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和； ②连接并延长到点，使； ③连接并延长到点，使； ④连接，量出的长即为的距离． A. ★代表 B. ♠代表 C. 代表 D. 该方案的依据是AAS 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定即可求解． 【详解】解：①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和； ②连接并延长到点，使，A选项正确； ③连接并延长到点，使，B选项正确； ④连接，量出的长即为的距离，C选项正确； 该方案的依据是，D选项错误， 故选：D． 12. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若的长为15，则的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是折叠的性质，熟知折叠前后对应线段相等是解题的关键． 由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合， ∴， ∵，的长为15， ∴的周长． 故选：D． 13. 现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中点的意义求得，再分“，”、“，”两种情况，分别求出妞妞的运动速度． 【详解】解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，， 设运动时间为t，， 解得：， ∴， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时，， 解得：， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选：C． 14. 如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　） A. 35 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′． 【详解】解： 如上图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC， ∵BD⊥AC， ∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm， ∴AB=AC=2AD=70， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′， ∴QD=DQ′=15（cm）， ∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm) ∵BP=20（cm）， ∴AP=AB-BP=70-20=50（cm） ∴AP=AQ′=50（cm）， ∵∠A=60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′=PA=50（cm）， ∴PE+QE的最小值为50cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 15. 如图，在四边形中，，平分且．下列结论正确的个数是（ ） ①； ②为的中点； ③平分； ④； ⑤到的距离等于的一半． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】作于，证明和，即可得到，判断①； 根据判断②、⑤； 根据判断③； 根据全等三角形得到，判断④． 【详解】解：作于， 如图，则， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 故①正确； ∴， ∴为的中点， 故②正确； ，故⑤正确； ∵ ∴， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴，， ∴，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），全等的性质和综合（），角平分线的性质定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 如图，在中，，的平分线交于点．若，则点到直线的距离＝______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据“角平分线上的点到两边的距离相等”即可解答． 【详解】∵BD平分∠ABC，，， ∴点D到BC的距离=6， ∴点D到AB的距离=6， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练地掌握“角平分线到两边的距离相等”的性质是解题的关键． 17. 若平面直角坐标系中的两点关于y轴对称，则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键，根据关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求得a、b的值即可求得答案． 【详解】解：点关于轴对称，， ，， 则的值是：， 故答案为：2． 18. 如图，，，在y轴左侧有一点C，使与全等，则点C的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质.根据全等三角形得到对应边相等，分两种情况解答，点在轴上和点在第二象限． 【详解】解：如图， 当点在轴上时， ∵ ∴， ∴点的坐标为， 点在第二象限， ∵， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为或． 19. 如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，重心的性质．要求图中阴影部分的面积，可以先求出两部分阴影的面积，即和的面积，再求和； 由题意可知点G是的重心，由三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得； 利用三角形重心的性质可得、，代入已知条件即可求出和的面积． 【详解】解：是的中线， ， 三边的中线、、的公共点为， 点G是的重心， ，， 图中阴影部分的面积， 故答案为：9． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】略 21. 请用无刻度直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：一点，使得点到点和点的距离相等，且点到与的距离相等． 【答案】 两线的交点即为P． 【解析】 【分析】用尺规作的垂直平分线，作的平分线，两线的交点即为P． 【详解】解：如图，作的垂直平分线， 的垂直平分线上的点到A、B两点的距离相等， 作的平分线， 的平分线上的点到与的距离相等 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线，作角平分线(尺规作图)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 22. 如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，． （1）作出关于轴对称的图形； （2）仅用直尺在轴上确定点的位置，使得的周长最短（保留画图的痕迹）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） 解：如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形、图形与坐标、利用轴对称性质求最值问题等知识． （1）找到点关于轴对称的对应点，顺次连接得到； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴的于点，根据轴对称性质有，此时的周长为最小值，点P即为所求点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，中，为的垂直平分线，交于点D，交于点E，的周长为，为4，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论得出是解题关键． 【详解】解：∵的周长为：， ∴ ∵为的垂直平分线，为4， ∴ ∴ 即： ∵的周长 ∴的周长为 24. 如图所示，、是的边边上的两点，且， （1）若，求的度数． （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和即可得到结论； （2）由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，则，据此得到，即是等腰三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 26. 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ≌， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2） 是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ， ≌， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据可知是直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． （1）模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； （2）拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； （3）应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 【答案】（1） （2） （1）中的结论成立，证明如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得可得出，证可得，可得； （2）同（1）证可得，可得出结论； （3）由，得到，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【小问1详解】 解：的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪市红塔中学2025-2026学年上学期初二期中考 数学学科试卷 总分：100分，考试时间：120分钟 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 未来将是一个可以预见的时代，以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 中，，则的长度是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形只有一条角平分线 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 三角形的重心一定在三角形内部 D. 直角三角形只有一条高 6. 中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，分别交AB，AC于点D，F，交CB的延长线于点E．若BD＝3cm，CD＝9cm，则AB的长为（　　） A. 14cm B. 12cm C. 10cm D. 9cm 9. 如图，矩形的长，宽，的平分线交于点，则、 的长分别为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（ ） ①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和； ②连接并延长到点，使； ③连接并延长到点，使； ④连接，量出的长即为的距离． A. ★代表 B. ♠代表 C. 代表 D. 该方案的依据是AAS 12. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若的长为15，则的周长为（　　） A. 15 B. 18 C. 20 D. 21 13. 现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 14. 如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　） A. 35 B. 40 C. 50 D. 60 15. 如图，在四边形中，，平分且．下列结论正确的个数是（ ） ①； ②为的中点； ③平分； ④； ⑤到的距离等于的一半． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 如图，在中，，的平分线交于点．若，则点到直线的距离＝______． 17. 若平面直角坐标系中的两点关于y轴对称，则的值是_______． 18. 如图，，，在y轴左侧有一点C，使与全等，则点C的坐标为___________． 19. 如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是___________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 21. 请用无刻度直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：一点，使得点到点和点的距离相等，且点到与的距离相等． 22. 如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，． （1）作出关于轴对称的图形； （2）仅用直尺在轴上确定点的位置，使得的周长最短（保留画图的痕迹）． 23. 如图，中，为的垂直平分线，交于点D，交于点E，的周长为，为4，求的周长． 24. 如图所示，、是的边边上的两点，且， （1）若，求的度数． （2）求证：是等腰三角形． 25. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 26. 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由． 27. 已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． （1）模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； （2）拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； （3）应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $