江苏省南京市2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学模拟试卷

2025-2026学年江苏省南京市九年级（上）第二次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知中，，若以点为圆心，以为半径作圆，则点在(    ) A. 内 B. 上 C. 外 D. 内或外 2.若二次函数有最大值，则“”中可填的数是(    ) A. B. C. D. 3.一组数据：，，，，，，关于这组数据说法错误的是(    ) A. 极差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 平均数是 4.如图，点是优弧的中点，过点作的垂线交于点，与圆交于点若，且，则圆的半径为(    ) A. B. C. D. 第5题 第4题 5.如图，多边形为正六边形，点在边上，过点作交于点，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.在二次函数中，与的部分对应值如下表所示： 则下列结论： 图象的顶点坐标是； 在的范围内，随的增大而增大； ； 是方程的一个根． 其中所有正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共20分。 7.若圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为          ． 8.已知二次函数图象的顶点在轴上，则的值为          ． 9.若函数的图象与轴有一个公共点，则的范围是        ． 10.关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为        ． 11.如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为______． 第13题 第11题 12.若二次函数的最大值是，则的最小值为      ． 13.如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动点时，线段扫过的面积是      ． 14.如图所示，半径为的圆心角为的扇形纸片在直线上向右做无滑动的滚动．且滚动至扇形处，则顶点所经过的路线总长是__． 15.如图，在中，，，，是上一个动点，以为直径的交于点，则长的最小值为        ． 16.已知二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，顶点为，对称轴与轴的交点为，点与点关于对称轴对称，直线与轴交于点，直线与直线交于点，当点在第一象限，且时，        ． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.解下列一元二次方程． ； ． 四、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 把二次函数的图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为求，的值． 19.本小题分 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： 完成表格； 平均数分 中位数分 方差分 甲            乙 丙            从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； 在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则           填“”或“”或“” 20.本小题分 如图，是的直径，点，在上，平分． 求证：； 延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点若，，求半径的长． 21.本小题分 如图，已知是直线外一点用两种不同的方法作，使过点，且与直线相切要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明 22.本小题分 已知二次函数为常数，且． 求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； 若点，在函数图象上，比较与的大小； 若点，在二次函数的图象上，且，则的取值范围是______． 23.本小题分 为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个元，某商场试销发现，销售单价定为元个，每月销售量为个；每涨价元，每月少卖个． 求出每月销售量个与销售单价元之间的函数关系式； 设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为元与销售单价元之间的函数关系式； 若每月销售量不少于个，且每个节能灯的销售利润至少为元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 24.本小题分 【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型“半角模型”：如图，在正方形中，、在边、上，，连接请你写出线段、、的数量关系：______； 【探索发现】如图，小明连接对角线，与、交于点、，图中与相似的三角形共有______个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为，设的长为，的长为，求与的函数关系式． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，二次函数、、为常数的图象经过点，． ______，______用含有的代数式表示； 求证：不论为何值，该函数图象与轴总有两个不同的公共点； 设是该函数的图象与轴的一个公共点当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 26.本小题分 如图，内接于，是上一点，过点作，交的延长线于点连接、，． 求证：； 求证：是的切线； 若，，的半径为，且，则 ______． 27.本小题分 已知二次函数是常数． 若该函数图象与轴有且仅有一个公共点，则 ______； 求证：不论为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上； ，是该二次函数图象上的点，当时，都有，则的取值范围是______． 28.本小题分 数学概念 经过初中的数学学习，我们知道图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，一般地，为图形上任意一点，为图形上任意一点，则称长的最小值叫作图形与图形的距离，记作． 概念理解 如图，在四边形中，，，垂足分别为、，则是______． A.的长 B.的长 C.的长 D.的长 知识运用 如图，在中，，，是平面内一点，． 直接写出的取值范围； 以为圆心，为半径作圆，当在的内部，且与其一边相切时，求与另两边的距离． 问题解决 如图，某广场有一个边长为的菱形花坛，现准备绕着花坛铺设一条封闭的健身跑道，使靠近花坛的跑道内沿与花坛的距离为，则所铺设的健身跑道内沿的长度的最小值为______ 1.【答案】  【解析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：点和圆有三种位置关系：在圆内、在圆外、在圆上．用和的半径比较即可得出结果． 【详解】解：在中，， 以点为圆心，长为半径作圆， 点在上， 故选：． 2.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 先设处为，然后根据二次函数的性质得，最后根据可得中可填的数是． 【详解】解：设处为，由题意得二次函数为， 二次函数有最大值， 二次函数的图象开口向下即， ， 可以是， 中可填的数是． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：，，，，，这组数据的最大值是最小值是 这组数据的极差是：， 选项A正确，不符合题意； 这组数据中出现了次，最多， 众数为， 选项B确，不符合题意； ，，，，，这组数据的中位数是 选项C不正确，符合题意； 据的平均数是： ． 选项D正确，不符合题意； 故选：． 根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可． 此题主要考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，要熟练掌握． 4.【答案】  【解析】解：如图所示，连接， ， ， ， ， 点是优弧的中点， ， ， ， ，， ≌， ，， ， ， 是圆的直径， ，， ， ， ， 圆的直径为， 圆的半径为． 故选：． 连接，首先根据圆周角定理得到，然后得到，，证明出≌，是圆的直径，最后利用勾股定理求解即可． 本题考查圆周角定理和垂径定理，勾股定理等知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接交于． ， ， ，， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ≌， ， ，， ， ，， ≌， ， ． 故选：． 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接交于证明≌，≌可得结论． 本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 6.【答案】  【解析】解：根据二次函数的与的部分对应值图 ，解得， 函数解析式为：，即， 抛物线的顶点坐标为：， 故错误； ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 在的范围内，随的增大而增大， 故正确； ，， ， ， 故正确； 方程， ，，， 把代入方程中得：， 故正确， 故选：． 根据函数中的与的部分对应值表，可以求得的值然后在根据函数解析式及其图象即可判断的正确项． 本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键． 7.【答案】  【解析】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，根据圆锥的侧面积就等于圆锥母线长乘底面周长的一半，依此公式即可计算，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 8.【答案】  【解析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确在轴上的点的横坐标都为． 根据二次函数的图象的顶点在轴上，可知该函数图象顶点的横坐标为，然后即可求得的值． 【详解】解：二次函数的图象的顶点在轴上， ， 解得， 故答案为：． 9.【答案】  【解析】解：当时，，此时是一次函数，与轴有一个公共点； 当时，是二次函数， 函数与轴有一个公共点， ， ， 函数的图象与轴有一个公共点，则的范围是． 故答案为：． 首先分类讨论和，然后在时利用判别式求解． 此题整体考查了函数图象与轴的交点问题，同时也利用了分类讨论的思想，解题的关键是利用判别式解决问题． 10.【答案】  【解析】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 求出的值，再判断即可得到结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：连接、， ， ， ， ，， ， 解得，． 的度数为， 故答案为：． 连接，根据得到，得到，根据三角形的内角和列式计算即可． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：对于二次函数，其最大值为，二次函数有最大值， ， 二次函数得顶点纵坐标公式为，， ，即， 等式两边同时乘以，不等号方向改变得： ，移项可得 ，即， ， ， ，该二次函数图象开口向上，有最小值， 根据二次函数顶点纵坐标公式这里中，， ，，最小值为， 化简得，， ， ． 故答案为：． 先根据已知二次函数的最大值求出、的相关关系，再分析所求二次函数的最值． 本题主要考查二次函数得最值，解题关键是利用二次函数顶点纵坐标公式，熟练掌握该知识点是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：当点在点时，，此时等腰退化为一条线段，直线经过点， 当点运动到的中点时，设圆心为，连接， 是半圆的直径，， ， ， ， 是等腰直角三角形，为高， ，且与平行， 当点运动到点时，，此时，、的位置也相应确定， 由此可知，线段扫过的图形是一个矩形， 当在点和点时，到的距离差就是矩形的宽，这个宽等于半圆的半径为， 当在中点时，， 当在点时，，但实际上扫过的矩形的长等于的长度，为． 根据矩形面积公式长宽，可得扫过的面积， 故答案为：． 本题可通过分析点运动时的轨迹，进而求出线段扫过的面积． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理． 14.【答案】  【解析】【分析】仔细观察顶点经过的路线可得，顶点到所经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【解答】解：顶点经过的路线可以分为三段，当弧切直线于点时，有直线，此时点绕不动点转过了； 第二段：直线到直线，点绕动点转动，而这一过程中弧始终是切于直线的，所以与转动点的连线始终直线，所以点在水平运动，此时点经过的路线长的弧长； 第三段：直线到点落在直线上，点绕不动点转过了． 所以，点经过的路线总长． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：取的中点，过点作，交的延长线于点，连接，，， 是的直径， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 当、、三点共线时，最小，且最小值为， 故答案为：． 取的中点，过点作，交的延长线于点，连接，，，根据直径所得的圆周角是直角可得，从而可得， 然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据平角定义可得，从而可得是等腰直角三角形，进而可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而在中，利用三角形的三边关系进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：对于，当时，， 即点， 则， 故抛物线的对称轴为， 点与点关于对称轴对称，则点， ， ，， ， 如图所示，作于点，设，则， 则， ， ， 点，点， 则，， 即， 解得：， 故答案为：． 证明，如图所示，作于点，设，则，得到，进而求解． 本题考查的是二次函数图象和性质，解直角三角形，确定是本题解题的关键． 17.【答案】【小题】 解： ， 或， ，； 【小题】 解：， ， ， ， ，．   【解析】  本题考查了解一元二次方程． 将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可；   先展开方程，再利用因式分解法求解即可． 18.【答案】解：把点向上平移个单位长度，再沿轴向右平移个单位长度后所得对应点的坐标为， 即二次函数图象的顶点坐标为， 所以原抛物线相应的函数表达式为，即． ．   【解析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，考虑平移后的顶点坐标，逆推出原抛物线的顶点坐标，即可求出解析式． 把平移后的抛物线顶点向上平移个单位长度，再沿轴向右平移个单位长度后得到原抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出原抛物线相应的函数表达式． 19.【答案】【小题】 【小题】 解：选甲更合适． 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； 【小题】   【解析】  本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键． 分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案； 【详解】解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：、、、、， 甲得分的中位数为， 由丙得分的扇形统计图可知，有名评委打分为，有名评委打分为， 丙得分的平均数为， 故答案为：，；   根据中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案；   根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差为， ， 故答案为：． 20.【答案】证明：连接交于， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ； 解：， ∽， ， 设，， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， ∽， ， ， 或不合题意舍去， ， 半径的长为．  【解析】连接交于，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的判定定理得到； 根据相似三角形的性质得到，设，，求得，根据切线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 21.【答案】解：方法一：过点作直线的垂线，垂足为， 作线段的垂直平分线，交于点， 以点为圆心，为半径作，则为所求，如图 所示： 理由如下： 直线，是半径， 直线是的切线， 是线段的垂直平分线， ， 经过点切于直线相切； 方法二：在直线上任取一点，连接， 过点作直线； 作线段的垂直平分线交于点，连接， 以点为圆心，为半径作，则为所求，如图所示： 理由如下： 直线，是半径， 直线是的切线， 点是线段的垂直平分线上的点， ， 经过点切于直线相切．  【解析】方法一：过点作直线的垂线，垂足为，再作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径作，则为所求； 方法二：在直线上任取一点，连接，过点作直线；再作线段的垂直平分线交于点，连接，以点为圆心，为半径作，则为所求， 此题主要考查了切线的判定和性质，基本尺规作图，理解切线的判定和性质，熟练掌握过一点作已知直线的垂线，作已知线段的垂直平分线是解决问题的关键． 22.【答案】证明见解析；  当时，；当或时，；  或．  【解析】证明：由题意，， 令，则． 又， ． 或． 方程总有两个不等的实数根． 二次函数为常数，且与轴总有两个公共点． 解：由题意，当时，；当时，， ． 当时，， 则． 当或时，， 则． 综上，当时，；当或时，． 解：由题意，点，在二次函数的图象上， ，． 又， ． 由图， 或． 故答案为：或． 依据题意，令，则，结合，可得或，进而可以判断得解； 依据题意，当时，；当时，，从而，进而可以判断得解； 依据题意，由点，在二次函数的图象上，从而，，再结合，可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 23.【答案】解：根据题意得，， 销售量与销售单价之间的函数关系式为； ， 销售利润与销售单价之间的函数关系式； 根据题意得：， 解得：， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，最大值为， 销售单价定为元时，所获利润最大，最大利润是元．  【解析】根据题意即可得出关于的函数关系式；  根据题意得到销售利润元与销售单价元之间的函数关系式； 利用配方法将关于的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解决最值问题． 本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 24.【答案】； 延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 故答案为：；   ；     【解析】解：； 理由：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 故答案为：； 与相似的三角形有，，，． 理由：四边形是正方形， ， ，， ∽， ， ， ， ， ∽∽， ，， ∽∽， 将绕点顺时针旋转得到， 在和中， ， ≌， ， ， ∽． ，， ∽∽， 与相似的三角形有，，，， 故答案为：； 由知，， ，， ， ， ， ∽， 作于，过作于， ， ，， ≌， ， ， ， ， ∽， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， ． 延长到点，使，连接，证明≌，得出，，证明≌，得出，则可得出结论； 根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； 由知，，根据相似三角形的性质得到∽，作于，过作于，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题，属于中考压轴题． 25.【答案】解，； 二次函数的图象经过点，， ， 解得：， 故答案为：，； 证明：  二次函数的表达式为， 令，则一元二次方程为， ， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 不论为何值，该函数图象与轴有两个公共点；   或 ， 当时， 则当时，，解得； 当时， 则当时，，解得． 则． 综上：或．  【解析】将点，点坐标代入解析式可求解； 由，可得结论． 根据图象经过点，两点，分和两种情况讨论即可． 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是本题的关键． 26.【答案】证明见解答；   证明见解答；   ．  【解析】证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ，， ， ， ； 证明：连接并延长交于点，连接、，如图， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：令与相交于点，延长交于点，连接，如图， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， 在中，， ，且， ，， 故答案为：． 根据圆内接四边形对角互补，得出，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据等角对等边，即可得出结论； 连接并延长交于点，连接、，根据线段垂直平分线的判定定理，得出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论； 令与相交于点，延长交于点，连接，如图，证明，利用勾股定理表示出，即可解答． 本题考查了圆的综合应用，主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等角对等边、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 27.【答案】解：； 证明：二次函数， 得顶点坐标为， 将代入得：， 不论为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上； 或．  【解析】解：令，则， ，，， ， 函数图象与轴有两个不同的公共点， 方程有且仅有一个实数根， ，即， 解得：， 时该函数图象与轴有且仅有一个公共点； 故答案为：； 证明：二次函数， 得顶点坐标为， 将代入得：， 不论为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上； 由可知抛物线的顶点为， 当时，都有， 当时，随的增大而减小， 又抛物线开口向下，对称轴为直线， 得出， 当时，． 要使恒成立， 则， ， 解得：舍去或， 综上所述：或． 故答案为：或． 函数图象与轴有有且仅有一个公共点即方程有两个不同的实数根，由判别式即可求得的值； 先有二次函数解析式求出顶点坐标，再把，代入直线解析式即可得证； 当时，都有，说明随的增大而减小，抛物线开口向下所以对称轴，要使恒成立，则，即可求出的取值范围． 本题考查二次函数综合，二次的图象与系数和方程的关系，关键是对知识的掌握和综合运用． 28.【答案】；   ；当与相切时，到相切的距离为，到相切的距离为；当与相切时，到的距离为，到的距离为；当与相切时，到、的距离为；   ．  【解析】解：是与的距离， ，点到上点的长度最小， 故答案为：． 如图，过点作于点， ，， ， ， ， 当在外内部， ， ， 情况一，当与相切时，过作，交于，过作，交于，过作，交于，交于，连接，如图， 在中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 等腰直角三角形， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 到的距离为，到相切的距离为； 情况二，当与相切时，过作，交于，过作，交于，过作，交于，如图， 同理可得，到的距离为，到的距离为； 情况三，当与相切时，过作，交于，过作，交于，过作，交于，如图， 到、的距离为； 由图可知，菱形的长度为：， 四个角的跑道恰为一个半径为的圆，周长为， 故健身跑道内沿的长度的最小值为． 故答案为：． 是与的距离； 分三种情况，情况一，当与相切时，情况二，当与相切时，情况三，当与相切时，分别求解； 将跑道分为两个部分，分别表示出来即可求解． 此题主要考查了直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离，属于综合题目，读懂题意是解决此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $